Tag archieven: ingeschreven cirkel

Nootje 58

Geplaatst op door

In een rechthoekige driehoek met zijden 3,4 en 5 teken je de ingeschreven cirkel en een cirkel die daaraan raakt en ook raakt aan twee zijden van de driehoek, zoals in onderstaande tekening. Bepaal de straal van de kleinste cirkel.

Antwoord

  • Noem R de straal van de ingeschreven cirkel,  dan moet 3-R+4-R=5, omdat raaklijnen getrokken aan een cirkel uit een bepaald punt, even lang zijn. Dus is R=1.
  • Noem r de straal van de kleine cirkel.
  • De aangegeven afstand vind je ofwel via de stelling van Pythagoras ofwel via de gelijkvormigheid van driehoeken.
  • Dan is 1+r+\sqrt{10}r=\sqrt{10}, waaruit volgt dat

        \[r=\frac{\sqrt{10}-1}{\sqrt{10}+1}\]

 

Nootje 43

Geplaatst op door

Zoek de oppervlakte van de getekende cirkel.

 

Antwoord

  • Noem de rechthoekzijden van de rechthoekige driehoeken a en b.
  • Dan is a*b=2*24=48.
  • De totale oppervlakte van het grote vierkant is 100 plus vierkeer de rechthoekige driehoek met oppervlakte 24, dus 196. Bijgevolg is de zijde van het grote vierkant gelijk aan 16. Dus is a+b=16
  • Uit de twee betrekkingen met a en b vinden we dan dat a=8 en b=6.
  • Nu weten we dat de oppervlakte van een rechthoekige driehoek gelijk is aan de straal van de ingeschreven cirkel vermenigvuldigd met de halve omtrek van de driehoek. Bijgevolg is de straal gelijk aan 2.
  • De oppervlakte van de getekende cirkel is 4\pi.

 

 

Straal ingeschreven cirkel

Geplaatst op door

Zoek een verband tussen de zijden van een rechthoekige driehoek en de straal van de ingeschreven cirkel.

De stukken van de raaklijnen vanuit een punt aan de cirkel zijn even lang en bovendien is x = r.

Wanneer we a+b berekenen vinden we dat a+b=x+z+x+y=2r+c, dus geldt in een rechthoekige driehoek :

    \[a+b-c=2r\]

Kan je nu de oppervlakte van de  rechthoek ABCD berekenen?

Nootje 24

Geplaatst op door

De zijden van een driehoek zijn 18,24 en 30. Vind de oppervlakte van de driehoek gevormd door het zwaartepunt en de middelpunten van om- en ingeschreven cirkel.

Antwoord

 

 

  • Omdat 18,24 en 30 gelijke veelvouden zijn van 3,4,en 5 is de gegeven driehoek rechthoekig.
  • We kunnen er dus voor zorgen dat de punten A,B en C gegeven zijn door A(0,0), B(0,18) en C(24,0).
  • Het zwaartepunt Z vind door de coördinaten op te tellen en te delen door 3, dus Z(8,6).
  • Omdat de driehoek rechthoekig is , ligt het middelpunt van de ongeschreven cirkel O, in het midden van de schuine zijde. Bijgevolg is O(12,9).
  • Als we het middelpunt I van de ingeschreven cirkel verbinden met de hoekpunten en de oppervlakte van de 3 gevormde driehoeken optellen, vinden we dat de oppervlakte van de gegeven driehoek gelijk is aan de halve omtrek, vermenigvuldigd met de straal r van de ingeschreven cirkel. Hieruit vinden we dat r = 6 en dus is I(6,6).
  • De driehoek ZOI heeft als basis |ZI|=2 en als hoogte h=9-6=3. De gevraagde oppervlakte bedraagt dus 3 oppervlakte eenheden.

 

De ongelijkheid van Euler

Geplaatst op door

Eén van de oudste ongelijkheden in een driehoek is de ongelijkheid van Euler die een verband geeft tussen de stralen van de omgeschreven en ingeschreven cirkel.

Als O het middelpunt is van de omgeschreven cirkel ( met straal R) van driehoek ABC en I het middelpunt van de ingeschreven cirkel (met straal r), noteer dan d=|OI|. Dan geldt er:

    \[d^2=R^2-2Rr\]

Hieruit volgt dan dat

    \[R\geq 2r\]

Het gelijkheidsteken geldt enkel als de driehoek gelijkzijdig is.