Nootje 28

Toon aan dat de som van de breuken \frac{a-b}{1+ab},\frac{b-c}{1+bc},\frac{c-a}{1+ac} gelijk  is aan hun product.

Spoiler
  • Noem die breuken A,B en C. Je zou A+B+C en A.B.C kunnen uitrekenen maar dat ziet er niet leuk uit…
  • De vorm van de breuk doet me echter denken aan de formule van de tangens van een verschil:
  • Vermits a,b en c reële getallen zijn bestaan er getallen \alpha,\beta ,\gamma met -\frac{\pi}{2}<\alpha,\beta,\gamma<\frac{\pi}{2} zodat a=\tan \alpha,b=\tan \beta en c=\tan \gamma.
  • We moeten dan bewijzen dat \tan(\alpha-\beta)+\tan(\beta-\gamma)+\tan(\gamma-\alpha)=\tan(\alpha-\beta)*\tan(\beta-\gamma)*\tan(\gamma-\alpha).
  • Of als x+y+z=0, dat \tan x+\tan y+\tan z=\tan x*\tan y*\tan z.
  • Dit is vrij simpel: begin met het linkerlid en vervang z door -(x+y).

 

 

 

 

 

 

Zwarte farao’s

Het moderne Nubië is een gebied in het zuiden van Egypte en in het noorden van Soedan. In de oudheid waren er verschillende koninkrijken.  Zwarte farao’s zijn geen verzinsel. ze stammen uit een sterke Afrikaanse cultuur in een land dat de Egyptenaren Koesj noemen. Koesj ligt langs de zuidelijke oevers van de Nijl en is al ten tijde van de eerste Egyptische dynastie (rond 3000 v.C. ) al behoorlijk welvarend.

De Egyptenaren waren niet erg gerust met die machtige zuiderburen en omdat er daar ook veel goud te vinden was, trokken de farao’s van de 18de dynastie (1538-1292 v.C.) Koesj binnen en bouwden er forten langs de Nijl. De onderworpen Nubiërs namen de cultuur en de gebruiken van de Egyptenaren over. Tijdens de derde onstabiele tussenperiode in Egypte  begonnen de Koesjieten zich los te maken van de Egyptische farao’s en vestigden de autonome staat Koesj, met de steden Napata en Meroë als belangrijkste machtscentra.

De Koesjitische farao Kashta (ca. 760-747 v.Chr.), letterlijk “de Koesjiet”, stichtte de 25e dynastie van Egypte door het door onderlinge twisten tussen verschillende koningshuizen verzwakte Egypte te veroveren en te herenigen. Egypte en het Koesjitische rijk waren hierna ongeveer een eeuw lang verenigd. De zogenaamde “zwarte farao’s” van de 25e dynastie bleven op de troon van Egypte tot de dood van farao Tantamani in ca. 653 v.Chr. 

In de 7de eeuw v.C. vallen de Assyriërs Egypte binnen en trekken de Nubiërs zich definitief terug naar hun vaderland. Ze blijven hun koningen voorzien van piramides.

De eerst Nubische piramides werden rond 1000 v.C. gebouwd? Ze zijn kleiner van vorm als de Egyptische, maar ook hun grafkamers waren vol schatten. Ze waren tussen de 6 meter en de 30 meter hoog en zelden breder dan 8 meter. Ter vergelijking: de hoogste Egyptische piramide meet 230 bij 146 meter.

 

Brahmagupta

Brahmagupta werd geboren in 598 n.C. in de stad Bhinmal in het noordwesten van India. Hij werd benoemd tot hoofd van het observatorium in Ujjain, een stad ten oosten van Bhinmal en een centrum voor astronomie en wiskunde. Hij schreef er verschillende teksten, waaronder de Brahmasphuta-siddhanta. Hij overleed in 670.

In 628, op 30-jarige leeftijd schreef hij de Brahmasphuta-siddhanta, een tekst die veel invloed had op de westerse wiskunde. Het belangrijkste deel ervan gaat over nul en negatieve getallen.

De wetten van Brahmagupta:

  1. nul opgeteld bij een getal is het getal
  2. nul afgetrokken van een getal is het getal.
  3. een getal keer nul is nul.
  4. een negatief getal min nul is een negatief getal. 
  5. een positief getal min nul is een positief getal.
  6. nul min nul is nul.
  7. nul min een negatief getal is een positief getal.
  8. nul min een positief getal is een negatief getal.
  9. nul maal een negatief of positief getal is nul.
  10. nul maal nul is nul.
  11. het product of quotiënt van twee positieve getallen is een positief getal.
  12. het product of quotiënt van twee negatieve getallen is een positief getal.
  13. het product of quotiënt van een positief en een negatief getal is een negatief getal.
  14. het product of quotiënt van een negatief en een positief getal is een negatief getal

Het belang van deze wetten is dat ze ‘nul’ zien als een getal, niet alleen als een positiecijfer, en dat ze negatieve getallen zien als getallen in plaats van numerieke paria’s. Brahmagupta ondervond wel wat moeilijkheden bij het delen door nul.

Göbekli Tipe

In 1994 werden in Göbekli Tepe in Zuidoost Turkije monumentale ‘gemeenschapshuizen’ ontdekt, die tussen 9600 en 8500 v.C. zijn gebouwd.

In Zuidoost Turkije, in het midden van de Vruchtbare Halvemaan, waren de omstandigheden voor de transitie van jagers-verzamelaars naar sedimentair levende boeren, ideaal. Hier was de laatste ijstijd als eerste ten einde gekomen.. Hogere temperaturen en meer neerslag zorgden voor vruchtbaar land. daardoor konden mensen in steeds grotere groepen bijeenkomen.

Door de vorm van de gebouwen en de aanwezigheid van mysterieuze dierenreliëfs werden de veelal ronde gebouwen als tempels beschouwd. Kenmerkend voor de gebouwen zijn de T-vormige pilaren, die bij de oudste zo’n 5,5 meter oogwaden en tot 50 ton wogen. 

Gobekli tepe

jagers-verzamelaars

tas tepeler