Opgave 22

Gegeven: A(x)=x^4+4x^3+8x^2+4x+16. Zoek alle getallen x waarvoor A(x) een volkomen kwadraat is.

Antwoord
  • Het is duidelijk dat A(0)=16 een volkomen kwadraat is. Zijn er nog andere mogelijkheden?
  • A(x) lijkt op B(x)=(x+1)^4=(x^2+2x+1)^2: namelijk A(x)=B(x)+(2x^2+15). Met andere woorden A(x) is zeker groter dan (x^2+2x+1)^2.
  • Neem C(x)=(x^2+2x+2)^2. Wil A(x)=C(x) dan moet 4x-12=0 of x=3.
  • Neem C(x)=(x^2+2x+3)^2. Wil A(x)=C(x) dan moet 2x^2+8x-7=0 . Dit heeft geen gehele oplossingen.
  • Neem C(x)=(x^2+2x+4)^2. Wil A(x)=C(x) dan moet 4x^2+12x=0 . Bijgevolg is  x=0 of x=-3.
  • Neem C(x)=(x^2+2x+5)^2. Wil A(x)=C(x) dan moet 6x^2+16x+9=0 en hier zijn geen gehele oplossingen mogelijk.
  • Neem C(x)=(x^2+2x+6)^2. Dan is A(x)=C(x)-(8x^2+20x+20). Hieruit volgt dat A(x)< C(x) en dus stopt ons onderzoek hier.
  • De enige oplossingen zijn 0,3,-3. Hierbij is A(0)=16=4^2, A(3)=289=17^2 en A(-3)=49=7^2.
  • Gelukkig kunnen we A(x) naar boven begrenzen, anders zou het proces oneindig lang verdergaan.