identiteiten Newton | Wiskunde is leuk

Neem een veelterm P(x) van graad n. De elementaire symmetrische functies van de wortels $x_i$ van deze veelterm worden gedefinieerd als :

$e_1=x_1+x_2+...+x_n$

$e_2=x_1x_2+x_1x_3+...$ , dus de som van alle produkten van twee wortels. Analoog is $e_3$ de som van alle producten van drie wortels. We kunnen de veelterm dan schrijven als

$x^n-e_1x^{n-1}+e_2x^{n-2}-...+(-1)^ne_n$

De identiteiten van Newton geven een verband tussen deze $e_i$ en de uitdrukkingen $p_k=x_1^k+x_2^k+...+x_n^k$

Neem bijvoorbeeld $P(x)=x^4-3x^3-3x+2$ :

Dan is $e_1=3,e_2=0,e_3=3$ en $e_4=2$ . Bijgevolg is :

$x_1+x_2+x_3+x_4=3$

$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=3^2-2*0=9$

$x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3=3^3-3*0+3*3=36$

$x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4=3^4-4*3^2*0+4*3*3+2*0^2-4*2=109$

Wiskunde is leuk

Tag archieven: identiteiten Newton

Som van machten van de wortels