Priemtweelingen

Een paar opeenvolgende priemgetallen waarvan de afstand 2 is, noemen we een priemtweelingen. Buiten de eerste priemtweelingen 3-5 vinden we bijvoorbeeld ook 5-7, 11-13, 17-19,… Ze ontstaan allemaal (behalve 3-5), door vertrekkend van 5-7, een translatie uit te voeren over 6 eenheden. Dit is logisch want een priemgetal is altijd van de vorm 6k+1 of 6k-1. 

Een Python programma om alle priemtweelingen kleiner dan 1000 te bepalen:
De output:

Een paar ‘leuke ‘ eigenschappen, die zeer eenvoudig te bewijzen zijn:

  • Een priemtweelingen heeft een symmetriemidden dat steeds een 6-voud is.
  • De som van twee elementen van een priemtweelingen is steeds een 12-voud.
  • De afstand voor de overeenkomstige elementen van twee priemtweelingen is steeds een 6-voud.
  • De afstand van het grootste getal van de kleinste priemtweeling tot het kleinste getal van de grootste priemtweelingen is een 6-voud min 1.
  • Er bestaat geen grootste priemtweeling.

                                  

Euclidische getallen

Een Euclidisch getal van de eerste soort is een getal van de vorm E_n=p_1.p_2.\cdots.p_n+1, waarbij p_1,...,p_n de eerste n priemgetallen voorstellen. De getallen danken hun naam aan de Griekse wiskundige Euclides, die ze gebruikte in zijn bewijs dat er oneindig veel priemgetallen zijn. Stel dat er maar een eindig aantal priemgetallen zou zijn , zeg n. Noteer die dan door p_1,p_2,...,p_n. Neem dan het getal x=p_1.p_2.....p_n+1. Het getal x geeft bij deling door alle priemgetallen p_i als rest 1. Bijgevolg is x zelf ook een priemgetal, dat groter is dan alle gegeven priemgetallen. Dit is onmogelijk, dus moeten er oneindig veel priemgetallen zijn.

Zo is E_1=2+1=3, E_2=2.3+1=7, E_3=2.3.5+1=31. Dan komen 211,2311, 30031,…

  • Niet alle Euclidische getallen zijn priem. Het eerste niet-priemgetal is   2.3.5.7.11.13 = 30031 = 59 × 509 . Een open vraag is of er oneindig veel Euclidische getallen zijn die priem zijn.
  • Elk Euclidisch getal laat bij deling door 4 een rest gelijk aan 4 na. Dit komt omdat p_1.p_2.....p_n, juist 1 factor 2 bevat.
  • Bijgevolg kan een Euclidisch getal nooit een kwadraat zijn.
  • Voor n \geq 3 is het cijfer der eenheden van E_n altijd een 1.

Een Euclidisch getal van de tweede soort is een getal van de vorm E_n=p_1.p_2.\cdots.p_n-1, waarbij p_1,...,p_n de eerste n priemgetallen voorstellen. De eerste euclidische getallen van de tweede soort zijn  1, 5, 29, 209, 2309, 30029, 510509, 9699689,… Ook hier weten we eigenlijk niet of er oneindig veel Euclidische getallen zijn die priem zijn. In ieder geval het eerste niet priemgetal in de rij is 209 = 11 x 19.

Nootje 12

a,b,c,d en e zijn 5 verschillende gehele getallen zodat hun product 45 is. Wat is dan hun som?

Antwoord

  • We weten dat 45 = 3 x 3 x 5.
  • Om dat we 45 schrijven als een product van 5 verschillende getallen moeten elk van zijn priemfactoren voorkomen en ook \pm 1.
  • -3 en -1,  mogen maar 1 keer voorkomen, dus is

        \[45=(-1) \times 1 \times (-3) \times 3 \times 5\]

  • De som van die 5 getallen is dan 5.

Priemgetallen

Deze mooie plot krijg je als je in het vlak de punten (p,p) tekent, waarbij p een priemgetal is en waarbij je met poolcoördinaten werkt. Dus elk punt (p,p) wordt op een afstand p van de oorsprong getekend met een hoek van p  radialen ten opzichte van de positieve X-as