OEIS

Geplaatst op 4 juni 2025 door admin

In de wereld van wiskunde en informatica is er een schat aan patronen en rijen die ons omringen. Deze worden niet alleen bestudeerd voor hun intrinsieke schoonheid, maar ook voor hun praktische toepassingen in verschillende wetenschappelijke en technologische disciplines. Een van de meest waardevolle bronnen voor het ontdekken en begrijpen van deze rijen is de Online Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS).

De OEIS, opgericht in 1964 door Neil Sloane( een Amerikaans wiskundige van Britse afkomst), is een uitgebreide online database van meer dan 350.000 rijen gehele getallen. Elke rij is zorgvuldig gedocumenteerd met zijn beginwaarden, een beschrijving van het patroon, mogelijke wiskundige verklaringen en vaak voorkomende toepassingen. Wat begon als een persoonlijk project van Sloane, is uitgegroeid tot een onschatbare bron voor wiskundigen, informatici en liefhebbers van getallenreeksen wereldwijd. De eerste versie van OEIS stond op ponskaarten. De volgende verscheen in 1973 als boek met de titel A handboek of integer Sequences, met 2400 rijen. De editie van 1995 telde er 5487. De internet versie volgde in 1996 en sindsdien komen er jaarlijks ongeveer 10000 rijen bij.

Enkele rijen uit de OEIS:

Fibonacci-rij (A000045):
$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \dots$
De Fibonacci-reeksijtwee voorgaande getallen. Deze reeks vindt toepassingen in natuurlijke fenomenen, zoals de rangschikking van bloemblaadjes in bloemen en de groei van populaties.
Priemgetallen (A000040):
$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \dots$
De rij van priemgetallen bevat getallen die alleen deelbaar zijn door 1 en zichzelf. Ze vormen de bouwstenen van moderne cryptografie en hebben diepgaande implicaties voor de informatieveiligheid.
De rij van de gelukkige getallen (A0077700)

Een gelukkig getal is een getal waarbij, als je de som van de kwadraten van zijn cijfers herhaaldelijk neemt, je uiteindelijk op 1 uitkomt. Bijvoorbeeld:
- 19 → 1² + 9² = 82
- 8² + 2² = 68
- 6² + 8² = 100
- 1² + 0² + 0² = 1
Ze worden “gelukkig” genoemd omdat ze eindigen in 1 in plaats van in een eindeloze cyclus. Deze reeks heeft een verrassende aantrekkingskracht en is ook populair bij programmeeroefeningen.
$1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, \dots$
Een verbazingwekkend patroon: je beschrijft het vorige getal.
- “1” wordt “één 1” → 11
- “11” wordt “twee 1-en” → 21
- “21” wordt “één 2, één 1” → 1211, enzovoort.
Deze rij groeit snel en werd populair gemaakt door John Conway, die ook interessante eigenschappen aantoonde, zoals het feit dat alle getallen asymptotisch vervallen in “atomen” — vaste bouwstenen.
$1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, \dots$
Dit zijn getallen die je krijgt als je punten neerzet in de vorm van een hexagonale rasterstructuur met concentrische ringen eromheen. Ze komen voor in wiskundige kunst, kristallografie en zelfs in bordspellen zoals Settlers of Catan!

Bezoek oeis.org en probeer zelf een rij zoals 3, 6, 12, 24, 48... in te voeren. Grote kans dat je ontdekt welk patroon daarachter zit — of dat iemand anders het al eerder heeft gezien, onderzocht en vastgelegd. Een deel van het antwoord vind je hieronder.

Nootje 56

Geplaatst op 27 mei 2025 door admin

Bepaal alle rijen opeenvolgende natuurlijke getallen n, n+1,n+2, …,n+k waarvan de som van de termen gelijk is aan 1000

Antwoord

De som van deze termen is de som van termen van een rekenkundige rij en wordt gegeven door het gemiddelde van de eerste term (n) en de laatste term (n+k) te vermenigvuldigen met het aantal termen (k+1):
Dus S= $\frac{1}{2}(k+1)(2n+k)=1000=2^3.5^3$ . Bijgevolg moet
$(k+1)(2n+k)=2^4.5^3$
We kunnen nu twee gevallen onderzoeken: eerst onderzoeken we de situatie als k even is, dan is k+1 oneven en 2n+k even en dit levert volgende mogelijkheden
k+1=1 en 2n+k=2000 dus k=0 en n=1000 (triviale oplossing)
k+1=5 en 2n+k= 400 dus k=4 en n= 198
k+1=25 en 2n+k=80 dus k=24 en n=28
k+1=125 en 2n+k= 16 dus k=124 en n=-56 ( geen goede oplossing)
Stel dat k oneven is, dan is k+1 even en 2n+k oneven en dan is de enige mogelijkheid k+1=16 en 2n+k=125, dus k=15 en n=55
Er zijn dus 4 oplossingen:
1000
198,199,200,201,202
28,29,…,51,52
55,56,…,69,70

Priemgaten

Geplaatst op 23 mei 2025 door admin

Het verschil tussen twee opeenvolgende priemgetallen wordt ook wel eens het priemgat genoemd. Wiskundigen hebben altijd geprobeerd om een systeem te vinden in de reeks priemgetallen 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,… Er werd lang gezocht naar de gaten die deze reeks bevat, dus de verschillen tussen twee opeenvolgende priemgetallen. De grootte van het gemiddelde gat groeit als het natuurlijke logaritme van de priemgetallen die het begrenzen.

In 1985 formuleerde een Roemeens wiskundige Dorin Andrica(1956-) een eigenschap over deze gaten. Het is weer te geven als :

Hierbij zijn $p_n$ en $p_{n+1}$ twee opeenvolgende priemgetallen en stelt het linkerlid dus het priemgat voor. Dit resultaat is tot op heden niet bewezen voor alle priemgetallen, maar er is ook nog geen tegenvoorbeeld gevonden.

Het vermoeden van Andrika beperkt de maximale grootte van priemgaten: hoewel priemgaten steeds groter worden naarmate priemgetallen groter worden, suggereert het vermoeden dat ze nooit sneller groeien dan ongeveer $\sqrt{p_n}$ .

Opgave 43

Geplaatst op 17 mei 2025 door admin

Een rij wordt gedefinieerd als : $a_0=0$ en $a_{k+1}=3a_k+1$ . Toon aan dat $a_{155}$ deelbaar is door 11.

Antwoord

We kunnen de eerste termen van de rij uitrekenen en proberen een regelmaat te vinden voor de termen die deelbaar zijn door 11. Dan kunnen we die regelmaat proberen te bewijzen, misschien wel via inductie.
Omdat het principe van deelbaarheid door 11 centraal staat is het misschien nuttiger de rij van de restklassen modulo 11 te berekenen.
Deze rij heeft als termen: 0,1,4,2,7,0,…. De rij moet zich wel herhalen na een eindig aantal stappen omdat er maar 11 mogelijke waarden zijn voor de restklassen. En inderdaad na 5 termen verschijn er terug een 0 en dus zal elke 5de term van de gegeven rij deelbaar zijn door 11. Bijgevolg is $a_{155}$ deelbaar door 11.
We geven een Pythonprogramma als controle, waarbij we zelfs de 155ste term uitgerekend hebben:

De constante van Euler-mascheroni

Geplaatst op 13 mei 2025 door admin

De constante van Euler-Mascheroni, vaak aangeduid als $\gamma$ , is een wiskundige constante die belangrijk is in verschillende takken van de wiskunde, zoals de analyse en de getaltheorie. Deze constante wordt vaak geschreven als $\gamma \approx 0,57721$ en is genoemd naar de Zwitserse wiskundigen Leonhard Euler(1707-1783) en Lorenzo Mascheroni (1750-1800), die onafhankelijk van elkaar belangrijke bijdragen leverden aan de studie ervan.

Wat deze constante zo interessant maakt, is dat deze voorkomt in verschillende contexten, waaronder sommen van reeksen, integraalrekeningen, en zelfs in de analyse van complexe getallen. Ze is gerelateerd aan de Riemann-zetafunctie, de priemgetalstelling en de gammafunctie. Het is ook nauw verbonden met de verdeling van priemgetallen, een gebied van de wiskunde dat wiskundigen al eeuwenlang fascineert.

De definitie van de constante van Euler omvat twee schijnbaar ongerelateerde wiskundige concepten: de harmonische reeks en de natuurlijke logaritmefunctie. Het feit dat deze twee concepten nauw met elkaar verbonden zijn door deze constante is een bewijs van de schoonheid en onderlinge verbondenheid van de wiskunde.

We weten op dit moment nog steeds niet of dit getal uitgedrukt kan worden als een breuk. Een andere interessante eigenschap van de constante van Euler is dat deze transcendentaal is. Dit betekent dat het geen wortel is van een algebraïsche vergelijking met gehele coëfficiënten.