NWO finale 2026 vraag 1 (klas 6)

Drie opeenvolgende getallen leveren snel een uitsluiting op voor een exacte vergelijking. Voor de vraag naar deelbaarheid door 1000 is vooral van belang waar de factoren 8 en 125 in hun product kunnen zitten.

Infobox

Onderwerpen: Getaltheorie, deelbaarheid
Probleemoplossingstechnieken: Ontbinden in factoren, rekenen modulo 3, priemfactoren afzonderlijk onderzoeken
Moeilijkheid: Gemiddeld
Competitie: Nederlandse Wiskunde Olympiade, finale, klas 6
Jaar: 2026
Opgavenummer: 1

Opgave

(a) Bewijs dat er geen positief geheel getal $n$ bestaat met $n^3-n=1000$ .

(b) Vind het kleinste positieve gehele getal $n>1$ waarvoor $n^3-n$ deelbaar is door 1000.

Eerste idee

Schrijf $n^3-n$ als het product van drie opeenvolgende getallen. Dat geeft direct de deelbaarheid door 3 voor (a). Voor (b) moet het product zowel de factor 125 als de factor 8 bevatten: eerst begrenst de factor 125 de mogelijke waarden van $n$ , waarna de factor 8 de eerste kandidaat uitsluit.

Uitwerking

We ontbinden

$n^3-n=(n-1)n(n+1).$

(a)

Van drie opeenvolgende gehele getallen is er precies één deelbaar door 3. Daarom is $(n-1)n(n+1)$ voor ieder geheel getal $n$ deelbaar door 3. Het getal 1000 is niet deelbaar door 3. De gelijkheid $n^3-n=1000$ is dus onmogelijk.

(b)

Omdat $1000=8\cdot125$ en 8 en 125 onderling priem zijn, moet $n^3-n$ zowel door 8 als door 125 deelbaar zijn.

Van de drie opeenvolgende getallen $n-1$ , $n$ en $n+1$ kan er hoogstens één deelbaar zijn door 5. Als hun product door $125=5^3$ deelbaar is, moet daarom één van deze drie getallen zelf door 125 deelbaar zijn. Voor $1<n<124$ liggen alle drie de getallen tussen 1 en 124. In dat bereik is geen veelvoud van 125, dus geen van die waarden van $n$ voldoet.

Voor $n=124$ geldt

$n^3-n=123\cdot124\cdot125.$

Hier zijn 123 en 125 oneven en is 124 wel door 4 maar niet door 8 deelbaar. Dit product is dus niet deelbaar door 8.

Voor $n=125$ geldt

$n^3-n=124\cdot125\cdot126.$

De factor 125 is deelbaar door 125. Verder is 124 deelbaar door 4 en 126 door 2, zodat het product deelbaar is door 8. Omdat 8 en 125 onderling priem zijn, is het product deelbaar door 1000. Het kleinste gevraagde getal is dus

$\boxed{n=125}.$

Probleemoplossingstechnieken

Ontbinden in factoren: Schrijf $n^3-n$ als het product van drie opeenvolgende getallen.
Rekenen modulo 3: Gebruik dat een van die getallen deelbaar is door 3.
Priemfactoren afzonderlijk onderzoeken: Behandel de factoren 8 en 125 van 1000 apart.

Infobox

Opgave

Eerste idee

Uitwerking

(a)

(b)

Probleemoplossingstechnieken

Bron