Kettingwortels | Wiskunde is leuk

Een uitdrukking zoals

$x=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+...}}}}$

wordt een oneindige kettingwortel genoemd.

Als we beide leden kwadrateren komt er:

$x^2=a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+...}}}}$

of nóg $x^2=a+x$ . De positieve oplossing van deze vierkantsvergelijking is $x=\frac{1}{2}(1+\sqrt{1+4a})$ .

Stel hierin bijvoorbeeld $a=1$ , dan bekomen we:

$\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}}$

In het bijzonder ontstaat er een natuurlijk getal indien $1+4a$ een volkomen kwadraat is. Een paar voorbeelden:

$2=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}$

$3=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}}$

$4=\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+...}}}}$