Tag archieven: kleine nootjes wiskunde

Nootje 61

Geplaatst op door

Bereken de oppervlakte van onderstaand vierkant

Antwoord

 

  • Met \left[CDF\right] bedoelen we de oppervlakte van de driehoek CDF.
  • \left[CDF\right]=27+\left[FGH\right] en dit is de helft van de oppervlakte van het vierkant ABCD. 
  • Verder is ook \left[BCF\right]+\left[ADF\right]=5+15+7+\left[DEH\right]=27+\left[DEH\right] en ook dit is de helft van de oppervlakte van het vierkant ABCD.
  • Uit vorige twee punten vinden we dat \left[FGH\right]=\left[DEH\right]. Noteer deze oppervlakten door X zoals te zien is op bovenstaande tekening.
  • Verbind B met D.
  • \left[ABD\right] is de helft van de oppervlakte van ABCD en dus is \left[ABD\right]=27+X. Verder is \left[ABE\right]=12+X, \left[BDE\right]=27+X-12-X=15 en \left[BDH\right]=15-X. Gelijkaardig is \left[BDF\right]=20.
  • Gebruik nu de ladderstelling in driehoek ABD:

        \[\frac{1}{\left[ABD\right]}+\frac{1}{\left[BDH\right]}=\frac{1}{\left[BDE\right]}+\frac{1}{\left[BDF\right]}\]

  • Dit geeft:

        \[\frac{1}{27+X}+\frac{1}{15-X}=\frac{1}{15}+\frac{1}{20}\]

  • Als je dit uitrekent vind je X^2+12X-45=(X-3)(X+15)=0. Dus is X=3.
  • De oppervlakte van het vierkant is dan 2.(27+X)=60.

 

Nootje 60

Geplaatst op door



Op een veld graast een kudde schapen. Sommige schapen zijn gemerkt, en de verhouding tussen gemerkte en ongemerkte schapen is 3 op 5. Slechts 17 van de ongemerkte schapen zijn geschoren, en alle gemerkte schapen zijn geschoren. Het aantal geschoren en ongeschoren schapen is echter gelijk. Bereken het aantal schapen dat op het veld graast.

 

 

Antwoord

Stel dat het aantal gemerkte schapen 3x is, dan is volgens de voorwaarde het aantal ongemerkte schapen 5x, dus het totale aantal schapen is 8x.

Van de ongemerkte schapen zijn er 17 geschoren, dus 5x − 17 daarvan zijn niet geschoren.

De 3x gemerkte schapen zijn allemaal geschoren, dus het totale aantal geschoren schapen is 3x + 17.

Het aantal geschoren en ongeschoren schapen is gelijk, dus 3x + 17 = 5x − 17, en hieruit volgt dat x= 17. Bijgevolg is het totaal aantal schapen gelijk aan 8 * 17 =136