Gulden snede meets Fibonacci | Wiskunde is leuk

De gulden snede wordt gegeven door

$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

en voldoet aan de betrekking:

$\varphi^2=\varphi+1$

We kunnen hogere machten ook uitrekenen:

$\varphi^3=2\varphi+1$

$\varphi^4=3\varphi+2$

Algemeen kunnen we stellen dat:

$\varphi^n=F_n\varphi+F_{n-1}$

Hierbij is $F_n$ het n-de Fibonacci getal, met $F_0=0$ en $F_1=1$ en voor $n\geq 2: F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ , dus de rij $0,1,1,2,3,5,8,\cdots$

Volgens vorige formule is dit $\varphi^{12}=F_{12}\varphi+F_{11}$ .

Uitgewerkt geeft dit: $144\varphi+89=161+72\sqrt{5}$ .

Opgepast : in