Tag archieven: Lagrange

Vierkwadraten stelling

Geplaatst op door

Elk priemgetal, gelijk aan 1 modulo 4, kan geschreven  worden als som van twee kwadraten. Dat een getal als som van twee kwadraten
geschreven kan worden is niet vanzelfsprekend. Bij een getal dat 3 (mod 4) is kan dat bijvoorbeeld niet. Daarentegen bleek dat wel elk getal getal te schrijven is als som van vier kwadraten.

Elk positief geheel getal kan geschreven worden als som van 4 kwadraten van gehele getallen.

    \[n=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2\]

Deze stelling was al gekend door Diophantus; Euler heeft 40 jaar gezocht naar een bewijs ervan, maar het was Joseph-Louis Lagrange ( 1736 – 1813)  die in 1772 het eerste bewijs formuleerde.

Het kan zelfs in veel gevallen met drie kwadraten. Legendre ( 1752 – 1833) beweerde dan elk getal, tenzij van de vorm 4^k(8m+7) , te schrijven is als som van drie kwadraten.

Er bestaat zelfs een mogelijkheid  om  het totaal aantal manieren  te berekenen, waarop een gegeven positief geheel getal n  kan worden geschreven als de som van vier kwadraten. Als n oneven is moet je 8 keer de som van zijn delers nemen en als n even is 24 keer de som van zijn oneven delers. Merk hierbij op dat (x_1,x_2,x_3,x_4) geordend is en dat we gehele oplossingen zoeken ; dus ook rekening houden met negatieve getallen.

Oplossing door lineaire combinaties

Geplaatst op door

Bekijk even het volgende probleem:  gegeven zijn n verschillende reële getallen m_1,\dots,m_n en a_1,\cdots,a_n. Bepaal een veelterm P(x) zodat P(m_i)=a_i voor i:1...n.

Dit is eigenlijk een interpolatieprobleem, waarbij we een veeltermfunctie zoeken waarvan de grafiek door de n punten (m_i,a_i) gaat. Natuurlijk kunnen we het stelsel van n vergelijkingen met n onbekenden gaan oplossen dat ontstaat door de n punten in te vullen in de algemene vorm van een veeltermfunctie van graad n-1.

Een andere techniek bestaat erin eerst speciale gevallen op te lossen, waarbij één van de a_i’s gelijk is aan 1 en de andere aan 0. Dit is niet zo lastig : definieer P_i(x) als het product van alle factoren x-m_j waarbij j verschilt van i. Neem vervolgens v_i(x)=\frac{P_i(x)}{P_i(m_i)}. Dan geldt inderdaad dat v_i(m_i)=1 en v_i(m_j)=0 voor elke j verschillend van i.

De uiteindelijke oplossing van het beginprobleem ontstaat nu door de gepaste lineaire combinatie te nemen van de gevonden veeltermen v_i(x), namelijk:

    \[P(x)=a_1v_1(x)+\cdots+a_nv_n(x)\]

Dit noemt men ook wel eens de Lagrange interpolatie formule.(naar de Franse wiskundige Joseph-louis Lagrange( 1736-1813))

Een voorbeeld: f(x) is een veelterm van graad maximaal n waarvoor geldt dat f(k)=\frac{n+1-k}{k+1} voor k=0,1,...,n . Zoek f(n+1).

Spoiler

  • We zoeken dus een veeltermfunctie waarvan de grafiek gaat door de punten (0,\frac{n+1}{1}),(0,\frac{n}{2}),...,(0,\frac{1}{n+1})
  • Definieer v_k(x)=x(x-1).....(x-n) waarbij de factor x-k weggelaten is. 
  • Nu is v_k(n+1)=\frac{(n+1)!}{n+1-k}. Verder is ook v_k(k)=(-1)^{n-k}.k!.(n-k)!.
  • Gebruikmakend van de Lagrange interpolatie formule vinden we :

        \[f(n+1)=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}\]

  • Dit kunnen we herschrijven als

        \[f(n+1)=\sum_{l=1}^{n+1}(-1)^{n-l+1}\frac{(n+1)!}{l!(n+1-l)!}\]

  • Via de uitwerking van het binomium van Newton voor (1-1)^{n+1} vinden we tenslotte

        \[f(n+1)=(-1)^n\]