Nootje 62

Geplaatst op door

f(1)=0 en f(x)=x+f(x-1) ,x \in \mathbb{N}. Bereken f(100).

 

“Antwoord”
  • We weten dat f(x)-f(x-1)=x voor alle natuurlijke getallen x. We schrijven deze formule op voor x van 1 tot n:
  • f(1)-f(0)=1.
  • f(2)-f(1)=2.
  • f(3)-f(2)=3.
  • …
  • f(n)-f(n-1)=n.
  • Als we alles bij elkaar optellen, zien we in het linkerlid bijna alle termen tegen elkaar wegvallen en we behouden f(n)-f(0)=1+2+3+...+n.
  • Nu is f(0)=1 en de som in het rechterlid is \frac{1}{2}n(n+1).
  • Bijgevolg is f(n)=\frac{1}{2}n(n+1)+1 en

        \[f(100)=\frac{1}{2}100.101 +1=5051\]