Nootje 9

Als de omtrek van een driehoek gelijk is aan 2, bewijs dan dat niet alle hoogtelijnen langer kunnen zijn dan \frac{1}{\sqrt{3}}.

Antwoord

  • Noteer de drie zijden van de driehoek door a,b en c en de hoogtelijnen door h_a,h_b en h_c.
  • Er moet dus minstens 1 hoogtelijn kleiner zijn dan \frac{1}{\sqrt{3}}. De kleinste hoogtelijn staat loodrecht op de grootste zijde.
  • Veronderstel dat a de grootste zijde is dan is a\geq \frac{2}{3}.
  • De oppervlakte van de driehoek is gelijk aan \frac{1}{2}a.h_a, maar ook gelijk aan \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}. Hierin is p de halve omtrek en dus is p=1.
  • Bijgevolg is \frac{1}{2}a.h_a = \sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} of  h_a=\frac{2}{a}\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}\leq 3\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} .
  • Gebruik nu de ongelijkheid van het meetkundig en rekenkundig gemiddelde : \sqrt[3]{(1-a)(1-b)(1-c)}\leq \frac{1}{3}(1-a+1-b+1-c)=\frac{1}{3}.
  • Hieruit volgt dat \sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} \leq \frac{1}{\sqrt{27}}.
  • Ten slotte is dus h_a \leq 3.\frac{1}{\sqrt{27}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.