Tag archieven: recursieve rijen

Opgave 43

Geplaatst op door

Een rij wordt gedefinieerd als : a_0=0 en a_{k+1}=3a_k+1. Toon aan dat a_{155} deelbaar is door 11.

Antwoord

  • We kunnen de eerste termen van de rij uitrekenen en proberen een regelmaat te vinden voor de termen die deelbaar zijn door 11. Dan kunnen we die regelmaat proberen te bewijzen, misschien wel via inductie.
  • Omdat het principe van deelbaarheid door 11 centraal staat is het misschien nuttiger de rij van de restklassen modulo 11 te berekenen.
  • Deze rij heeft als termen: 0,1,4,2,7,0,…. De rij moet zich wel herhalen na een eindig aantal stappen omdat er maar 11 mogelijke waarden zijn voor de restklassen. En inderdaad na 5 termen verschijn er terug een 0 en dus zal elke 5de term van de gegeven rij deelbaar zijn door 11. Bijgevolg is a_{155} deelbaar door 11.
  • We geven een Pythonprogramma als controle, waarbij we zelfs de 155ste term uitgerekend hebben:

Op welk cijfer eindigt…

Geplaatst op door

Wat is de rest bij deling door 10 van het 2022ste getal in de rij  

    \[3,3^3,3^{3^3},...\]

  • De gegeven rij kan ook gegeven worden door middel van een recursief voorschrift: t_1=3 en t_{n+1}=3^{t_n}.

  • Berekenen we een paar termen van de rij: 3 , 27 , 7625597484987. We zien dat ze zeer snel toenemen in grootte, maar we hebben wel al 2 keer een 7 achteraan. Zou dat een patroon zijn?

  • Elke term is een viervoud plus 3, want t_n=(4 voud -1)^{t_{n-1}} en omdat elke term in de rij oneven is is t_n dus een 4voud min 1, of met anders geformuleerd : een drievoud plus 3.

  • Dan is t_{n+1}=3^{4v+3}=3^3.3^{4v}=27.81^v.
  • Werken we nu modulo 10: t_{n+1}\equiv 7.1^v\equiv 7.
  • Dus elke term van de rij eindigt op 7, dus ook de 2022ste term.

Lineaire recursieve rijen

Geplaatst op door

Een rij a_n voldoet aan een lineaire recurrentie  als

    \[c_ka_{n+k}+c_{k-1}a_{n-k-1}+\cdots+c_1a_{n+1}+c_0a_n=0\]

De rij a_n noemt men dan een lineaire recursieve rij.
De karakteristieke veelterm van bovenstaande lineaire recurrentie is de veelterm

    \[f(x)=c_kx^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots c_1x+c_0\]

Als we f(x) in \mathbb{C} kunnen ontbinden als

    \[c_k(x-r_1)^{m_1}(x-r_2)^{m_2}\cdotsc_k(x-r_l)^{m_l}\]

dan voldoet a_n aan de lineaire recurrentie als en slechts als er functies g_i(x), met graad kleiner of gelijk aan m_i-1, bestaan zodat

    \[a_n=g_1(n)r_1^n+\cdots+g_l(n)r_l^n\]

Als m_1=m_2=\cdots=m_l=1, dan zijn alle functies g_i(x) constanten.

Enkele speciale gevallen:

  • Bij een rekenkundige rij is a_{n+1}=a_n+v met a_0=a. Dit is geen lineaire recurrentie. Maar nu is ook a_{n+2}=a_{n+1}+v. Aftrekken van de twee formules geeft : a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=0. Dits is wel een lineaire recurrentie met  karakteristieke veelterm x^2-2x+1=(x-1)^2. Bijgevolg is a_n=(An+B).1^n. Het is duidelijk dat B=a, de beginterm van de rij en A=v, het verschil van de rij. Zodoende is het algemeen voorschrift a_n=n.v+a voor n=0,1,...
  • Bij een meetkundige rij is a_{n+1}=a_n.q met a_0=a. Dit is een lineaire recurrentie met karakteristieke veelterm x-q. Bijgevolg is a_n=A.q^n . Uit a_0=a volgt dat A=a en dus is het algemeen voorschrift a_n=a.q^n voor n=0,1,...

Voorbeeld : a_0=1 en a_1=4 en elke ander term is het rekenkundig gemiddelde van de twee vorige termen. Een aantal termen van de rij: 1,4,\frac{5}{2},\frac{13}{4},.... Om de algemene term van de rij te bepalen, zoeken we eerst de karakteristieke veelterm van de lineaire recurrentie: 2a_{n+2}-a_{n+1}-a_n=0. Dan is f(x)=2x^2-x-1=2(x-1)(x+\frac{1}{2}. Bijgevolg is a_n=A1^n+B\Big(-\frac{1}{2}\Big)^n=A+B\Big(-\frac{1}{2}\Big)^n. Om A en B te bepalen gebruiken we dat a_0=1 en a_1=4 . Hieruit volgt dat A=3 en B=-2, zodat a_n=3-2\Big(-\frac{1}{2}\Big)^n

Opgave 9

Geplaatst op door

Definieer a_1=2018 en a_{n+1}=9^{a_n} voor n=1,2,…
Bepaal de laatste twee cijfers van a_{2018}.

Antwoord

  • We kunnen voor k=1,2,...,10 de laatste twee cijfers berekenen van 9^k. We vinden 9^{10}=3486784401 en eindigt dus op 01.
  • Als (9^{10})^n eindigt op 01, dan zal ook (9^{10})^{n+1} eindigen op 01, want (9^{10})^{n+1}=(9^{10})^n.9^{10}=(\cdots 01).(\cdots 01)=(\cdots 01).
  • Door inductie hebben we dus bewezen dat elke macht van 9^ {10} eindigt op 01.
  • Dan is a_2=9^{2018}=(9^{10})^{201}.9^8=(\cdots01).43046721 en dus eindigt a_2 op 21.
  • Verder is a_3=9^{\cdots 21}=(9^{10})^{\cdots 2}.9^1=(\cdots 01).9=\cdots 09. Bijgevolg eindigt a_3 op 09.
  • Nu is a_4=9^{\cdots 09}=(9^{10})^{\cdots 0}.9^9=(\cdots 01).387420489=\cdots 89.
  • Het is duidelijk dat alle verdere termen van de rij  op 89 zullen eindigen.
  • Dus a_{2018} eindigt op 89.