Nootje 56

Geplaatst op door

Bepaal alle rijen opeenvolgende natuurlijke getallen n, n+1,n+2, …,n+k waarvan de som van de termen gelijk is aan 1000

Antwoord

  • De som van deze termen is de som van termen van een rekenkundige rij en wordt gegeven door het gemiddelde van de eerste term (n)  en de laatste term (n+k) te vermenigvuldigen met het aantal termen (k+1):
  • Dus S=\frac{1}{2}(k+1)(2n+k)=1000=2^3.5^3. Bijgevolg moet

        \[(k+1)(2n+k)=2^4.5^3\]

  • We kunnen nu twee gevallen onderzoeken: eerst onderzoeken we de situatie als k even is, dan is k+1 oneven en 2n+k even en dit levert volgende mogelijkheden
    k+1=1 en 2n+k=2000 dus k=0 en n=1000 (triviale oplossing)
    k+1=5 en 2n+k= 400 dus k=4 en n= 198
    k+1=25 en 2n+k=80 dus k=24 en n=28
    k+1=125 en 2n+k= 16 dus k=124 en n=-56 ( geen goede oplossing)
  • Stel dat k oneven is, dan is k+1 even en 2n+k oneven en dan is de enige mogelijkheid k+1=16 en 2n+k=125, dus k=15 en n=55
  • Er zijn dus 4 oplossingen:
    1000
    198,199,200,201,202
    28,29,…,51,52
    55,56,…,69,70