Farey rij | Wiskunde is leuk

De Rij van Farey van orde $n$ , aangeduid als $F_n$ , is een verzameling van alle rationele getallen tussen 0 en 1 die vereenvoudigd kunnen worden tot breuken met een noemer die niet groter is dan $n$ . Met andere woorden, elk element in $F_n$ heeft de vorm $\frac{a}{b}$ , waarbij $a$ en $b$ gehele getallen zijn, $0<a\leq b\leq n$ , en de grootste gemene deler van $a$ en $b$ gelijk is aan 1. De elementen in de Farey-rij zijn gerangschikt in volgorde van toenemende grootte. De rij is vernoemd naar de Britse geoloog John Farey(1766-1826)

Voorbeelden:

Door een beetje op te letten kan je gemakkelijk de Farey-rijen samenstellen:

In de rij $F_n$ komen er vergeleken met de vorige rij, alleen breuken bij met noemer n.
En die komen steeds tussen twee breuken van de vorige rij waarvan de noemers samen n zijn.
Bij de rode pijltjes in de figuur zie je welke breuken er in $F_5$ bijkomen. Steeds zijn beide noemers uit F₄ samen 5. Je weet de teller van die nieuwe breuken ook al: het is steeds de som van de tellers van de vorige rij (zie een eigenschap hieronder).

Enkele eigenschappen:

Het aantal elementen in de rij $F_n$ wordt gegeven door de formule
$1+\sum_{k=1}^{n}\varphi(k)$
waarbij $\varphi(k)$ het aantal natuurlijke getallen kleiner dan k en onderling ondeelbaar met k, voorstelt.
Voor twee buren in de rij van farey: $\frac{a}{b}$ en $\frac{c}{d}$ geldt: $bc-ad=1$ .
Voor 3 opeenvolgende elementen van de Farey rij geldt dat tussen $\frac{a}{b}$ en $\frac{c}{d}$ het getal $\frac{a+c}{b+d}$ gelegen is.

Hieronder zie je nog het Farey-diagram voor $f_5$ :

en een Farey-graaf:

Wiskunde is leuk

Tag archieven: Farey rij

De rij van Farey