Ongelijkheid met sinussen

Sommige ongelijkheden kunnen zeer elegant worden opgelost door gebruik te maken van de ongelijkheid van Jensen. Voor concave functies ( bol , tweede afgeleide negatief) wordt dit :

    \[\frac{f(x)+f(y)+f(z)}{3} \leq f\Big( \frac{x+y+z}{3}\Big)\]

In een driehoek met hoeken \alpha,\beta en \gamma geldt :

    \[\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma \leq \ \frac{3\sqrt{3}}{2}\]

Omdat \alpha,\beta,\gamma hoeken zijn van een driehoek zijn \alpha,\beta,\gamma elementen van [0,\pi ]. De sinusfunctie is concaaf op dit interval, want \sin''(x)=-\sin x \leq 0 in [0,\pi ]. Dus is, volgens Jensen: \frac{\sin \alpha+\sin \beta +\sin \gamma}{3}\leq \sin \frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}=\sin \frac{\pi}{3} =\frac{\sqrt{3}}{2}.

Dus is \sin \alpha+\sin \beta +\sin \gamma} \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}.

Ongelijkheid van Jensen

Voor elke functie f waarvan de grafiek ‘hol’ naar onder is , of dus convex (d.w.z dat het verbindingstuk van twee punten van de grafiek altijd boven de grafiek ligt ) geldt volgende ongelijkheid:

    \[f(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+\a_n}{n} )\leq \dfrac{f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_n)}{n}\]

Deze ongelijkheid staat bekend als de ongelijkheid van Jensen, naar de Deense wiskundige Johan Willem Ludwig Valdemar Jensen (1859-1925).

Uiteraard is er een analoge formule voor concave functies.

Voorbeeld: Als a,b en c positieve hoeken zijn met een som gelijk aan \frac{\pi}{2}, dan is \tan a+ \tan b+\tan c \geq \sqrt{3}.

Tussen 0 en \frac{\pi}{2} is de tangensfunctie convex, dus geldt er volgens Jensen dat \tan (\dfrac{a+b+c}{3}) \leq \frac{1}{3}( \tan a+\tan b+\tan c). Hieruit volgt dat \frac{1}{3}( \tan a+\tan b+\tan c) \geq \tan(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{3}. Vermenigvuldigen met 3 geeft het gevraagde antwoord.

 

Eenvoudige ongelijkheden

Het is voor iedereen duidelijk dat een kwadraat van een reeël getal nooit negatief kan zijn. Het uitwerken van (a-b)^2\geq 0 geeft ons twee eenvoudige ongelijkheden, waarmee we snel aan het werk kunnen ( veronderstel alle getallen positief):

  • \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}.
  • \Big(\frac{a+b}{2}\Big)^2 \leq \frac{a^2+b^2}{2}.

Twee voorbeelden:

  1. Bewijs dat (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc.

    Uit formule 1  vinden we a+b \geq 2\sqrt{ab}, maar ook dat a+c \geq 2\sqrt{ac} en c+b \geq 2\sqrt{cb}, dus is (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8\sqrt{ab}\sqrt{bc}\sqrt{ca}=8abc.
  2. Bewijs, als a+b=1, dan is \Big(a+\frac{1}{a}\Big)^2+\Big(b+\frac{1}{b}\Big)^2 \geq \frac{25}{2}.
    Uit formule 2 volgt het linkerlid groter is dan of gelijk is aan \frac{2}{4}\Big(a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}\Big)^2=\frac{1}{2}\Big(1+\frac{a+b}{ab}\Big)^2 =\frac{1}{2}\Big(1+\frac{1}{ab}\Big)^2.  Uit formule 1 weten we dat a+b=1 \geq 2\sqrt{ab} ofwel ab \leq \frac{1}{4}. Hieruit volgt dat \frac{1}{ab} \geq 4.
    Bijgevolg is \Big(a+\frac{1}{a}\Big)^2+\Big(b+\frac{1}{b}\Big)^2 \geq \frac{1}{2}(1+4)^2=\frac{25}{2}.

Ongelijkheid van Cauchy-Schwarz

Stel (a_1,a_2,\cdots,a_n) en (b_1,b_2,\cdots,b_n)  n-tallen van reële getallen, dan geldt:

(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2\leq(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)

Deze ongelijkheid werd genoemd naar A.L.Cauchy( 1789-1857) en H.A.Schwarz(1843-1921) en steunt op de eigenschap dat het skalair product van twee vectoren kleiner is dan of gelijk is aan het product van de normen van die vectoren.


 

 

 

 

 

 

Bekijken we even een voorbeeld:

Bewijs: (\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{6})^2  \leq \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{6}

Het is enkel de kwestie van goed de twee drietallen te kiezen.
Neem (\frac{x}{2},\frac{y}{\sqrt{6}},\frac{z}{\sqrt{12}}) en  (1,\sqrt{\frac{2}{3}},\sqrt{\frac{2}{6}}) en vul in.

Ongelijkheden en gemiddelden

Neem n positieve getallen x_1,x_2,\cdots,x_n. Dan definieren we:

  • Het rekenkundige gemiddelde: RG = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}.
  • Het meetkundig gemiddelde: MG = \sqrt[n]{x_1.x_2.\cdots.x_n}.
  • Het harmonisch gemiddelde: HG = \dfrac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}.
  • Het r-de machtsgemiddelde: P_r =\sqrt[r]{ \dfrac{x_1^r+x_2^r+\cdots+x_n^r}{n}}. Voor r=2 spreken we ook van het kwadratisch gemiddelde.

Als r<s, dan geldt volgende ongelijkheid:

    \[HG\leq MG\leq RG\leq P_r\leq P_s\]

De gelijkheid krijgen we als x_1=x_2=\cdots=x_n.

Voor twee positieve getallen a en b vinden we zo:

    \[\dfrac{2ab}{a+b}\leq \sqrt{ab}\leq \dfrac{a+b}{2}\leq \sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}} \leq \sqrt[3]{\dfrac{a^3+b^3}{2}}\]