Voor welke waarden van k is
deelbaar door
?
Antwoord
- Als
deelbaar is door
, dan bestaat er een
zodat
- Vervang nu in beide leden x door 2, en y en z door -1, dan vind je
of m.a.w.
.
Een veelterm f(x) met gehele coëfficiënten heeft oneven getalwaarden voor 0 en 1. Bewijs dat f(x) geen gehele nulwaarden kan hebben.
Antwoord
- Noteer de veelterm
.
- Omdat f(0) oneven is moet
een oneven getal zijn.
- Omdat f(1) even is moet
ook oneven zijn.
- Stel nu dat c een gehele nulwaarde is van f(x), dan is
.
- Als c even is dan is het linkerlid van deze ongelijkheid oneven en kan dus nooit nul zijn.
- Als c oneven is, dan krijgen we modulo 2 dat
. Maar ook dat is onmogelijk want het linkerlid is oneven en kan dus nooit nul zijn.
- Dus heeft f(x) geen gehele nulwaarden.