OMB Maxi finale 2026 vraag 2 | Wiskunde is leuk

Drie onbekende priemgetallen hebben een som en een product die precies een factor 101 verschillen. Een groottevergelijking en een korte factorisatie blijken voldoende om het drietal uniek vast te leggen.

Infobox

Onderwerpen: Getaltheorie
Probleemoplossingstechnieken: Groottevergelijking, deelbaarheid, ontbinden in factoren, gevallenonderzoek
Moeilijkheid: Gemiddeld
Competitie: Olympiade Mathématique Belge, Maxifinale
Jaar: 2026
Opgavenummer: 2

Opgave

De getallen $p$ en $s$ zijn respectievelijk het product en de som van de drie priemgetallen $a$ , $b$ en $c$ . Een van de getallen $p$ en $s$ is gelijk aan 101 maal het andere. Bepaal $a$ , $b$ en $c$ .

Eerste idee

Vergelijk eerst het product met de som om te bepalen welke grootheid 101 maal de andere is. De factor 101 in het product dwingt daarna een van de drie priemgetallen gelijk te zijn aan 101. Met die waarde ingevuld, reduceert de opgave tot het onderzoeken van de factorparen van 102.

Uitwerking

We hebben

$p=abc \qquad\text{en}\qquad s=a+b+c.$

We tonen eerst aan dat $p>s$ . Voor $a=b=c=2$ geldt

$abc-(a+b+c)=8-6=2>0.$

Als een van de drie getallen toeneemt met een positief getal $d$ , terwijl de andere twee gelijk blijven, dan neemt $abc-(a+b+c)$ toe met

$d(uv-1),$

waarbij $u$ en $v$ de twee andere priemgetallen zijn. Omdat $u,v\ge 2$ , is $uv-1\ge 3>0$ . De uitdrukking $abc-(a+b+c)$ is dus in elk van de drie variabelen strikt stijgend. Bijgevolg geldt voor alle priemgetallen $a$ , $b$ en $c$ dat

$abc>a+b+c,$

en dus $p>s$ .

Daarom kan $s$ niet gelijk zijn aan $101p$ . De gegeven voorwaarde moet dus luiden

$p=101s.$

Bijgevolg

$abc=101(a+b+c).$

Hieruit volgt dat $101\mid abc$ . Omdat 101 een priemgetal is, deelt 101 volgens het lemma van Euclides minstens een van de priemgetallen $a$ , $b$ en $c$ . Een priemgetal dat deelbaar is door 101, moet zelf gelijk zijn aan 101. Door de symmetrie mogen we aannemen dat

$c=101.$

Invullen geeft

$101ab=101(a+b+101).$

Na delen door 101 vinden we

$ab=a+b+101.$

We herschrijven dit als

$ab-a-b=101$

en tellen aan beide kanten 1 op:

$(a-1)(b-1)=102.$

De positieve factorparen van

$102=2\cdot 3\cdot 17$

zijn, op volgorde van de kleinste factor,

$(1,102),\quad(2,51),\quad(3,34),\quad(6,17).$

We controleren ze allemaal:

$(a-1,b-1)=(1,102)$ geeft $(a,b)=(2,103)$ ; beide getallen zijn priem.
$(a-1,b-1)=(2,51)$ geeft $(a,b)=(3,52)$ ; 52 is niet priem.
$(a-1,b-1)=(3,34)$ geeft $(a,b)=(4,35)$ ; beide getallen zijn niet priem.
$(a-1,b-1)=(6,17)$ geeft $(a,b)=(7,18)$ ; 18 is niet priem.

Dus het enige mogelijke ongeordende drietal is

${a,b,c}={2,101,103}.$

Ter controle:

$s=2+101+103=206$

$p=2\cdot 101\cdot 103=20806=101\cdot 206=101s.$

De gezochte priemgetallen zijn bijgevolg, in willekeurige volgorde,

$\boxed{2,\ 101,\ 103}.$

Probleemoplossingstechnieken

Groottevergelijking: Het product is groter dan de som, zodat alleen $p=101s$ mogelijk is.
Deelbaarheid: De priemfactor 101 moet een van de drie priemgetallen zijn.
Ontbinden in factoren: De resterende vergelijking wordt $(a-1)(b-1)=102$ .
Gevallenonderzoek: Alle factorparen van 102 worden op primaliteit gecontroleerd.

Infobox

Opgave

Eerste idee

Uitwerking

Probleemoplossingstechnieken

Bron