Tag archieven: cosinus regel

Sangaku 5

Geplaatst op door

Deze sangaku werd beschreven op een tablet van de Miyagi Prefecture uit 1912

 

Antwoord

  • We gaan op zoek naar de lengte van de schuine zijde van de groene rechthoekige driehoeken. Noteer de zijde van de regelmatige vijfhoek  door a.
  • We leggen volgende notatie vast:
  • De scherpe hoek van de groene driehoek, die grenst aan de  vijfhoek is 36^\circ (de helft van het supplement van de hoek van een vijfhoek, en die is 108^\circ).
  • Driehoek A_3A_4A_5 is gelijkbenig en dus zijn de basishoeken elk 36^\circ. Volgens de cosinusregel is l^2=2a^2(1-\cos 108^\circ)=4a^2\sin^2 72^\circ=4a^2\cos36^\circ
  • Hieruit volgt dat l=2a\cos 36^\circ.
  • In driehoek A_3MA_5 is h=l\sin 72^\circ. Samen met vorig resultaat geeft dit dat h=2a\cos 35^\circ \sin 72^\circ.
  • In driehoek A_3MP is c=\frac{h}{\cos 54^\circ}=\frac{2a\cos 35^\circ \sin 72^\circ}{\cos 54^\circ}.
  • Tenslotte, in driehoek A_3PH is t=\frac{c}{\cos 36^\circ}. 
  • Hierin kunnen we c invullen en krijgen we, omdat \cos 36^\circ=\frac{1+\sqrt{5}}{4}:

        \[t=a(1+\sqrt{5})\]