Tag archieven: substitutie

Nootje 28

Geplaatst op door

Toon aan dat de som van de breuken \frac{a-b}{1+ab},\frac{b-c}{1+bc},\frac{c-a}{1+ac} gelijk  is aan hun product.

Spoiler
  • Noem die breuken A,B en C. Je zou A+B+C en A.B.C kunnen uitrekenen maar dat ziet er niet leuk uit…
  • De vorm van de breuk doet me echter denken aan de formule van de tangens van een verschil:
  • Vermits a,b en c reële getallen zijn bestaan er getallen \alpha,\beta ,\gamma met -\frac{\pi}{2}<\alpha,\beta,\gamma<\frac{\pi}{2} zodat a=\tan \alpha,b=\tan \beta en c=\tan \gamma.
  • We moeten dan bewijzen dat \tan(\alpha-\beta)+\tan(\beta-\gamma)+\tan(\gamma-\alpha)=\tan(\alpha-\beta)*\tan(\beta-\gamma)*\tan(\gamma-\alpha).
  • Of als x+y+z=0, dat \tan x+\tan y+\tan z=\tan x*\tan y*\tan z.
  • Dit is vrij simpel: begin met het linkerlid en vervang z door -(x+y).