pi en de sommen van twee kwadraten

Geplaatst op 28 november 2025 door admin

Het aantal mogelijkheden om een natuurlijk getal n als een som van twee kwadraten van gehele getallen te schrijven hangt af van de aard van zijn ontbinding in factoren. Zij $n \in \mathbb{N}_0$ en stel dat $r_2(n)$ het aantal oplossingen is in $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ van de vergelijking $x^2+y^2=n$ .

$65=(\pm1)^2+(\pm8)^2=(\pm8)^2+(\pm1)^2=(\pm4)^2+(\pm7)^2=(\pm7)^2+(\pm4)^2$ , dus $r_2(65)=16$

Nu is elk priemgetal van de vorm $4k+1$ op slechts juist 1 manier te schrijven als de som van twee kwadraten van natuurlijke getallen. Bovendien is er geen priemgetal van de vorm $4k+3$ dat de som is van twee kwadraten van natuurlijke getallen. Men kan nu bewijzen dat:

$r_2(n)=4(A_n-B_n)$

Hierbij stel $A_n$ het aantal delers voor van n die gelijk zijn aan 1 modulo 4 en $B_n$ het aantal delers van n die gelijk zijn aan 3 modulo 4.

Controleren we dit even voor $n=65$ . De delers van 65 zijn $\{1,5,13,65\}$ . Alle vier de delers van 65 zijn gelijk aan 1 modulo 4, dus $A_{65}=4$ en $B_{65}=0$ . Onze formule geeft dan dat $r_2(65)=4(4-0)=16$ , wat overkomt met de waarneming hierboven.

Met $R_2(n)$ bedoelt men de som van alle $r_2(k)$ met $k\in \mathbb(N}$ en $0\leq k\leq n$ . Zo is $R_2(5)=r_2(0)+r_2(1)+r_2(2)+r_2(3)+r_2(4)+r_2(5)=14+4+0+4+8=21$ . Men kan eenvoudig zien dat $R_2(n$ het aantal roosterpunten voorstelt binnen of op de cirkel met vergelijking $x^2+y^2=n$ . Als men rond elk roosterpunt een vierkantje tekent met zijde 1, dan kan je gemakkelijk zien dat

$R_2(n)\approx n\pi$

Het voorbeeld van $n=5$ geeft volgende tekening:

Je kan het aantal roosterpunten tellen binnen of op de cirkel met straal $\sqrt{5}$ en men bekomt inderdaad 21. De oppervlakte van de cirkel is $\pi (\sqrt{5})^2=5\pi \approx 16$ en dat is een benadering van het resultaat 21. Hoe hoger n hoe beter de benadering.

Hieronder een Python programma voor de berekening van $r_2(n)$ voor n van 0 tot 20.

Nootje 63

Geplaatst op 16 oktober 2025 door admin

Bereken $x^2-xy+y^2$ als de diameter van de cirkel gelijk is aan 2.

Antwoord

Passen we twee maal de cosinus regel toe en maken we gebruik van $\cos 60^{\circ}=0,5$ en $\cos 120^{\circ}=-0,5$ .
$1=y^2+d^2-yd$
$1=x^2+d^2+xd$
Als we die vergelijkingen van elkaar aftrekken vinden we dat $0=(y^2-x^2)-(y+x)d$ . Hieruit volgt dat $d=y-x$ .
Vullen we dit terug in bij de eerste vergelijking dan is $1=y^2+d^2-y(y-x)$ .
Uitwerken geeft $1=d^2+xy$ of $1=(y-x)^2+xy=x^2-xy+y^2$ .
De gevraagde uitdrukking is dus gelijk aan 1.

Chebychev metriek

Geplaatst op 9 april 2023 door admin

We weten allemaal hoe we de afstand meten tussen twee punten. Hierbij verzwijgen we eigenlijk dat het gaat over de euclidische afstand. Er zijn ook andere manieren om een afstand te berekenen.

Zo heb je bijvoorbeeld de Chebychev afstand ( naar de Russische wiskundige Pafnoeti Chebychev(1821-1894)) en de taximetrische afstand. Neem twee punten $A(x_1,x_2,...,x_n)$ en $b(y_1,y_2,...,y_n)$ , dan is de Chebychev afstand het maximum van de getallen $|x_i-y_i|$ en de taximetrische afstand is de som van al die getallen.

Zo is de Chebychev afstand tussen twee velden op een schaakbord het minimum aantal zetten dat de koning nodig heeft om zich van het ene punt naar het andere punt te begeven.

We geven tot slot nog een afbeelding van de eenheidscirkel in de drie afstanden: Euclidisch, Chebychev en taximetrisch:

De cirkel van Apollonius

Geplaatst op 5 juni 2020 door admin

Een cirkel van Apollonius is de meetkundige plaats in het vlak van alle punten p, die bij gegeven punten A en B, voldoen aan

$d(P,A)=r . d(P,B)$

De naam van deze cirkel komt van de Griekse astronoom en wiskundige Apollonius van Perga( 262-190 BC). Hij was degene die kegelsnedes, zoals ellipsen, parabolen en hyperbolen, de namen gaf die we tot op de dag van vandaag nog gebruiken. Zijn achtdelige ”Konika” over kegelsnedes wordt gezien als één van de grootste werken uit de antieke meetkunde. Verder heeft hij enorm bijgedragen aan de astronomie. Dit blijkt uit de, naar hem vernoemde, Apolloniuskrater op de maan.

Merk eerst en vooral op dat als r = 1, dat de meetkundige plaats een rechte is, namelijk de middelloodlijn van $\left[A,B\right]$ .

Veronderstel nu dan dat $r \neq 1$ . Als we de oorsprong in A leggen, de X-as door A en B en B(d,0) noemen, dan is de nodige en voldoende voorwaarde voor (x,y) om op de meetkundige plaats te leggen gegeven door $x^2+y^2=k^2( (x-d)^2+y^2$ . Na wat rekenwerk is dit te herleiden tot

$\big(x-\dfrac{k^2d}{k^2-1}\big)^2+y^2=\dfrac{k^2d^2}{(k^2-1)^2}$

Dit is inderdaad een cirkel met middelpunt $M(\dfrac{k^2d}{k^2-1},0)$ en straal $\dfrac{kd}{k^2-1}$ .

Als C en D de snijpunten zijn van de cirkel met de X-as, dan geldt voor elk punt P van de cirkel dat PC en PD de deellijnen zijn van de driehoek ABP. In een driehoek worden, vanwege deze eigenschap, de cirkels door een hoekpunt en door de snijpunten van de bissectrices door dat hoekpunt met de overstaande zijde de cirkels van Apollonius van die driehoek genoemd.

Een paar opmerkingen:

De Apollonius cirkel door A heeft als verhouding $\frac{c}{b}$ .
Elk van deze cirkels staat loodrecht op de omgeschreven cirkel van de driehoek.
De middelpunten van de drie cirkels liggen op één lijn.

Arbelos

Geplaatst op 24 april 2018 door admin

De arbelos is een meetkundige guur die bestaat uit drie aan elkaar rakende halve cirkels. De raakpunten liggen op een lijn. In onderstaande tekening is de arbelos de paarse figuur.

De arbelos is geïntroduceerd door Archimedes in zijn Liber assumptorum. Het woord arbelos komt uit het Grieks, en betekent schoenmakersmes.

In volgende tekst kan je enkele leuke eigenschappen van de arbelos bestuderen. Dit is vrij eenvoudige meetkunde met eigenschappen van de cirkel.

Wiskunde is leuk

Tag archieven: cirkel

pi en de sommen van twee kwadraten

Nootje 63

Bereken $x^2-xy+y^2$ als de diameter van de cirkel gelijk is aan 2.

Chebychev metriek

De cirkel van Apollonius

Arbelos

Bereken als de diameter van de cirkel gelijk is aan 2.

Bereken $x^2-xy+y^2$ als de diameter van de cirkel gelijk is aan 2.