Nootje 63 | Wiskunde is leuk

Bereken $x^2-xy+y^2$ als de diameter van de cirkel gelijk is aan 2.

Antwoord

Passen we twee maal de cosinus regel toe en maken we gebruik van $\cos 60^{\circ}=0,5$ en $\cos 120^{\circ}=-0,5$ .
$1=y^2+d^2-yd$
$1=x^2+d^2+xd$
Als we die vergelijkingen van elkaar aftrekken vinden we dat $0=(y^2-x^2)-(y+x)d$ . Hieruit volgt dat $d=y-x$ .
Vullen we dit terug in bij de eerste vergelijking dan is $1=y^2+d^2-y(y-x)$ .
Uitwerken geeft $1=d^2+xy$ of $1=(y-x)^2+xy=x^2-xy+y^2$ .
De gevraagde uitdrukking is dus gelijk aan 1.