Mersenne priemgetallen | Wiskunde is leuk

Een Mersenne-priemgetal is een speciaal soort priemgetal dat de vorm heeft:

$M_n=2^n-1$

waarbij n een natuurlijk getal is. Bijvoorbeeld:

$2^2-1=3$
$2^3-1=7$
$2^5-1=31$

Als zowel een priemgetal is én $2^ n-1$ óók een priemgetal oplevert, dan spreken we van een Mersenne-priemgetal.

Let op: niet elke waarde van die priem is, levert automatisch een Mersenne-priemgetal op. Zo is n = 11 een priemgetal, maar $2^{11}=2047=23*89$ is geen priemgetal

De naam Mersenne verwijst naar de Franse monnik en wiskundige Marin Mersenne (1588–1648). In zijn tijd onderzocht hij priemgetallen van de vorm $2^n-1$ en stelde hij een lijst samen van getallen waarvan hij dacht dat ze Mersenne-priemgetallen waren. Hoewel zijn lijst deels incorrect bleek (hij vergiste zich bij sommige waarden), werd zijn werk een belangrijk startpunt voor verder onderzoek naar deze getallen. Sindsdien zijn wiskundigen, zowel amateurs als professionals, gefascineerd geraakt door de unieke eigenschappen van Mersenne-priemgetallen.

In 1750 stelde Euler vast dat $M_{31}$ priem was. In die tijd waren er 8 gekende Mersenne priemgetallen, voor $p=2,3,5,7,13,17,19,31$ . $M_{31}$ bleef ongeveer een eeuw het grootste gekende Mersenne priemgetal. In 1876 vond de Franse wiskundige Lucas (1842-1891) een grotere: $M_{127}$ , een getal van 39 cijfers! De eerste 12 Mersenne priemgetallen (de 8 vorige en deze voor $p=61,89,107$ en $p=127$ ) werden allemaal met pen en papier berekend.

Met de komst van de eerste computers werden later ook priemen gevonden voor $p=521,607,1279,2203,2281,3217,4253,4423,9689,9941,11213$ , met dank aan de Amerikaanse wiskundigen Lehmer en Robinson.

George Woltman, een software ontwikkelaar, richtte in 1996 het GIMPS-project (Great Internet Mersenne Prime Search) op, dat wereldwijd vrijwilligers laat meerekenen. Het GIMPS is verantwoordelijk voor het vinden van de grootste priemgetallen ooit ontdekt, allemaal Mersenne-priemgetallen.

Momenteel is zijn er 52 Mersenne priemen gevonden en het grootste is gevonden voor $p=136279841$ . Het werd ontdekt op 12 oktober 2024 door Luke Durant uit San José (Californië).

Om het aantal cijfers te berekenen van $M_n$ , stellen we eerst vast dat $M_n$ en $M_n+1=2^n$ het zelfde aantal cijfers bevatten. Om het aantal cijfers van $2^n$ te bepalen , berekenen we $A=\log 2^n=n*\og 2\approx 0,30103*p$ . Voor bijvoorbeeld $M_{11213}$ , vinden we $A=3375,449...$ en dus dat $M_{11213}$ bestaat uit 3376 cijfers.

Hieronder zie je de grafiek van de exponenten van ontdekte Mersenne-priemgetallen door de tijd heen. Eeuwenlang bleef de exponent laag (onder de 1000). Vanaf de 20e eeuw, en vooral sinds de oprichting van GIMPS (1996), is er een explosieve stijging te zien.