Opgave 42 | Wiskunde is leuk

Antwoord

Stel $x=\frac{a}{b}$ ; Dan is $x+x^{-1}=1$ of $x^2-x+1=0$ .
De oplossingen hiervan zijn $\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}$ . Het is duidelijk dat de ene oplossing x voorstelt en de andere $x^{-1}$ .
We kunnen deze complexe oplossingen ook schrijven met behulp van de goniometrische notatie: $x=\cos 60^{\circ}+i\sin 60^{\circ}$ en $x=\cos -60^{\circ}+i\sin -60^{\circ}$ .
Nu moeten we $x^{2025}+x^{-2025}$ uitrekenen. We doen dit met de formule van Le Moivre.
$x^{2025}=\cos 2025.60^{\circ}+i\sin 2025.60^{\circ}=\cos 675.180^{\circ}+i\sin675.180^{\circ}$ . Een oneven veelvoud van $180^{\circ}$ maakt de cosinus -1 en de sinus 0.
Dus $x^{2025}=-1$ . Analoog kunnen we $x^{-2025}$ uitrekenen en we vinden $\cos 675.180^{\circ}-i\sin675.180^{\circ}=-1$ .
Bijgevolg is de gevraagde uitdrukking gelijk aan -2.