VWO 2026 finale vraag 4 | Wiskunde is leuk

Een punt beweegt over een aangeschreven cirkel van een gelijkzijdige driehoek. Hoe verhouden zijn loodrechte afstanden tot de drie zijrechten zich? Met geschikte coördinaten en een parametrisatie van de cirkel wordt de meetkundige ongelijkheid een scherpe cosinusschatting.

Infobox

Onderwerpen: Meetkunde, analytische meetkunde, goniometrie
Probleemoplossingstechnieken: Normaliseren, coördinaten invoeren, parametriseren, afstanden tot rechten vergelijken
Moeilijkheid: Moeilijk
Competitie: Vlaamse Wiskunde Olympiade
Jaar: 2026
Opgavenummer: 4

Opgave

In de figuur zie je een gelijkzijdige driehoek $\triangle ABC$ en de cirkel met middelpunt buiten $\triangle ABC$ die raakt aan het lijnstuk $[BC]$ en aan de rechten $AB$ en $AC$ . Punt $P$ ligt op de cirkel en de punten $L$ , $M$ en $N$ zijn de loodrechte projecties van $P$ op respectievelijk de rechten $BC$ , $AC$ en $AB$ .

Bewijs dat

$3|PL|\leq 2|PM|+2|PN|.$

Figuur 1

Figuur 1.

Eerste idee

De cirkel is de $A$ -aangeschreven cirkel van de gelijkzijdige driehoek. Schaal de zijde naar $1$ , bepaal het uitmiddelpunt en parametriseer $P$ met een hoek $\theta$ . De afstanden tot de drie zijrechten worden dan lineaire uitdrukkingen in $\cos\theta$ en $\sin\theta$ . Na invullen is het verschil tussen rechter- en linkerkant een positieve straal maal $1-\cos(\theta-\pi/6)$ .

Uitwerking

Stap 1: normalisatie en coördinaten

We gebruiken eerst dat gelijkvormigheid alle lengtes met dezelfde positieve factor vermenigvuldigt. Daardoor blijft de te bewijzen homogene ongelijkheid onveranderd. We mogen dus veronderstellen dat de zijde van de gelijkzijdige driehoek lengte $1$ heeft.

Kies een assenstelsel met

$A=(0,0),\qquad B=(1,0),\qquad C=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right).$

Omdat alle hoeken van een gelijkzijdige driehoek $60^\circ$ zijn, hebben de drie zijrechten de vergelijkingen

$AB:\ y=0,$

$AC:\ \frac{\sqrt3}{2}x-\frac12y=0,$

$BC:\ \frac{\sqrt3}{2}x+\frac12y=\frac{\sqrt3}{2}.$

Stap 2: middelpunt en straal

We gebruiken het kenmerk van de bissectrices: een punt dat gelijke afstanden tot twee snijdende rechten heeft, ligt op een van hun bissectrices. Het middelpunt van een cirkel die aan de drie zijrechten raakt, ligt daarom op drie geschikte bissectrices.

De incenter valt af omdat het middelpunt buiten de driehoek ligt. Bij het $B$ -uitmiddelpunt en het $C$ -uitmiddelpunt ligt het loodrechte voetpunt op de rechte $BC$ respectievelijk voorbij $C$ en voorbij $B$ . Omdat het raakpunt hier op het lijnstuk $[BC]$ ligt, is $O$ dus het $A$ -uitmiddelpunt. De interne bissectrice bij $A$ heeft vergelijking

$y=\frac{x}{\sqrt3},$

en de externe bissectrice bij $B$ die het $A$ -uitmiddelpunt bevat, heeft vergelijking

$y=\sqrt3(x-1).$

Hun snijpunt is

$O=\left(\frac32,\frac{\sqrt3}{2}\right).$

We gebruiken vervolgens de stelling dat de straal naar een raakpunt loodrecht op de raaklijn staat. De loodrechte afstand van $O$ tot elk van de drie raaklijnen is dus de straal $r$ . Uit de afstand van $O$ tot $AB$ volgt

$r=\frac{\sqrt3}{2}.$

Stap 3: parametrisatie van $P$

Figuur 2. Hulpconstructie voor het bewijs.

Figuur 2. Hulpconstructie voor het bewijs.

Omdat $P$ op de cirkel met middelpunt $O$ en straal $r$ ligt, bestaat er een reëel getal $\theta$ waarvoor

$P=O+r(\cos\theta,\sin\theta).$

We gebruiken nu de afstandformule met een eenheidsnormaal. Voor een rechte met vergelijking $\mathbf n\cdot X=c$ , waarbij $\mathbf n$ een eenheidsvector is, is de loodrechte afstand van $X$ tot de rechte gelijk aan $|\mathbf n\cdot X-c|$ .

Kies de naar $O$ gerichte eenheidsnormalen

$\mathbf n_{AB}=(0,1),\qquad \mathbf n_{AC}=\left(\frac{\sqrt3}{2},-\frac12\right),\qquad \mathbf n_{BC}=\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac12\right).$

Het middelpunt $O$ ligt bij elk van de drie rechten op afstand $r$ aan de gekozen positieve zijde. De cirkel met straal $r$ ligt dus volledig in de bijbehorende gesloten halfvlakken. Daarom zijn de volgende gesigneerde uitdrukkingen voor elk punt $P$ op de cirkel niet-negatief en zijn ze precies de loodrechte afstanden.

Voor de rechte $AB$ krijgen we

$|PN|=r(1+\sin\theta).$

Voor de rechte $AC$ krijgen we

$|PM|=r\left(1+\frac{\sqrt3}{2}\cos\theta-\frac12\sin\theta\right).$

Voor de rechte $BC$ krijgen we

$|PL|=r\left(1+\frac{\sqrt3}{2}\cos\theta+\frac12\sin\theta\right).$

Stap 4: de ongelijkheid

We trekken de linkerkant van de gewenste ongelijkheid af van de rechterkant en vullen de drie afstandsformules in:

$\begin{aligned} 2|PM|+2|PN|-3|PL| &=r\left(1-\frac{\sqrt3}{2}\cos\theta-\frac12\sin\theta\right)\\ &=r\left(1-\cos\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)\right). \end{aligned}$

In de tweede gelijkheid gebruiken we de verschilformule voor de cosinus. Voor elke reële hoek $\varphi$ geldt $\cos\varphi\leq 1$ , en bovendien is $r>0$ . Bijgevolg is

$2|PM|+2|PN|-3|PL|\geq 0.$

Dus

$\boxed{3|PL|\leq 2|PM|+2|PN|}.$

Probleemoplossingstechnieken

Normaliseren: De zijde wordt op $1$ geschaald omdat de ongelijkheid homogeen is in lengtes.
Coördinaten invoeren: Standaardcoördinaten bepalen het uitmiddelpunt en de drie zijrechten exact.
Parametriseren: Het punt $P$ wordt met één hoekparameter op de cirkel beschreven.
Afstanden tot rechten vergelijken: Eenheidsnormalen zetten de drie projectielengtes om in lineaire uitdrukkingen in $\cos\theta$ en $\sin\theta$ .

Bron

Officiële wedstrijdbundel: https://www.vwo.be/vwo/wp-content/uploads/2026/04/VWO-finale-2026.pdf