Tag archieven: wiskundige puzzels

Klok met verwisselde wijzers.

Geplaatst op door

Een klok werd om zes uur ’s ochtends in werking gesteld, maar al snel zag men dat de minutenwijzer met de snelheid van de urenwijzer rondging terwijl de urenwijzer met de snelheid van de minutenwijzer ronddraaide. Wanneer geeft de klok voor het eerst weer de juiste tijd aan? 

Dit is een bekende puzzel van Sam Loyd(1841-1911). Samuel Loyd was een Amerikaanse schaker, schaakcomponist, puzzelauteur en recreatief wiskundige.

De klok staat op 6:00, dus de kleine wijzer op 6, grote wijzer op 12. Bij een normale klok  draait de urenwijzer 30° per uur = 0,5° per minuut en de minutenwijzer  360° per uur = 6° per minuut. Maar in deze klok draait de kleine wijzer draait 6° per minuut en de grote wijzer  0,5° per minuut. Bij de start staat de kleine wijzer (urenwijzer) staat op 180° en de grote wijzer (minutenwijzer) op 0°.

Na t minuten staat de kleine wijzer op 180+6t graden en de grote wijzer op graden. We willen het moment dat de klok weer een geldig tijdstip toont — dat wil zeggen: de wijzers staan op posities die overeenkomen met een echte tijd. In de echte klok geldt bij een echte tijd minuten na 6:00: kleine wijzer: 180+0,5t′ en grote wijzer: 6t′. We eisen dus :

Uit de tweede vergelijking halen we dat t'=\frac{t}{12}. Invullen in de eerste vergelijking bekomen we \frac{143}{24}t \equiv 0 \mod 360. De oplossing t=0 willen we natuurlijk niet, de eerstvolgende oplossing is \frac{24}{143}360° \approx 60,42. Na ongeveer 1 uur en 25 seconden krijg je weer de exacte tijd.

Puzzels door de eeuwen heen

Geplaatst op door

Puzzels, raadsels, denkspelen hebben de mensheid altijd al gefascineerd Archeologische opgravingen hebben hun aanwezigheid kunnen vaststellen bij vrijwel alle beschavingen. Uit de verre oudheid  kennen we onder andere het koningsspel van Ur en het Senet bordspel uit Egypte:

 

 

 

 

 

 

Oorspronkelijk was de functie van die denkspelen eerder mythisch-religieus. Bordspelen konden aanwijzingen geven over het verloop van een oorlog. Via tekens kon de Godheid communiceren met de mensheid. Vooral de getallen hadden dan een magische betekenis. Denk maar aan het magische vierkant van Lo Shu. Voor de Chinezen waren de oneven getallen mannelijk en was het kruis het symbool van mannelijkheid en goddelijkheid.

In de loop  van de geschiedenis is de klemtoon evenwel verschoven en is men het spel meer gaan bekijken als een aangenaam tijdverdrijf. De spelletjes waren fascinerend omwille van de uitdaging die er in school. Ook beroemde wiskundigen hebben zich ermee bezig gehouden: Alcuïnus met het probleem van de wolf, de geit en de kool; Fibonacci met het konijnenprobleem, Gauss met de verplaatsing van de dames op een schaakbord,…

Nog later werden vele intellectuele spelletjes uit de recreatieve sfeer gehaald  en werden onderworpen aan een grondige wiskundige analyse. Neem het voorbeeld van de 7 bruggen van Königsberg met de grafentheorie of het vierkleurenprobleem. De banden tussen recreatieve en ernstige wiskunde werden aangehaald en ingewikkelde wiskundige technieken werden gebruikt bij de analyse van schijnbaar eenvoudige problemen.