Hoogtelijnen in een driehoek | Wiskunde is leuk

Beschouw een willekeurige driehoek $ABC$ met zijden

$a = |BC|,\qquad b = |CA|,\qquad c = |AB|$ .
Noem $h_a,h_b,h_c$ de lengtes van de hoogtelijnen op respectievelijk $BC,CA,AB$ .
Verder zij $r \quad \text{de straal van de ingeschreven cirkel,}$ en $s = \frac{a+b+c}{2}$
de halve omtrek van de driehoek.

De oppervlakte $\Delta$ van de driehoek kan op twee fundamentele manieren worden uitgedrukt.

Enerzijds geldt, via de hoogtelijnen:

$\Delta = \frac{1}{2} a h_a= \frac{1}{2} b h_b= \frac{1}{2} c h_c.$

Anderzijds is er de klassieke formule met de ingeschreven cirkel:
$\Delta = r s.$

Door beide uitdrukkingen voor de oppervlakte te vergelijken, krijgen we:

$\frac{1}{2} a h_a = r s,$ waaruit volgt: $h_a = \frac{2rs}{a}.$
Analoog vinden we:

$h_b = \frac{2rs}{b}, \qquad h_c = \frac{2rs}{c}.$

Neem nu van deze uitdrukkingen de omgekeerden:
$\frac{1}{h_a} = \frac{a}{2rs}, \qquad\frac{1}{h_b} = \frac{b}{2rs}, \qquad\frac{1}{h_c} = \frac{c}{2rs}.$

Door deze drie gelijkheden op te tellen, bekomen we:

$\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}= \frac{a+b+c}{2rs}.$
Omdat $a+b+c = 2s$ , vereenvoudigt dit tot:

$\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}= \frac{2s}{2rs}= \frac{1}{r}.$

We besluiten dat voor elke driehoek het volgende elegante verband geldt:

$\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}}$