Newtons methode en de verschillentabel

Wanneer we de waarden van een polynoom kennen voor enkele opeenvolgende gehele getallen, kunnen we met een verschillentabel vaak heel eenvoudig verdere functiewaarden bepalen.

De methode is vooral handig wanneer de waarden van $x$ telkens één eenheid verschillen.

Het basisidee

Stel dat we een polynoom $f(x)$ kennen in de punten

$x=0,1,2,3,\ldots$

We berekenen eerst de verschillen tussen opeenvolgende functiewaarden:

$\Delta f(x)=f(x+1)-f(x).$

Daarna berekenen we opnieuw verschillen:

$\Delta^2 f(x)=\Delta f(x+1)-\Delta f(x),$

en zo verder.

Voor een polynoom van graad $n$ worden de $n$ -de verschillen constant.

$\begin{array}{c|c} \text{graad van het polynoom} & \text{constante verschillen}\\ \hline 1 & \text{eerste verschillen}\\ 2 & \text{tweede verschillen}\\ 3 & \text{derde verschillen}\\ 4 & \text{vierde verschillen} \end{array}$

Deze eigenschap laat toe om een tabel verder aan te vullen zonder eerst het volledige polynoom te bepalen.

Voorbeeld 1: een lineair polynoom

Gegeven:

$f(0)=2,\qquad f(1)=5,\qquad f(2)=8.$

De verschillentabel is:

$\begin{array}{c|c|c} x&f(x)&\Delta f\\ \hline 0&2&3\\ 1&5&3\\ 2&8& \end{array}$

De eerste verschillen zijn constant:

$3,3.$

Het volgende verschil is dus opnieuw $3$ . Daarom:

$f(3)=8+3=11.$

Voorbeeld 2: een kwadratisch polynoom

Neem:

$f(0)=1,\qquad f(1)=4,\qquad f(2)=9,\qquad f(3)=16.$

De verschillentabel wordt:

$\begin{array}{c|c|c|c} x&f(x)&\Delta f&\Delta^2f\\ \hline 0&1&3&2\\ 1&4&5&2\\ 2&9&7&\\ 3&16&& \end{array}$

De eerste verschillen zijn

$3,5,7,$

en de tweede verschillen zijn

$2,2.$

Omdat de tweede verschillen constant zijn, past dit bij een tweedegraadspolynoom.

Om de volgende waarde te vinden, zetten we de tabel verder. Het volgende tweede verschil blijft $2$ .

Het volgende eerste verschil wordt:

$7+2=9.$

Daarom:

$f(4)=16+9=25.$

Voorbeeld 3: een derdegraadspolynoom

Neem de waarden:

$0,\quad 1,\quad 8,\quad 27,\quad 64.$

Dit zijn de waarden van

$f(x)=x^3$

voor $x=0,1,2,3,4$ .

De verschillentabel is:

$\begin{array}{c|c|c|c|c} x&f(x)&\Delta f&\Delta^2f&\Delta^3f\\ \hline 0&0&1&6&6\\ 1&1&7&12&6\\ 2&8&19&18&\\ 3&27&37&&\\ 4&64&&& \end{array}$

De derde verschillen zijn constant:

$6,6.$

Ook hier zien we dus precies het gedrag dat hoort bij een derdegraadspolynoom.

Een onbekende volgende waarde bepalen

Stel dat een tweedegraadspolynoom de waarden heeft

$3,\quad 6,\quad 11,\quad ?$

We maken opnieuw een verschillentabel:

$\begin{array}{c|c|c|c} x&f(x)&\Delta f&\Delta^2f\\ \hline 0&3&3&2\\ 1&6&5&\\ 2&11&& \end{array}$

Omdat het om een tweedegraadspolynoom gaat, moeten de tweede verschillen constant zijn. Dus blijft

$\Delta^2f=2.$

Het volgende eerste verschil wordt:

$5+2=7.$

Daarom is de volgende functiewaarde:

$11+7=18.$

Dus:

$\boxed{f(3)=18}.$

Waarom is deze methode nuttig?

Een polynoom kunnen we altijd schrijven als

$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n.$

Maar als verschillende functiewaarden gegeven zijn, leidt het bepalen van al die coëfficiënten vaak tot een vrij groot stelsel vergelijkingen.

Met een verschillentabel is dat meestal niet nodig. Wanneer de waarden van $x$ opeenvolgende gehele getallen zijn, kunnen we rechtstreeks met de functiewaarden werken.

De methode is daarom bijzonder geschikt voor:

interpolatie;
getallenrijen die door een polynoom bepaald worden;
wiskundeolympiades en andere wedstrijdopgaven;
het bepalen van een volgende functiewaarde;
het herkennen van de graad van een polynoom.

Samengevat

Voor een polynoom van graad $n$ geldt:

$\boxed{\text{de }n\text{-de verschillen zijn constant}}$

Daarom kan men een verschillentabel maken en die vervolgens verder aanvullen.

De methode van Newton is eenvoudig, overzichtelijk en vaak veel sneller dan het expliciet bepalen van het polynoom zelf.