Betegelingen van het vlak

De kunst van het betegelen is waarschijnlijk al zo oud als de beschaving zelf. Moorse gebouwen, zoals het Alhambra zijn overvloedig versierd met kleurrijke tegels in alle mogelijke vormen.

De wetenschappelijke benadering van betegelingen is echter nauwelijks 100 jaar oud. Op 1 uitzondering na, want reeds in 1619 schreef Johann Kepler (1571-1630) over dit onderwerp.

In zijn werk: Harmonice Mundi, komen betegelingen uitgebreid aan bod, zoals blijkt uit volgende afbeeldingen uit zijn boek.

Het werk maakt op veel plaatsen de indruk een religieus traktaat te zijn. Kepler uitgangspositie is religieus, metafysisch, maar zijn grote kracht is dat hij minutieus al zijn bespiegelingen controleert en zich door de feiten laat overtuigen. Volgens het idee van Kepler is de kosmos door God harmonisch geschapen en heeft de mens voor deze harmonie een ingeschapen gevoel. De harmonie zit in de getalsmatige verhoudingen. Het is een harmonie van getallen. 

Wiskunde en wijn

Een wijnroeier is iemand die met een peilstok ( wijnroede genaamd) de hoeveelheid wijn in een vat meet.  Het beroep van wijnroeier kwam in Europa voor tot in de negentiende eeuw.

Een gelijkaardig probleem bestaat erin met een peilstok de hoeveelheid mazout in een tank te meten. Laten we veronderstellen dat het vat cilindrisch is. Het heeft de straal R en de lengte l. We zoeken nu een relatie tussen de inhoud I van de nog aanwezige wijn of olie en de hoogte h, waarover de lat door de vloeistof bevochtigd wordt.

We berekenen daartoe eerst de oppervlakte O van het cirkelsegment ACB.  Dit is het verschil van de oppervlakten van de sector MACB en  de driehoek MAB.

Door gebruik te maken van gekende formules vonden we dat deze oppervlakte gelijk is aan \alpha R^2-\frac{1}{2}R^2\sin 2\alpha.
Bijgevolg is de inhoud van de aanwezige vloeistof gelijk aan

    \[I=\frac{1}{2}lR^2(2\alpha-\sin 2\alpha)\]

Het verband tussen I en h is moeilijk uit te drukken. We weten wel dat h=R(1-\cos \alpha). We gaan een paar h waarden nemen en daarvoor \alpha en I berekenen en dat in grafiek zetten of een meetlat maken.

Het was J.Kepler, die naar aanleiding van het bezoek van een wijnroeier, zijn Nova stereometria doliorum (1615) en  Messekunst Archimedis (1616) schreef waarin hij de inhoud van bepaalde omwentelingslichamen bepaalde ( zonder integraalrekening!) en de praktische  toepassing ervan bij het wijnroeien.