Isogonaal verwantschap

Twee rechten die door het hoekpunt van een hoek gaan en gelijke hoeken vormen met de benen van die hoek, heten isogonaal verwante rechten. In de tekening hierboven zijn de blauwe en rode lijnen in elk hoekpunt isogonaal verwant. De punten P en Q heten isogonaal verwante punten.

Enkele eigenschappen:

  • De isogonaal verwante rechten maken ook gelijke hoeken met de deellijn van de gegeven hoek. Ze zijn elkaars spiegelbeeld rond de deellijn.
  • Het hoogtepunt van een driehoek en het middelpunt van de omgeschreven cirkel van die driehoek, zijn isogonaal verwante punten.
  • Het product van twee zijden van een driehoek is gelijk aan het product van de middellijn van de omgeschreven cirkel met de hoogtelijn, neergelaten op de derde zijde.
    Immers in driehoek ABS ( S is het voetpunt van de hoogtelijn uit A)  en driehoek ACQ zijn de hoeken in S en Q recht en de hoeken in B en Q zijn gelijk als omtrekshoeken op eenzelfde boog. daardoor zijn de gegeven driehoeken gelijkvormig en uit de evenredigheid van de zijden volgt dan het gestelde.

Oppervlakte vierhoek

Welke convexe vierhoek, met vaste zijden a,b,c en d heeft de grootste oppervlakte?

  • Stel S de oppervlakte van de vierhoek ABCD. Gebruik de formule voor de oppervlakte van een driehoek: de helft van het product van twee zijden en de sinus van de ingesloten hoek : 2S=ab \sin B+cd \sin d.
  • We kunnen de diagonaal AC bepalen via de cosinusregel in de driehoeken ABC en ADC: |AC|^2=a^2+b^2-2ab\cos B=c^2+d^2-2cd\cos D.
  • Uit de laatste betrekking volgt dat

        \[\frac{1}{2}(a^2+b^2-c^2-d^2)=ab\cos B-cd \cos D\]

  • Kwadrateren  en optellen van de eerste formule en de laatste geeft:

        \[4S^2=a^2b^2+c^2d^2-2abcd\cos(B+D)-\frac{1}{4}(a^2+b^2-c^2-d^2)^2\]

  • Nu is S maximaal als \cos (B+D) minimaal is, dus gelijk aan -1. Maar dan zijn de hoeken B en D supplementair en is de vierhoek een koordenvierhoek en kan dus ingeschreven worden in een cirkel.
  • Als we deze waarde -1 invullen in de vorige formule en we stellen a+b+c+d=2P, dan kunnen we hieruit die maximale oppervlakte bepalen:

        \[S=\sqrt{(P-a)(P-b)(P-c)(P-d)}\]

  • Deze formule is een veralgemening van de formule van Heroon voor een driehoek (stel d=0).

Een gouden driehoek

Bij de gulden snede verhoudt het grootste van de twee delen zich tot het kleinste, zoals het gehele lijnstuk zich verhoudt tot het grootste. Geven we het grootste deel aan met a en het kleinste deel met b, dan is de verhouding van beide zo dat \frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}. De bedoelde verhouding \frac{a}{b} noemt men het gulden getal en noteert men met \varphi. Het oplossen van de gegeven vergelijking geeft:

    \[\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618\]

Waar kunnen we in een driehoek dit gulden getal zien?

Neem een gelijkbenige driehoek met basishoeken van 72^\circ:

De hoogtelijn uit C verdeelt de overstaande zijde in twee gelijke stukken en de tophoek in twee gelijke hoeken. Zo een halve tophoek meet dan x=18^\circ. Dan is 5x=90^\circ en 2x=90^\circ-3x. Bijgevolg is \sin 2x=\cos 3x. Gebruiken we nu formules voor de dubbele en drievoudige hoek: 2\sin x\cos x=4\cos^3x-3\cos x.
Vermits \cos x\neq 0, kunnen we beide leden delen door \cos x en als we dan de grondformule van de goniometrie toepassen, vinden we

    \[4\sin^2x+2\sin x-1=0\]

Het oplossen van deze vierkantsvergelijking geeft: \sin x =\frac{-1+\sqrt{5}}{4}=\frac{1}{2\varphi}.

In de bovenstaande driehoek is \sin x=\frac{|AB|}{2|AC|}, dus

    \[\varphi=\frac{|AC|}{|AB|}\]

De gulden snede is dus de lengte van een opstaande zijde van een gelijkbenige driehoek met basishoeken van 72^\circ en basis 1.

Zoals je in bovenstaande tekening ziet, kan je dit ook verkrijgen met een gelijkbenige driehoek met basishoeken van 36^\circ.

De stelling van Casey

Volgende stelling komt van de hand van de Ierse wiskundige Casey   (1820-1891)

Gegeven is een cirkel, met middelpunt O en 4 niet snijdende cirkels, met middelpunten A,B,C en D) binnen die cirkel die in volgorde raken aan de grote cirkel. Noteer met aub,c,d,x en y hun gemeenschappelijke uitwendige raaklijnen. dan geldt:

    \[ac+bd=xy\]

Als we de 4 binnenste cirkels laten ‘ontaarden’ in 4 punten, krijgen we de stelling van Ptolemaeus. Andere varianten bestaan er in slechts enkele cirkels te laten krimpen tot punten. Het omgekeerde resultaat is eveneens geldig.

De stelling klopt trouwens ook als de 4 kleine cirkels aan de buitenkant liggen van de gegeven cirkel.

Dit artikel is het 500ste op deze website. Bedankt aan alle lezers.