Tag archieven: priemgetallen

Priemgaten

Geplaatst op door

Het verschil tussen twee opeenvolgende priemgetallen wordt ook wel eens het priemgat genoemd. Wiskundigen hebben altijd geprobeerd om een systeem te vinden in de reeks priemgetallen 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,… Er werd lang gezocht naar de gaten die deze reeks bevat, dus de verschillen tussen twee opeenvolgende priemgetallen. De grootte van het gemiddelde gat groeit als het natuurlijke logaritme van de priemgetallen die het begrenzen. 

In 1985 formuleerde een Roemeens wiskundige Dorin Andrica(1956-) een eigenschap over deze gaten. Het is weer te geven als :

Hierbij zijn p_n en p_{n+1} twee opeenvolgende priemgetallen en stelt het linkerlid dus het priemgat voor. Dit resultaat is tot op heden niet bewezen voor alle priemgetallen, maar er is ook nog geen tegenvoorbeeld gevonden.

Het vermoeden van Andrika  beperkt de maximale grootte van priemgaten: hoewel priemgaten steeds groter worden naarmate priemgetallen groter worden, suggereert het vermoeden dat ze nooit sneller groeien dan ongeveer \sqrt{p_n}.

 

Priemgetallen

Geplaatst op door

De Poolse wiskundige W.Sierpinski (1882-1969) was eer gefascineerd door de priemgetallen en hun spreiding tussen de andere natuurlijke getallen. We vermelden twee mooie resultaten.

Men kan een rij van opeenvolgende natuurlijke getallen bepalen, zo lang als men wilt, die geen enkel priemgetal bevat. Zo kan men bijvoorbeeld 100 opeenvolgende getallen kiezen zonder dat er een priemgetal inzit.  Neem 101!+2,101!+3,…,101!+101. Dit zijn 100 opeenvolgende getallen en ze zijn geen van allen priem want ze zijn respectievelijk deelbaar door 2,3,…,101

Voor elke n kan men een priemgetal vinden met links en rechts ervan n niet-priemen:

  • Neem een priemgetal q groter dan n+1.
  • Bereken a=\prod_{j=1}^{q-2}(q^2-j^2).
  • q  is onderling ondeelbaar met a.
  • De stelling van Lejeune-Dirichlet over de rekenkundige rij zegt dat er een priemgetal p bestaat met p>q en p=ak+q.
  • Nu is q+j een deler van a en omdat p+j=ak+q+j ook een deler van p+j. 
  • Analoog is q-j een deler van p-j.
  • Dus zijn p-j en p+j niet priem en dit voor j=1,2,…,n

Neem n=2 en q respectievelijk de priemgetallen 5,7,11,13,…, dan kan je zo bewijzen dat er oneindig veel priemgetallen bestaan die geen deel uitmaken van een priemtweeling.

Spiraal van Ulam

Geplaatst op door

Je kan volgend rooster van natuurlijke getallen maken in de vorm van een spiraal:

De wiskundige Stanislaw Ulam kreeg in 1963 het idee om e priemgetallen hierbij aan te duiden 

Hij zag, tot zijn verbazing, dat de priemgetallen de neiging hebben om zich op diagonalen van de spiraal te bevinden. De diagonalen zijn ook zichtbaar wanneer er heel veel getallen in een spiraal worden geplaatst. Het opvallende is, dat priemgetallen zich meer op bepaalde diagonalen bevinden dan op andere. De reden hiervoor is alsnog onduidelijk.