Stel je een eindige verzameling van $n$ punten in het vlak voor, waarbij niet alle punten op éénzelfde rechte liggen. Een verrassend eenvoudige maar diepe bewering luidt dan:

Er bestaat minstens één rechte die door precies twee van deze punten gaat.

Zo’n rechte noemt men vaak een gewone of ordinair rechte. Op het eerste gezicht lijkt dit evident, maar bij nader inzien blijkt het een niet-triviale uitspraak te zijn die aan de basis ligt van een hele tak van de combinatorische meetkunde.

De oorsprong van dit probleem ligt bij J.J.Sylvester (1814-1897), een Britse wiskundige die deze uitspraak publiceerde in 1893, maar geen bewijs gaf. 40 jaar lang werd geen oplossing gevonden. Rond 1930 rakelt Erdös het probleem terug op. De eerste oplossing komt van de Hongaar Grünewald (1933 die onder de naam galli een bewijs in het gecomplementeerd affien vlak geeft. later komen er elegantere oplossingen binnen.

Stap 1 – Kies een minimale afstand

Beschouw alle paren van verschillende punten uit $S,\; de\; gegeven\; verzameling\; van\; n\; punten$. Omdat $S$ eindig is, bestaat er een paar (A,B) waarvoor de afstand d(A,B) minimaal is onder alle afstanden tussen twee verschillende punten van $S$. Laat r de rechte zijn door A en $B$.

Stap 2 – Veronderstel dat er een derde punt op ligt

Stel, om een tegenspraak te bekomen, dat er een derde punt C∈S op de rechte $r$ ligt. Dan liggen A,B,C op één lijn. Zonder verlies van algemeenheid ligt $B$ tussen $A$ en $C\; en\; dichter\; bij\; A.$ Dan geldt: AB<AC en AB<BC. Maar dan is de afstand AB niet de enige minimale afstand op die rechte: het punt $B$ ligt “tussenin”, wat toelaat een kortere afstand te construeren tussen twee van de drie punten — in tegenspraak met de minimaliteit vand(A,B).

Stap 3 – Conclusie

De veronderstelling dat er een derde punt op r ligt is onmogelijk. Dus: r bevat precies twee punten van S. Daarmee is de stelling bewezen. ∎

Steinberg suggereert in 1944 dat we misschien de uitspraak van Sylvester nog scherper kunnen stellen. Kunnen we voor bepaalde waarden van n steeds meer dan 1 ordinaire rechte vinden? Sterker nog: kunnen we het aantal ordinaire rechten(m) uitdrukken in functie van het aantal punten(n)? Er zijn al veel publicaties over dit onderwerp verschenen. Kelly en Mose publiceerden als eerste een ondergrens :

Hansen onderzocht de waarde van m voor enkele kleine waarden van n en vond  (geschreven als koppels (n,m)) : (3,3), (4,3), (5,4) ,(6,3), (7,3), (8,4), (9,6), (10,5)