Tag archieven: benadering pi

22/7

Geplaatst op door

Vroeger vertelde men ons dat we voor \pi de breuk \frac{22}{7} mochten nemen. Natuurlijk drong het niet bij iedereen door dat dit een benadering was. Een bewijsje:

Neem de functie

    \[f(x)=\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\]

  • f is strikt positief en continu tussen 0 en 1.
  • Dus is \int_0^1f(x) dx>0.
  • De Euclidische deling geeft \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}=x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2}.
  • Een primitieve functie van f is dan \frac{1}{7}x^7-\frac{4}{6}x^6-x^5-\frac{4}{3}x^3+4x-4\text{Bgtan }(x).
  • Bijgevolg is \int_0^1f(x) dx= \frac{22}{7}-\pi. 
  • Uit het tweede puntje volgt dan:
  • Narekenen op rekentoestel geeft \frac{22}{7}=3,142857142857,... en \pi=3,14159265....

Een korte geschiedenis van pi

Geplaatst op door

Pi is de verhouding tussen de omtrek en de middellijn van een cirkel:

    \[\pi=\dfrac{\text{omtrek}}{\text{middellijn}}\]

Dit leidt tot de misvatting dat pi een rationaal getal is, want het kan geschreven worden als een breuk! We vergeten hierbij dat, in een breuk, felle en noemer gehele getallen moeten zijn. Maar bij pi is hetzij de omtrek , hetzij de diameter irrationaal. 

Het idee van pi als constante bestaat al lang. De Egyptenaren schatten het op \frac{25}{8}=3,125 en de Mesopotamiërs gaven het de waarde van \sqrt{10}\approx 3,162.

Archimedes was de eerste die pi grondig onderzocht. Door veelhoeken in een cirkel te  tekenen en hun omtrek te berekenen, kon hij pi schatten tussen \frac{223}{71} en \frac{22}{7}. sinds Archimedes is de nauwkeurigheid van pi groter geworden. Dank zij de computer kennen we nu pi tot op miljarden cijfers nauwkeurig.

Een paar schattingen door de eeuwen heen:

  • papyrus Rhind ( 1650 BC) :  3,16045
  • Archimedes (250 BC) : 3,1418
  • Ptolemaeus (150 AD) 3,14166
  • Brahmagupta (640 AD): 3,1622   
  • Al-Khwarizmi (800 AD) : 3,1416
  • Fibonacci (1220 AD) : 3,141818

Het symbool \pi, voor pi werd in 1706 geïntroduceerd door William Jones in zijn boek Synopsis Palmariorum Mathesis. 

Pi kan ook voorgesteld worden door een reeks . De veertiende eeuws Indiase wiskundige Madhava gebruikte de volgende reeks :

    \[\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}\cdots\]

Dit convergeert eerder traag naar pi. Euler gebruikte de reeks :

    \[\frac{\pi^2}{6}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}\cdots\]

De Engelse wiskunde Wallis maakte gebruik van:

    \[\frac{\pi}{2}=\frac{2}{1}*\frac{2}{3}*\frac{4}{3}*\frac{4}{5}*\frac{6}{5}\cdots\]