Griekse wiskunde deel 7

Archimedes leefde in Syracuse van 287 tot. 212 v.C. en verbleef aan het hof van koning Hieron. Bij zijn tijdgenoten verwierf hij grote vermaardheid, niet zozeer voor zijn zuiver wetenschappelijk werk, maar vooral door zijn talrijke technische realisaties van ingenieuze werktuigen en machines( pompen, kranen , katapulten,..).

Als zuiver platonische wiskundige is hij zelf minder gelukkig met zijn materialistische nevenactiviteiten. Tijdens een reis naar Egypte maakt hij kennis met Euclides en vanaf dan onderhoudt hij een vrij drukke wetenschappelijke briefwisseling met andere wiskundigen zoals bvb. Erastosthenes. Meestal deelt hij enkel resultaten mee, daarmee zijn collega’s uitdagend om er zelf een bewijs voor te vinden.

Van zijn uitgebreid oeuvre bleven enkel volgende werken bewaard: Over het evenwicht van vlakke figuren en hun zwaartepunt,  de kwadratuur van de parabool, de methode, over de bol en de cilinder, over de conoïden en de sferoïden. over de spiralen, over de drijvende lichamen, de cirkelmeting en de zandrekenaar.

De methode: dit werk werd pas in 1906 bij toeval teruggevonden door de Deense filoloog Heiberg op een palimpsest uit een kloosterbibliotheek. In dit werk leert Archimedes ons dat de strenge deductieve methode , waarvan Aristoteles de formele regels vastlegde en die Euclides in zijn Elementen zo perfect illustreerde, een procédé is dat haast alleen nuttig is om bewijzen van gekende resultaten te leveren.Voor het creatief onderzoekingswerk geeft hij de voorkeur aan zogenaamde mechanische methodes die, omdat ze op fysische inzichten berusten, minder streng maar zoveel vruchtbaarder zijn. Nadat hij langs deze heuristische weg resultaten ontdekt heeft, geeft hij een streng bewijs waarbij hij dikwijls gebruik maakt van Eudoxos’ exhaustiemethode.

Een korte geschiedenis van pi

Pi is de verhouding tussen de omtrek en de middellijn van een cirkel:

    \[\pi=\dfrac{\text{omtrek}}{\text{middellijn}}\]

Dit leidt tot de misvatting dat pi een rationaal getal is, want het kan geschreven worden als een breuk! We vergeten hierbij dat, in een breuk, felle en noemer gehele getallen moeten zijn. Maar bij pi is hetzij de omtrek , hetzij de diameter irrationaal. 

Het idee van pi als constante bestaat al lang. De Egyptenaren schatten het op \frac{25}{8}=3,125 en de Mesopotamiërs gaven het de waarde van \sqrt{10}\approx 3,162.

Archimedes was de eerste die pi grondig onderzocht. Door veelhoeken in een cirkel te  tekenen en hun omtrek te berekenen, kon hij pi schatten tussen \frac{223}{71} en \frac{22}{7}. sinds Archimedes is de nauwkeurigheid van pi groter geworden. Dank zij de computer kennen we nu pi tot op miljarden cijfers nauwkeurig.

Een paar schattingen door de eeuwen heen:

  • papyrus Rhind ( 1650 BC) :  3,16045
  • Archimedes (250 BC) : 3,1418
  • Ptolemaeus (150 AD) 3,14166
  • Brahmagupta (640 AD): 3,1622   
  • Al-Khwarizmi (800 AD) : 3,1416
  • Fibonacci (1220 AD) : 3,141818

Het symbool \pi, voor pi werd in 1706 geïntroduceerd door William Jones in zijn boek Synopsis Palmariorum Mathesis. 

Pi kan ook voorgesteld worden door een reeks . De veertiende eeuws Indiase wiskundige Madhava gebruikte de volgende reeks :

    \[\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}\cdots\]

Dit convergeert eerder traag naar pi. Euler gebruikte de reeks :

    \[\frac{\pi^2}{6}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}\cdots\]

De Engelse wiskunde Wallis maakte gebruik van:

    \[\frac{\pi}{2}=\frac{2}{1}*\frac{2}{3}*\frac{4}{3}*\frac{4}{5}*\frac{6}{5}\cdots\]

 

Salinon

De salinon is een figuur gevormd door 4 halve cirkels.

Het woord salinon komt uit het Grieks en betekent ‘zoutvaatje’.  Als de straal van de grote halve cirkel R is en de straal van de kleine cirkel in het midden r is, dan is de straal van de andere 2 kleine halve cirkel gelijk aan \dfrac{R-r}{2}.

In het  Boek der Lemmas, bewees Archimedes dat de oppervlakte van de salinon gelijk is aan de oppervlakte van een cirkel gegeven in onderstaande figuur en die is \dfrac{1}{4}\pi(R+r)^2.

 

 

Arbelos

De arbelos is een meetkundige guur die bestaat uit drie aan elkaar rakende halve cirkels. De raakpunten liggen op een lijn. In onderstaande tekening is de arbelos de paarse figuur.

De arbelos is geïntroduceerd door Archimedes in zijn Liber assumptorum. Het woord arbelos komt uit het Grieks, en betekent schoenmakersmes.

In  volgende tekst kan je enkele leuke eigenschappen van de arbelos bestuderen. Dit is vrij eenvoudige meetkunde met eigenschappen van de cirkel.

Axioma van Archimedes

Archimedes ( 287 BC-212 BC) was één van de grootste wiskundigen uit de oudheid, alhoewel hij misschien meer bekend is als natuurkundige en uitvinder.

Een welbekend resultaat van hem is het axioma van Archimedes.

    \[\forall x<y \in \mathbb{N},  \exists n \in \mathbb{N} : nx \geq y\]

Dit resultaat komt voor in zijn werk : De kwadratuur van de parabool.
Archimedes zelf vermeldt erbij dat dit resultaat reeds gebruikt werd door sommige van zijn voorlopers en dat het  reeds een belangrijke rol gespeeld heeft in het werk van Eudoxos. (400BC – 347 BC). Vandaar dat het axioma ook bekend staat als het axioma van Eudoxos. Dit axioma vormt de basis van de uitputtingsmethode ( exhaustie methode ) waarbij problemen met oneindigheid opgelost werden met een soort limietovergangen.