Categorie archieven: Weetjes

Vingerrekenen

Geplaatst op door

De herkomst van de symbolen voor onze cijfers is het meest duidelijk voor het cijfer 1: de vinger.

Omdat je maar 10 vingers hebt, heb je voor opgaven met het getallen boven de 10 trucjes nodig om ze toch met behulp van je vingers uit te kunnen rekenen. Neem bijvoorbeeld het vingervermenigvuldigen. Het is voldoende om de tafels tot 5×5 te kennen. 

Wil je het product weten van twee getallen a en b, beide tussen 5 en 10, dan steek je je ene hand op met a – 5 vingers en de andere hand met b – 5 vingers. Het resultaat van de vermenigvuldiging is de som van het aantal opgestoken vingers x 10 en het product van de beide aantallen niet opgestoken vingers. Neem bijvoorbeeld 6 x 9: in het ene hand steek je 1 vinger op en in de andere hand 4 vingers. De som van de opgestoken vingers, vermenigvuldigd met 10 is 50. Tel daar bij op het product van de niet opgestoken vingers van beide handen: 4 x 1 = 4 en je krijgt 50 + 4 = 54.

De 72 regel

Geplaatst op door

In de wereld van persoonlijke financiën en beleggen is er één eenvoudige regel die je kan helpen beter te begrijpen hoe snel je geld groeit: de 72-regel. Geen ingewikkelde formules of moeilijke rekensommen – enkel een handig geheugensteuntje dat verrassend accuraat is.

De 72-regel is een vuistregel die je vertelt hoeveel jaar het duurt voordat een investering verdubbelt, gegeven een vast jaarlijks rentepercentage (of rendement). De formule is simpel:

Aantal jaren tot verdubbeling = 72 ÷ jaarlijks rendement (%)

Bijvoorbeeld:

  • Als je een rendement van 6% per jaar behaalt, dan verdubbelt je geld ongeveer in:

    72 ÷ 6 = 12 jaar

  • Bij een rendement van 9%:

    72 ÷ 9 = 8 jaar

    De regel is gebaseerd op het principe van samengestelde rente – rente op rente. In plaats van alleen rente op je oorspronkelijke bedrag te ontvangen, ontvang je ook rente op de eerder ontvangen rente. Na verloop van tijd leidt dit tot exponentiële groei.

  • De formule voor samengestelde rente is

        \[K=K_0(1+i)^n\]

    Hierbij is K_0 het beginkapitaal en K het kapitaal na n jaar. De tijd nodig om het kapitaal te verdubbelen wordt dan gegeven door  volgende vergelijking op te lossen :

        \[2K_0=K_0(1+i)^n\]

     of

        \[n=\dfrac{\log 2}{\log(1+i)}\]

  • Nemen we bijvoorbeeld i=6% , dan geeft de 72 regel een verdubbelingstijd van 12 jaar, terwijl de exacte waarde gelijk is aan 11,9.

De constante van Euler-mascheroni

Geplaatst op door

De constante van Euler-Mascheroni, vaak aangeduid als \gamma, is een wiskundige constante die belangrijk is in verschillende takken van de wiskunde, zoals de analyse en de getaltheorie. Deze constante wordt vaak geschreven als  \gamma \approx 0,57721 en is genoemd naar de Zwitserse wiskundigen Leonhard Euler(1707-1783) en Lorenzo Mascheroni (1750-1800), die onafhankelijk van elkaar belangrijke bijdragen leverden aan de studie ervan.

 

 

 

 

 

 

 

Wat deze constante zo interessant maakt, is dat deze voorkomt in verschillende contexten, waaronder sommen van reeksen, integraalrekeningen, en zelfs in de analyse van complexe getallen. Ze is gerelateerd aan de Riemann-zetafunctie, de priemgetalstelling en de gammafunctie. Het is ook nauw verbonden met de verdeling van priemgetallen, een gebied van de wiskunde dat wiskundigen al eeuwenlang fascineert.

De definitie van de constante van Euler omvat twee schijnbaar ongerelateerde wiskundige concepten: de harmonische reeks en de natuurlijke logaritmefunctie. Het feit dat deze twee concepten nauw met elkaar verbonden zijn door deze constante is een bewijs van de schoonheid en onderlinge verbondenheid van de wiskunde.

We weten op dit moment nog steeds niet of dit getal uitgedrukt kan worden als een breuk. Een andere interessante eigenschap van de constante van Euler is dat deze transcendentaal is. Dit betekent dat het geen wortel is van een algebraïsche vergelijking met gehele coëfficiënten.

De kromme van Peano

Geplaatst op door
 
De Peano-kromme, genoemd naar de Italiaanse wiskundige Giuseppe Peano (1858-1932), is een van de meest intrigerende concepten in de wiskunde. Deze curve, die in 1890 werd geïntroduceerd, was een revolutionaire ontdekking omdat het aantoonde dat een continue lijn een volledig tweedimensionaal vlak kan vullen.
 
De constructie van de Peano-kromme is gebaseerd op een iteratief proces. Het begint met een eenvoudige lijn die in een vierkant wordt getekend. Deze lijn wordt vervolgens herhaaldelijk opgesplitst en gevouwen volgens een specifiek patroon. Na oneindig veel stappen vult de curve het hele vierkant, waarbij elk punt in het vierkant wordt bereikt door de lijn. 
 
 
  • Basisstap: Begin met een vierkant en een eenvoudige lijn die het vierkant in een patroon doorkruist (bijvoorbeeld een zigzaglijn).
  • Iteratiestap: Verdeel het vierkant in een 3×3 raster (dus 9 kleinere vierkanten). Vervang de oorspronkelijke lijn in elk van deze kleinere vierkanten door een verkleinde versie van het oorspronkelijke patroon.
  • Herhaling: Herhaal dit proces oneindig vaak, waarbij het vierkant steeds verder wordt onderverdeeld in kleinere vierkanten, en de lijn steeds complexer wordt.

Voor Peano’s ontdekking werd aangenomen dat een continue functie van een eendimensionale ruimte (zoals een lijn) naar een tweedimensionale ruimte (zoals een vlak) niet het hele vlak kon vullen. Peano bewees het tegendeel en opende daarmee de deur naar nieuwe inzichten in topologie en fractale  meetkunde. Een belangrijke eigenschap van de Peano-kromme is dat deze continu maar niet differentieerbaar is. Dit betekent dat de curve geen scherpe hoeken heeft, maar ook geen vloeiende afgeleide – een kenmerk dat typisch is voor fractale structuren.

De fractale of Hausdorff dimensie van de Peano-kromme is 2.  Neem bijvoorbeeld een andere fractale figuur , zoals de sneeuwvlok van Koch. Dit is geen ruimtevullende kromme; zijn fractale dimensie is ongeveer 1,26.

Een ander voorbeeld van een ruimtevullende kromme is de kromme van Hilbert:

De spiraal van Theodorus

Geplaatst op door

De spiraal van Theodorus wordt opgebouwd uit een reeks rechthoekige driehoeken. Het begint met een gelijkbenige rechthoekige driehoek waarvan de beide rechthoekszijden lengte 1 hebben. Vervolgens wordt een nieuwe rechthoekige driehoek toegevoegd, waarbij één rechthoekszijde de vorige schuine zijde is en de andere rechthoekszijde terug lengte 1 heeft. Dit proces wordt herhaald. De figuur die zo ontstaat noemt men de spiraal van Theodorus, genoemd naar de Griekse wiskundige Theodorus van Cyrene die leefde in de 5de eeuw voor Christus.

Hij hield op bij de driehoek met hypotenusa \sqrt{17} , vermoedelijk omdat dat de laatste is die niet een vorige driehoek overlapt.

Het is duidelijk dat via de stellig van Pythagoras  de lengten van de  schuine zijden van deze driehoeken de vierkantswortels zijn van opeenvolgende natuurlijke getallen. Vandaar dat men deze spiraal ook wel eens wortelspiraal noemt.