Categorie archieven: Weetjes

Hadamard matrix

Geplaatst op door

Een Hadamard matrix is een vierkante matrix met alleen maar 1 of -1 als elementen en zodat elk tweetal kolommen ( of rijen) loodrecht op elkaar staan ( de som van de producten op de zelfde rij is nul). Een Hadamard matrix is dus een vierkante orthogonale matrix met elementen 1 en -1. Hij is vernoemd naar de Franse wiskundige J. Hadamard(1865-1963).

Er kan niet  voor elke willekeurige orde een Hadamard matrix bestaan. Een noodzakelijke voorwaarde is dat de orde gelijk moet zijn aan 1, 2 of een veelvoud van 4. De grote open vraag in de wiskunde, bekend als het Hadamard-vermoeden, is: Bestaat er een Hadamard-matrix voor elke orde die een veelvoud van 4 is? Tot nu toe is er nog geen tegenvoorbeeld gevonden, maar een algemeen bewijs ontbreekt nog steeds. De kleinste orde waarvoor het bestaan van een Hadamard-matrix nog niet is bewezen of weerlegd, is .

In de telecommunicatie en informatietheorie worden Hadamard-matrices gebruikt om foutcorrectiecodes te construeren, zoals de Reed-Muller-codes. De orthogonaliteit van de rijen maakt het mogelijk om verzonden signalen ondanks ruis betrouwbaar te decoderen, omdat de verschillende ‘woorden’ (rijen van de matrix) zo ver mogelijk van elkaar verwijderd zijn. Dit is cruciaal voor bijvoorbeeld de CDMA-techniek (Code Division Multiple Access) in mobiele netwerken.

 

Jurassic fractaal of drakenkromme

Geplaatst op door

De Drakenfractaal werd onafhankelijk ontdekt door de natuurkundigen John Heighway en Bruce Banks, en later grondiger geanalyseerd door de wiskundigen Chandler Davis en Donald Knuth in 1967. De roman Jurassic Park (1990) bevat illustratiesvan de iteraties van de Drakenfractaal tussen de hoofdstukken. Deze afbeeldingen dienen als visuele representatie van de theorieën die in het verhaal worden besproken.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

De Jurassic fractaal wordt vaak gedefinieerd met een iteratieve regelsysteem (L-systeem, of Lindenmayer-systeem). Zo’n systeem bestaat uit:

  • een axioma (de startregel): F = teken een lijn 

  • en productieregels die bepalen hoe elke stap verandert: F+F-F-F+F, met + draai rechts en – draai links.

Door dit proces herhaald toe te passen (itereren), groeit een steeds complexere, grillige vorm — dat is de fractaal.

Vingerrekenen

Geplaatst op door

De herkomst van de symbolen voor onze cijfers is het meest duidelijk voor het cijfer 1: de vinger.

Omdat je maar 10 vingers hebt, heb je voor opgaven met het getallen boven de 10 trucjes nodig om ze toch met behulp van je vingers uit te kunnen rekenen. Neem bijvoorbeeld het vingervermenigvuldigen. Het is voldoende om de tafels tot 5×5 te kennen. 

Wil je het product weten van twee getallen a en b, beide tussen 5 en 10, dan steek je je ene hand op met a – 5 vingers en de andere hand met b – 5 vingers. Het resultaat van de vermenigvuldiging is de som van het aantal opgestoken vingers x 10 en het product van de beide aantallen niet opgestoken vingers. Neem bijvoorbeeld 6 x 9: in het ene hand steek je 1 vinger op en in de andere hand 4 vingers. De som van de opgestoken vingers, vermenigvuldigd met 10 is 50. Tel daar bij op het product van de niet opgestoken vingers van beide handen: 4 x 1 = 4 en je krijgt 50 + 4 = 54.

De 72 regel

Geplaatst op door

In de wereld van persoonlijke financiën en beleggen is er één eenvoudige regel die je kan helpen beter te begrijpen hoe snel je geld groeit: de 72-regel. Geen ingewikkelde formules of moeilijke rekensommen – enkel een handig geheugensteuntje dat verrassend accuraat is.

De 72-regel is een vuistregel die je vertelt hoeveel jaar het duurt voordat een investering verdubbelt, gegeven een vast jaarlijks rentepercentage (of rendement). De formule is simpel:

Aantal jaren tot verdubbeling = 72 ÷ jaarlijks rendement (%)

Bijvoorbeeld:

  • Als je een rendement van 6% per jaar behaalt, dan verdubbelt je geld ongeveer in:

    72 ÷ 6 = 12 jaar

  • Bij een rendement van 9%:

    72 ÷ 9 = 8 jaar

    De regel is gebaseerd op het principe van samengestelde rente – rente op rente. In plaats van alleen rente op je oorspronkelijke bedrag te ontvangen, ontvang je ook rente op de eerder ontvangen rente. Na verloop van tijd leidt dit tot exponentiële groei.

  • De formule voor samengestelde rente is

        \[K=K_0(1+i)^n\]

    Hierbij is K_0 het beginkapitaal en K het kapitaal na n jaar. De tijd nodig om het kapitaal te verdubbelen wordt dan gegeven door  volgende vergelijking op te lossen :

        \[2K_0=K_0(1+i)^n\]

     of

        \[n=\dfrac{\log 2}{\log(1+i)}\]

  • Nemen we bijvoorbeeld i=6% , dan geeft de 72 regel een verdubbelingstijd van 12 jaar, terwijl de exacte waarde gelijk is aan 11,9.

De constante van Euler-mascheroni

Geplaatst op door

De constante van Euler-Mascheroni, vaak aangeduid als \gamma, is een wiskundige constante die belangrijk is in verschillende takken van de wiskunde, zoals de analyse en de getaltheorie. Deze constante wordt vaak geschreven als  \gamma \approx 0,57721 en is genoemd naar de Zwitserse wiskundigen Leonhard Euler(1707-1783) en Lorenzo Mascheroni (1750-1800), die onafhankelijk van elkaar belangrijke bijdragen leverden aan de studie ervan.

 

 

 

 

 

 

 

Wat deze constante zo interessant maakt, is dat deze voorkomt in verschillende contexten, waaronder sommen van reeksen, integraalrekeningen, en zelfs in de analyse van complexe getallen. Ze is gerelateerd aan de Riemann-zetafunctie, de priemgetalstelling en de gammafunctie. Het is ook nauw verbonden met de verdeling van priemgetallen, een gebied van de wiskunde dat wiskundigen al eeuwenlang fascineert.

De definitie van de constante van Euler omvat twee schijnbaar ongerelateerde wiskundige concepten: de harmonische reeks en de natuurlijke logaritmefunctie. Het feit dat deze twee concepten nauw met elkaar verbonden zijn door deze constante is een bewijs van de schoonheid en onderlinge verbondenheid van de wiskunde.

We weten op dit moment nog steeds niet of dit getal uitgedrukt kan worden als een breuk. Een andere interessante eigenschap van de constante van Euler is dat deze transcendentaal is. Dit betekent dat het geen wortel is van een algebraïsche vergelijking met gehele coëfficiënten.