Kan men een hoek van 1 radiaal construeren met passer en liniaal?

 

In 1873 bewijst Charles Hermite dat het getal e, de basis van de natuurlijke logaritmen, transcendent is. Ferdinand Lindemann toont in 1882 de transcendentie van \pi aan. Het werk van Lindemann is in feite een handige veralgemening van het resultaat van Hermite. Lindemann bewijst: als z een algebraïsch getal is, verschillend van nul, dan is e^z transcendent. Transcendente getallen kunnen niet met passer en liniaal geconstrueerd worden.

De imaginaire eenheid i is een algebraïsch getal, want i is een wortel van de vergelijking x^2+1=0, bijgevolg is e^i transcendent. We weten dat e^i=\cos 1+i \sin 1. Omdat de som van twee algebraïsche getallen algebraïsch is , kunnen \cos 1 en \sin 1 onmogelijk allebei algebraïsch zijn. Maar als bijvoorbeeld \cos 1 algebraïsch zou zijn dan is \sin 1=\sqrt{1-\cos^2 1} het ook en omgekeerd. Bijgevolg zijn \cos 1 en \sin 1 allebei transcendent en is het duidelijk dat een hoek van 1 radiaal niet te tekenen is met passer en lineaal.

Het probleem van Bazel

Het probleem van Bazel is een beroemd probleem uit de staltheorie. Het werd voor het eerst in 1644 aan de orde gesteld door Pietro Mengoli (1626-1686), en werd bijna 100 jaar later, in 1735, opgelost door Euler.

Het probleem vraagt:

Deze reeks is bij benadering gelijk aan 1,644934.  Euler slaagde erin de exacte uitkomst te geven:

Het probleem heeft geleid tot nieuwe inzichten in de structuur van de reële getallen en de complexe getallen, en heeft bijgedragen tot de ontwikkeling van de analytische getaltheorie.

De Riemann-zeta functie \zeta is een belangrijke functie in de wiskunde vanwege het verband met de verdeling van de priemgetallen. De bovenstaande reeks is niets minder dan \zeta(2). Het omgekeerde getal  \frac{6}{\pi^2} is de kans dat twee willekeurige gehele getallen onderling ondeelbaar zijn.

De constante van Brun

Vrij veel priemgetallen zijn twee opeenvolgende oneven getallen, zoals 3 en 5 of 17 en 19. Of er oneindig veel zulke paren, priemtweelingen genoemd, zijn is niet bewezen .

In 1919 bewees de Noorse wiskundige Viggo Brun( 1885-1978) volgende eigenschap:de som van de omgekeerde waarden van de priemtweelingen nadert tot een bepaalde waarde, die nu de constante van Brun wordt benoemd.

  • Het is merkwaardig dat deze som begrensd is terwijl de som van de omgekeerden van alle priemgetallen oneindig groot is. Dit laat vermoeden dat het priemtweelingen eerder schaars zijn.
  • Het is onbekend of de constante van Brun een irrationaal getal is. Dit hangt ervan af of het aantal priemtweelingen eindig of oneindig is.
  • Een schatting van Pascal Sebah en Patrick Dechimel in 2002 die alle priemtweelingen tot 1016 gebruikt komt op B  ≈ 1,902160583104.

Product van de delers van een getal

Noteer met i het aantal delers van een gegeven natuurlijk getal n, dat verschilt van 0. Kan je dan een formule vinden voor het product van al de delers van n?

Stel del(n) = \{d_1,d_2,\cdots,d_i\}  en noteer met P(n) het product van alle delers . Dan is P(n) = d_1*d_2*\cdots*d_i=d_i*\cdots*d_2*d_1. Vermenigvuldigen we deze twee uitdrukkingen met elkaar : P(n)^2=n^i , dan vinden we

    \[P(n)=\sqrt{n^i}\]

Enkele voorbeelden:

  • del(7) = (1,7} , dus P(7)=\sqrt{7^2}=7 en 1*7=7
  • del(9) = (1,3,9} , dus P(9)=\sqrt{9^3}=27 en 1*3*9=27.
  • del(12) = (1,2,3,4,6,12} , dus P(12)=\sqrt{12^6}=1728 en 1*2*3*4*6*12=1728.

Op welk cijfer eindigt…

Wat is de rest bij deling door 10 van het 2022ste getal in de rij  

    \[3,3^3,3^{3^3},...\]

  • De gegeven rij kan ook gegeven worden door middel van een recursief voorschrift: t_1=3 en t_{n+1}=3^{t_n}.

  • Berekenen we een paar termen van de rij: 3 , 27 , 7625597484987. We zien dat ze zeer snel toenemen in grootte, maar we hebben wel al 2 keer een 7 achteraan. Zou dat een patroon zijn?
  • Elke term is een viervoud plus 3, want t_n=(4 voud -1)^{t_{n-1}} en omdat elke term in de rij oneven is is t_n dus een 4voud min 1, of met anders geformuleerd : een drievoud plus 3.

  • Dan is t_{n+1}=3^{4v+3}=3^3.3^{4v}=27.81^v.
  • Werken we nu modulo 10: t_{n+1}\equiv 7.1^v\equiv 7.
  • Dus elke term van de rij eindigt op 7, dus ook de 2022ste term.