Nootje 63

Geplaatst op 16 oktober 2025 door admin

Bereken $x^2-xy+y^2$ als de diameter van de cirkel gelijk is aan 2.

Antwoord

Passen we twee maal de cosinus regel toe en maken we gebruik van $\cos 60^{\circ}=0,5$ en $\cos 120^{\circ}=-0,5$ .
$1=y^2+d^2-yd$
$1=x^2+d^2+xd$
Als we die vergelijkingen van elkaar aftrekken vinden we dat $0=(y^2-x^2)-(y+x)d$ . Hieruit volgt dat $d=y-x$ .
Vullen we dit terug in bij de eerste vergelijking dan is $1=y^2+d^2-y(y-x)$ .
Uitwerken geeft $1=d^2+xy$ of $1=(y-x)^2+xy=x^2-xy+y^2$ .
De gevraagde uitdrukking is dus gelijk aan 1.

Lengte van een zwaartelijn

Geplaatst op 19 augustus 2023 door admin

Hoe kan je de lengte $z_A$ van de zwaartelijn uit A berekenen in functie van de zijden a, b en c van de driehoek?

Als je tweemaal de cosinusregel gebruikt om $z_A^2$ te berekenen en de bekomen resultaten optelt vind je:

$z_A=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$

Als je bovenstaande formule gebruikt, krijg je :

$x=\frac{1}{2}\sqrt{2.5^2+2.3^2-8^2}=1$

Eutrigon stelling

Geplaatst op 22 april 2022 door admin

Een eutrigon is een willekeurige driehoek waarvan 1 hoek 60 graden meet. De zijde ertegenover noemt men de hypotenusa van het eurtrigon.

Men kan op de zijden van een eutrigon gelijkzijdige driehoeken construeren, zoals in onderstaande tekening:

Er bestaat een stelling die zegt dat de som van de oppervlakten van de eutrigon en de driehoek op de hypotenusa, gelijk is aan de som van de oppervlakte van de driehoeken op de twee andere zijden:

$S+S_2=S_1+S_3$

In driehoek ABC kan je de cosinusregel toepassen:

$b^2=a^2+c^2-ac$

De oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek met zijde z wordt gegeven door de formule: $\frac{\sqrt{3}z^2}{4}$ . Verder weten we dat de oppervlakte van driehoek ABC gegeven wordt door $\frac{1}{2}ac \sin 60^{\circ}$ . Als we beide leden in de cosinusregel van hierboven vermenigvuldigen met $\frac{\sqrt{3}}{4}$ , vinden we dat

$S+S_2=S_1+S_3$

Sangaku 6

Geplaatst op 27 februari 2021 door admin

Antwoord

We zien een regelmatige zeshoek. Veronderstel dat de lengte van een zijde gelijk is aan 1. Zoek de afstand van A tot H.
We berekenen eerst $|AF|$ door gebruik te maken van de cosinusregel in driehoek AGF ( gelijkbenige driehoek met opstaande zijden gelijk aan 1 en een tophoek van $120^\circ$ . We vinden : $|AF|=\sqrt{3}$ .
We berekenen nu $|FH|$ in driehoek FEH. weer de cosinusregel : $1^2=x^2+x^2-2x^2\cos 120^÷circ$ . Hieruit volgt: $|AF|=\frac{1}{\sqrt{3}}$ .
Tenslotte berekenen we $|AH|$ in driehoek AHF. Cosinusregel met zijden $\sqrt{3}$ en $\frac{1}{\sqrt{3}}$ en ingesloten hoek $60^\circ$ . Dit geeft: $|AH|=\sqrt{\frac{7}{3}}$ .

Wiskunde is leuk

Tag archieven: cosinusregel

Nootje 63

Bereken $x^2-xy+y^2$ als de diameter van de cirkel gelijk is aan 2.

Lengte van een zwaartelijn

Eutrigon stelling

Sangaku 6

Bereken als de diameter van de cirkel gelijk is aan 2.

Bereken $x^2-xy+y^2$ als de diameter van de cirkel gelijk is aan 2.