Bereken
als je weet dat zowel als priemgetallen zijn.
- is een priemgetal groter dan 3, dus oneven. Bijgevolg moet zelf even zijn.
- Maar dan ist .
- Dan is .
- Dus is
Bereken
als je weet dat zowel als priemgetallen zijn.
Een paar opeenvolgende priemgetallen waarvan de afstand 2 is, noemen we een priemtweelingen. Buiten de eerste priemtweelingen 3-5 vinden we bijvoorbeeld ook 5-7, 11-13, 17-19,… Ze ontstaan allemaal (behalve 3-5), door vertrekkend van 5-7, een translatie uit te voeren over 6 eenheden. Dit is logisch want een priemgetal is altijd van de vorm 6k+1 of 6k-1.
Een Python programma om alle priemtweelingen kleiner dan 1000 te bepalen:
De output:
Een paar ‘leuke ‘ eigenschappen, die zeer eenvoudig te bewijzen zijn:
Een Euclidisch getal van de eerste soort is een getal van de vorm , waarbij de eerste n priemgetallen voorstellen. De getallen danken hun naam aan de Griekse wiskundige Euclides, die ze gebruikte in zijn bewijs dat er oneindig veel priemgetallen zijn. Stel dat er maar een eindig aantal priemgetallen zou zijn , zeg n. Noteer die dan door . Neem dan het getal . Het getal x geeft bij deling door alle priemgetallen als rest 1. Bijgevolg is x zelf ook een priemgetal, dat groter is dan alle gegeven priemgetallen. Dit is onmogelijk, dus moeten er oneindig veel priemgetallen zijn.
Zo is , , . Dan komen 211,2311, 30031,…
Een Euclidisch getal van de tweede soort is een getal van de vorm , waarbij de eerste n priemgetallen voorstellen. De eerste euclidische getallen van de tweede soort zijn 1, 5, 29, 209, 2309, 30029, 510509, 9699689,… Ook hier weten we eigenlijk niet of er oneindig veel Euclidische getallen zijn die priem zijn. In ieder geval het eerste niet priemgetal in de rij is 209 = 11 x 19.