Nootje 61 | Wiskunde is leuk

Bereken de oppervlakte van onderstaand vierkant

Antwoord

Met $\left[CDF\right]$ bedoelen we de oppervlakte van de driehoek CDF.
$\left[CDF\right]=27+\left[FGH\right]$ en dit is de helft van de oppervlakte van het vierkant ABCD.
Verder is ook $\left[BCF\right]+\left[ADF\right]=5+15+7+\left[DEH\right]=27+\left[DEH\right]$ en ook dit is de helft van de oppervlakte van het vierkant ABCD.
Uit vorige twee punten vinden we dat $\left[FGH\right]=\left[DEH\right]$ . Noteer deze oppervlakten door X zoals te zien is op bovenstaande tekening.
Verbind B met D.
$\left[ABD\right]$ is de helft van de oppervlakte van ABCD en dus is $\left[ABD\right]=27+X$ . Verder is $\left[ABE\right]=12+X$ , $\left[BDE\right]=27+X-12-X=15$ en $\left[BDH\right]=15-X$ . Gelijkaardig is $\left[BDF\right]=20$ .
Gebruik nu de ladderstelling in driehoek ABD:
$\frac{1}{\left[ABD\right]}+\frac{1}{\left[BDH\right]}=\frac{1}{\left[BDE\right]}+\frac{1}{\left[BDF\right]}$
Dit geeft:
$\frac{1}{27+X}+\frac{1}{15-X}=\frac{1}{15}+\frac{1}{20}$
Als je dit uitrekent vind je $X^2+12X-45=(X-3)(X+15)=0$ . Dus is $X=3$ .
De oppervlakte van het vierkant is dan $2.(27+X)=60$ .