Abelse groepsringen | Wiskunde is leuk

Voor $C_7=\langle g\rangle$ geldt

$\mathbb QC_7\cong\mathbb Q\oplus\mathbb Q(\zeta_7), \qquad \mathbb QC_7^+\cong\mathbb Q\oplus\mathbb Q(\alpha),$

waar $\alpha=\zeta_7+\zeta_7^{-1}$ voldoet aan

$\alpha^3+\alpha^2-2\alpha-1=0.$

De integrale orde. In $\mathbb Z\oplus\mathbb Z[\alpha]$ komt $\mathbb ZC_7^+$ overeen met

$A=\bigl\{(m,u+v\alpha+w\alpha^2)\mid m\equiv u+2v+4w\pmod7\bigr\}.$

Met $\eta_1=\alpha^2+\alpha-1$ en $\eta_2=\alpha+1$ geldt

$\mathbb Z[\alpha]^\times=\{\pm\eta_1^m\eta_2^n\mid m,n\in\mathbb Z\}.$

Voor genormaliseerde symmetrische eenheden selecteert de congruentie de deelgroep

$H=\operatorname{ev}_2^{-1}(1), \qquad \operatorname{ev}_2(u+v\alpha+w\alpha^2)=u+2v+4w\pmod7.$

De projectie $\rho_2$ geeft $U_1(\mathbb ZC_7)^+\cong H$ . In plaats van de generatoren van $H$ abstract te zoeken, nemen we de trinomiale eenheden

$x_1=-1+g+g^{-1},\qquad x_2=-1+g^2+g^{-2}.$

Hun beelden $\eta_1^{-1}\eta_2^{-1}$ en
$-\eta_1^2\eta_2^{-1}$ zijn multiplicatief onafhankelijk en genereren
heel $H$ .

Structuurfiguur voor de congruentiedeelgroep H bij C7

Eindresultaat

$U_1(\mathbb ZC_7)^+=\langle-1+g+g^{-1},-1+g^2+g^{-2}\rangle.$

Volledige uitwerking (PDF)
Computationele controle (PDF)
Scripts downloaden

Voor $C_5=\langle g\rangle$ splitst de rationale groepsalgebra als

$\mathbb QC_5\cong\mathbb Q\oplus\mathbb Q(\zeta_5).$

Voor de symmetrische elementen wordt de cyclotomische component vervangen door haar maximale reële deelveld:

$\mathbb QC_5^+\cong\mathbb Q\oplus\mathbb Q(\alpha), \qquad \alpha=\zeta_5+\zeta_5^{-1}, \qquad \alpha^2+\alpha-1=0.$

De integrale orde. In $\mathbb Z\oplus\mathbb Z[\alpha]$ komt $\mathbb ZC_5^+$ overeen met

$A=\bigl\{(m,u+v\alpha)\mid m\equiv u+2v\pmod 5\bigr\}.$

De componentorde heeft eenhedengroep

$\mathbb Z[\alpha]^\times=\{\pm(1+\alpha)^n\mid n\in\mathbb Z\}.$

De torsievrije rang is $1$ . Voor genormaliseerde symmetrische eenheden moet de triviale component gelijk zijn aan $1$ . Daardoor selecteert de congruentie de deelgroep

$H=\bigl\{u+v\alpha\in\mathbb Z[\alpha]^\times\mid u+2v\equiv1\pmod5\bigr\}.$

In plaats van voor iedere macht van $1+\alpha$ de congruenties opnieuw op te lossen, coderen we de voorwaarde door

$\operatorname{ev}_2:\mathbb Z[\alpha]^\times\longrightarrow\mathbb F_5^\times, \qquad u+v\alpha\longmapsto u+2v\pmod5.$

Zo wordt het zoeken naar $H=\operatorname{ev}_2^{-1}(1)$ een berekening in de eindige groep $\mathbb F_5^\times$ . Men vindt

$H=\langle-2-\alpha\rangle, \qquad U_1(\mathbb ZC_5)^+\cong H.$

Structuurfiguur voor de congruentiedeelgroep H bij C5

De generator $-2-\alpha$ heeft onder $\rho_2^{-1}$ als inverse beeld de trinomiale eenheid

$-1+g^2+g^{-2}.$

Eindresultaat

$U_1(\mathbb ZC_5)^+=\langle-1+g^2+g^{-2}\rangle.$

De inverse trinomiale eenheid $-1+g+g^{-1}$ genereert dezelfde cyclische groep.

Volledige uitwerking (PDF)
Computationele controle (PDF)

Wiskunde is leuk

Categorie archieven: Abelse groepsringen

Symmetrische eenheden van ℤC₇

Symmetrische eenheden van ℤC₅