Tag archieven: stelling van Napoleon

de stelling van Van Aubel

Geplaatst op door

De stelling van Van Aubel is een wiskundige stelling die te maken heeft met vierkanten op de zijden van een willekeurige vierhoek. Het zegt dat als je vierkanten bouwt op de zijden van een vierhoek, de som van de oppervlaktes van twee tegenoverliggende vierkanten gelijk is aan de som van de oppervlaktes van de andere twee tegenoverliggende vierkanten. Of in een meer klassieke vorm: De lijnstukken die de middens van tegenoverliggende vierkanten (in het rood getekend)  verbinden, staan loodrecht op elkaar en zijn even lang.

Het is een veralgemening van een ander beroemd meetkundig resultaat — namelijk het stelling van Napoleon, maar dan toegepast op vierhoeken in plaats van op driehoeken : als je gelijkzijdige driehoeken construeert op de zijden van een willekeurige driehoek (allemaal naar buiten toe), dan liggen de middens van deze driehoeken op de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek.

 

De stelling van Napoleon

Geplaatst op door

Iedereen kent gelijkvormige driehoeken. In deze tekst proberen we ze te beschrijven met complexe getallen. Elk punt Z in het vlak correspondeert met een uniek complex getal z.

Twee driehoeken ABC en DEF zijn rechtstreeks gelijkvormig ( alle  hoeken hebben eenzelfde oriëntatie, bvb met de klok mee) als en slechts als

    \[\begin{vmatrix} a&d&1\\b&e&1\\c&f&1 \end{vmatrix}=0\]

Bij onrechtstreekse gelijkvormigheid moet je , in de tweede kolom, elk complex getal vervangen door zijn complex toegevoegde. Gebruiken we deze formules nu op een voorbeeld:

De stelling van Napoleon luidt dat als aan de zijden van een willekeurige driehoek gelijkzijdige driehoeken worden vastgemaakt, ofwel alle drie naar buiten, ofwel naar binnen gericht, dat vormen de zwaartepunten van die driehoeken  een gelijkzijdige driehoek.

  • We veronderstellen alle driehoeken klok georiënteerd.
  • Elke gelijkzijdige driehoek is gelijkvormig met de driehoek gevormd door de complexe getallen 1,\omega en \omega^2 . Hierbij is \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}.
  • Als ABC gelijkzijdig is dan moet

        \[a+b\omega+c\omega^2=0\]

    Dit volgt uit vorige opmerking.

  • Dus is :

        \[\begin{array}{c} c+x\omega+b\omega^2=0\\b+z\omega+a\omega^2=0\\a+y\omega+c\omega^2=0\end{array}\]

  • Door de tweede vergelijking te vermenigvuldigen met \omega en de derde met \omega^2 vinden we:

        \[\begin{array}{c} c+x\omega+b\omega^2=0\\a+b\omega+z\omega^2=0\\y+c\omega+a\omega^2=0\end{array}\]

  • Omdat M,L en N zwaartepunten zijn geldt: m=\frac{a+c+y}{3},l=\frac{c+x+b}{3} en n=\frac{a+b+z}{3}.
  • Rest ons te bewijzen dat MLN gelijkzijdig is, daartoe moeten we bewijzen dat m+l\omega+n\omega^2=0. Een combinatie van de twee laatste puntjes geeft ons het gewenste resultaat.