Derde afgeleide

De afgeleide of het differentiaal quotiënt is een maat voor verandering van een functie ten opzichte van verandering van zijn variabelen. Als de afgeleide van een functie f gedefinieerd is voor alle punten in het domein van f, wordt de daardoor bepaalde functie de afgeleide functie of kortweg de afgeleide genoemd. Het concept van de afgeleide van een functie werd in de 17e eeuw vrijwel tegelijkertijd door Isaac Newton en Gottfried Leibniz uitgevonden.

In Coronatijden wordt wel elke dag iets over de afgeleide verteld: het aantal besmettingen ( N(t)) stijgt, betekent dat de eerste afgeleide N'(t) groter is dan 0. De stijging van het aantal besmettingen neemt af, de kromme vlakt af, betekent dat de tweede afgeleide N”(t) negatief is.

De vraag die Leander Saerens, leerling van 6WEWI uit het H.Drievuldigheidscollege in Leuven, zich stelde was: heeft de derde afgeleide van een functie ook een ‘interessante’ betekenis.

Voor willekeurige functies ligt dat wat moeilijk, maar er is wel een betekenis te geven als we naar de fysische toepassingen kijken. In de natuurkunde  spelen afgeleiden ook een zeer belangrijke rol. Zo bepaalt de eerste afgeleide van de plaats functie de snelheid en bepaalt de tweede afgeleide van de plaats functie (of de eerste afgeleide van de snelheidsfunctie) de versnellingsfunctie.

De derde afgeleide, of de verandering van de versnelling, wordt  ‘jerk’ genoemd, van het werkwoord ‘to jerk’, rukken. Zo kan je bijvoorbeeld denken aan de plotselinge ruk aan een touw. in een auto kan je het effect van een kerk of ruk goed voelen. een ervaren chauffeur zal zachtjes versnellen. Een beginnende rijder zal meer met horten en stoten rijden, zeker bij het veranderen van versnelling.

 

Een voorbeeld met een lift: 

in een eerste model gaat men uit van een constante versnelling  bij het versnellen en  bij het vertragen. Tussenin blijft de lift met zijn maximale snelheid bewegen.

            

in een tweede model stijgt de versnelling lineair stijgt tot haar maximale waarde, ze blijft op haar maximale waarde, en neemt daarna lineair af .Dan is de snelheid maximaal en dit blijft zo gedurende enige tijd. Daarna vindt eenzelfde soort proces plaats maar dan omgekeerd om de snelheid weer tot 0 m/s te brengen. 

In differentiaalmeetkunde wordt de derde afgeleide onder andere ook gebruikt om de torsie van een ruimtekromme te berekenen. De torsie van een ruimtekromme zegt hoe sterk deze kromme afwijkt van een vlak. De torsie wordt uitgedrukt in radialen/lengte-eenheid en kan positief, nul of negatief zijn. Indien een ruimtekromme in een vlak ligt is haar torsie nul.