Medische statistiek

Geplaatst op 25 april 2025 door admin

Medische statistiek vormt de ruggengraat van modern gezondheidszorgonderzoek en beleid. Het combineert wiskundige methoden met medische gegevens om patronen te ontdekken, behandelingen te evalueren en gezondheidszorgsystemen te verbeteren. Twee pioniers die een cruciale rol speelden in de ontwikkeling van dit vakgebied zijn Florence Nightingale(1820-1910) en Adolphe Quetelet(1796-1874)

Statistiek als discipline begon vorm te krijgen in de 17e en 18e eeuw, maar het was pas in de 19e eeuw dat deze werd toegepast op de geneeskunde. Medische statistiek richt zich op het verzamelen, analyseren en interpreteren van gegevens over gezondheid, ziekte en sterfte. Het stelt onderzoekers in staat om trends te identificeren, zoals de verspreiding van ziekten, en om de effectiviteit van behandelingen te beoordelen. Vandaag de dag speelt medische statistiek een sleutelrol in klinische trials, epidemiologie en gezondheidsbeleid.

Florence Nightingale (1820-1910), vaak herinnerd als de grondlegger van de moderne verpleging, was ook een pionier in medische statistiek. Tijdens de Krimoorlog (1853-1856) werd Nightingale geconfronteerd met erbarmelijke omstandigheden in militaire hospitalen. Ze observeerde hoge sterftecijfers, niet alleen door oorlogswonden, maar vooral door infectieziekten zoals tyfus en cholera, die werden verergerd door slechte hygiëne.

Nightingale gebruikte statistiek om deze problemen systematisch aan te pakken. Ze verzamelde gedetailleerde gegevens over sterftecijfers en ziekenhuisomstandigheden en analyseerde deze om patronen te ontdekken. Haar meest iconische bijdrage was het “roosdiagram” (een vroege vorm van een cirkeldiagram), waarin ze visueel aantoonde dat de meeste sterfgevallen in militaire hospitalen te wijten waren aan vermijdbare oorzaken, zoals slechte sanitaire voorzieningen.

Na de oorlog gebruikte Nightingale haar statistische analyses om hervormingen door te voeren in de Britse gezondheidszorg. Ze pleitte voor betere hygiëne en ziekenhuisbeheer, wat leidde tot een significante daling van sterftecijfers. Nightingale’s werk benadrukte het belang van datagedreven besluitvorming in de geneeskunde en legde de basis voor moderne epidemiologie en gezondheidsstatistiek.

Adolphe Quetelet (1796-1874), een Belgische astronoom, wiskundige en statisticus, leverde een fundamentele bijdrage aan de toepassing van statistiek op menselijke populaties. Quetelet wordt vaak beschouwd als de grondlegger van de sociale statistiek, een discipline die nauw verwant is aan medische statistiek.

Quetelet introduceerde het concept van de “gemiddelde mens” (l’homme moyen), waarbij hij statistische methoden gebruikte om kenmerken zoals lengte, gewicht en gezondheid van bevolkingen te analyseren. Hij verzamelde gegevens over geboorten, sterfgevallen en ziekten en gebruikte deze om patronen in samenlevingen te begrijpen. Zijn werk toonde aan dat veel menselijke eigenschappen een normale verdeling volgen, een concept dat nog steeds centraal staat in de statistiek.

In de context van medische statistiek was Quetelet’s werk revolutionair omdat het de basis legde voor bevolkingsstudies. Hij gebruikte bijvoorbeeld gegevens over sterftecijfers om levensverwachting te berekenen, een belangrijke maatstaf in de volksgezondheid. Zijn methoden maakten het mogelijk om gezondheidsproblemen op populatieniveau te onderzoeken, wat essentieel is voor het begrijpen van epidemieën en het ontwikkelen van preventieve maatregelen.

We gaan nu even verder in op het rooddiagram. Het roosdiagram, ook wel bekend als het “coxcomb diagram” of “polar area diagram,” is een datavisualisatie ontwikkeld door Florence Nightingale in de 19e eeuw. Een roosdiagram is een cirkelvormige grafiek die lijkt op een taartdiagram, maar met enkele belangrijke verschillen:

Gelijke hoeken, variabele lengte: In tegenstelling tot een taartdiagram, waarbij de grootte van een segment wordt bepaald door de hoek, hebben alle segmenten in een roosdiagram dezelfde hoek. De grootte van elk segment wordt bepaald door de lengte van de straal (de “spaken”), die evenredig is met de waarde van de data.
Tijdreeksen: Nightingale gebruikte het diagram om gegevens over tijd te tonen, waarbij elke “spaak” een maand vertegenwoordigde.
Oppervlakte-gebaseerd: De oppervlakte van elk segment is proportioneel aan de waarde, wat het visuele effect versterkt.

Tijdens de Krimoorlog ontdekte Nightingale dat de meeste soldaten in Britse militaire hospitalen stierven aan vermijdbare oorzaken, zoals infectieziekten (bijv. tyfus, cholera) door slechte hygiëne, in plaats van aan oorlogswonden. Om dit probleem aan te kaarten, verzamelde ze gedetailleerde gegevens over sterftecijfers en categoriseerde de doodsoorzaken in drie groepen:

Vermijdbare ziekten (zoals infecties door slechte sanitaire omstandigheden).
Oorlogswonden.
Andere oorzaken.

Haar roosdiagram visualiseerde deze gegevens om te laten zien dat de overgrote meerderheid van de sterfgevallen te wijten was aan vermijdbare ziekten. Door de gegevens visueel te presenteren, kon Nightingale beleidsmakers overtuigen van de noodzaak van hygiënische hervormingen.

Nightingale’s roosdiagram bestond uit twee diagrammen, elk voor een ander tijdsbestek:

April 1854 – maart 1855: Voor de invoering van hygiënische hervormingen.
April 1855 – maart 1856: Na de invoering van verbeteringen, zoals betere ventilatie en schoonmaak.

Elk diagram was verdeeld in 12 gelijke segmenten (één voor elke maand), gerangschikt in een cirkel. De lengte van elk segment vertegenwoordigde het sterftecijfer voor die maand, en de segmenten waren gekleurd om verschillende doodsoorzaken aan te geven:

Blauw: Sterfgevallen door vermijdbare ziekten.
Rood: Sterfgevallen door oorlogswonden.
Zwart: Sterfgevallen door andere oorzaken.

De oppervlakte van elk segment was proportioneel aan het aantal sterfgevallen, waardoor grote verschillen direct opvielen. Het eerste diagram toonde een veel grotere blauwe oppervlakte (vermijdbare ziekten), terwijl het tweede diagram een sterke afname in sterftecijfers liet zien na de hervormingen.

Voorbeeld van een Roosdiagram

Stel, we reconstrueren een vereenvoudigd roosdiagram gebaseerd op Nightingale’s gegevens voor een periode van zes maanden (januari tot juni 1854). De sterftecijfers per maand zijn als volgt (fictieve maar representatieve cijfers):

Maand	Vermijdbare ziekten	Oorlogswonden	Andere oorzaken
Januari	1000	200	50
Februari	1200	180	60
Maart	1500	150	70
April	900	170	55
Mei	700	160	50
Juni	500	140	40

In het roosdiagram zou:

Elke maand een segment van 60° (360° ÷ 6 maanden) beslaan.
De lengte van elk segment wordt berekend op basis van de wortel van het aantal sterfgevallen (omdat de oppervlakte proportioneel is aan de waarde).
De segmenten worden gestapeld, met blauwe gebieden (vermijdbare ziekten) het grootst, gevolgd door rode (oorlogswonden) en zwarte (andere oorzaken).

Het resultaat zou een cirkelvormige grafiek zijn waarin de blauwe gebieden dominant zijn, vooral in maart, en geleidelijk kleiner worden richting juni, wat een daling in sterfte door vermijdbare ziekten suggereert. Het resultaat is een visueel opvallende grafiek waarin grote blauwe segmenten (vermijdbare ziekten) direct de aandacht trekken, vooral in de vroege maanden, en de afname in latere maanden de impact van hervormingen benadrukt.

Dit werd gemaakt in Python:

De kromme van Peano

Geplaatst op 22 april 2025 door admin

De Peano-kromme, genoemd naar de Italiaanse wiskundige Giuseppe Peano (1858-1932), is een van de meest intrigerende concepten in de wiskunde. Deze curve, die in 1890 werd geïntroduceerd, was een revolutionaire ontdekking omdat het aantoonde dat een continue lijn een volledig tweedimensionaal vlak kan vullen.

De constructie van de Peano-kromme is gebaseerd op een iteratief proces. Het begint met een eenvoudige lijn die in een vierkant wordt getekend. Deze lijn wordt vervolgens herhaaldelijk opgesplitst en gevouwen volgens een specifiek patroon. Na oneindig veel stappen vult de curve het hele vierkant, waarbij elk punt in het vierkant wordt bereikt door de lijn.

Basisstap: Begin met een vierkant en een eenvoudige lijn die het vierkant in een patroon doorkruist (bijvoorbeeld een zigzaglijn).
Iteratiestap: Verdeel het vierkant in een 3×3 raster (dus 9 kleinere vierkanten). Vervang de oorspronkelijke lijn in elk van deze kleinere vierkanten door een verkleinde versie van het oorspronkelijke patroon.
Herhaling: Herhaal dit proces oneindig vaak, waarbij het vierkant steeds verder wordt onderverdeeld in kleinere vierkanten, en de lijn steeds complexer wordt.

Voor Peano’s ontdekking werd aangenomen dat een continue functie van een eendimensionale ruimte (zoals een lijn) naar een tweedimensionale ruimte (zoals een vlak) niet het hele vlak kon vullen. Peano bewees het tegendeel en opende daarmee de deur naar nieuwe inzichten in topologie en fractale meetkunde. Een belangrijke eigenschap van de Peano-kromme is dat deze continu maar niet differentieerbaar is. Dit betekent dat de curve geen scherpe hoeken heeft, maar ook geen vloeiende afgeleide – een kenmerk dat typisch is voor fractale structuren.

De fractale of Hausdorff dimensie van de Peano-kromme is 2. Neem bijvoorbeeld een andere fractale figuur , zoals de sneeuwvlok van Koch. Dit is geen ruimtevullende kromme; zijn fractale dimensie is ongeveer 1,26.

Een ander voorbeeld van een ruimtevullende kromme is de kromme van Hilbert:

Bolstapeling

Geplaatst op 18 april 2025 door admin

In de wereld van de moderne wiskunde zijn er enkele namen die opvallen door hun baanbrekende ontdekkingen en bijdragen aan complexe problemen. Maryna Viazovska is zo’n persoon. Geboren in Oekraïne op 2 december 1984, heeft ze niet alleen de wereld van de getaltheorie en wiskundige optimalisatie verrijkt, maar heeft ze ook bewezen dat zelfs de meest uitdagende problemen kunnen worden opgelost door vastberadenheid en briljant denken. Ze is hoogleraar getaltheorie in Lausanne en staat vooral bekend voor haar werk aan de dichtste stapeling van bollen.

Dit is een zodanige configuratie, regelmatig of onregelmatig, van een willekeurig groot aantal identieke bollen, dat geen andere configuratie voor hetzelfde aantal bollen minder ruimte inneemt. De gemiddelde dichtheid, de verhouding van het volume van de bollen tot het volume van het de ruimte noemt men de pakkingsfactor. De hoogste pakkingsfactor die kan bereikt worden is ongeveer 0,74( bewezen door Thomas Hales). Er zijn meerdere manieren van bolstapeling, die de maximale pakkingsfactor van ongeveer 0,74 halen. De simpele, veelvoorkomende zijn de hexagonale en de kubische:

In 2016 loste Viazovska het probleem van de dichtste bolstapeling in een acht-dimensionale ruimte op. Zij toonde aan dat de dichtste stapeling wordt verkregen als de bollen geordend worden volgens een Lie–groep. Voor haar werk kreeg ze de Fields Medal een van ’s werelds hoogste onderscheidingen in de wiskunde. Tot dan was het probleem slechts opgelost in 3 dimensie en dat bewijs kostte 300 pagina’s. Marina bewees dat van haar op 23 pagina’s en deed dat op een opvallend elegante manier. Ze was pas de tweede vrouw die de Fields Medal mocht ontvangen; De eerste was de Iraanse wiskundige Mirzakhani (1977-2017).

Magisch vierkant van B. Franklin

Geplaatst op 14 april 2025 door admin

Benjamin Franklin (1706-1790) , een van de Founding Fathers, was een Amerikaanse wetenschapper die erg hield van wiskundige puzzels. In 1769 beschreef hij in een brief aan een collega een magisch vierkant dat hij had gemaakt.

Dit vierkant zit vol van symmetrie:

elke rij en kolom heeft als som 260.
de helft van elke rij of kolom levert als som 130.
gebogen rijtjes hebben som 260, zoals blijkt in bovenstaande tekening.
de 4 getallen in de hoeken en de 4getallen in het midden hebben als som 260.
de som van de getallen in elke 2×2 vierkant is 130.
alle getallen van 1 tot 64 komen juist 1 keer er in voor.

Ondanks al deze symmetrie is het eigenlijk geen magisch vierkant , want de som van de getallen op de diagonalen is niet 260. Franklin maakte zelfs een 16×16 vierkant met alle getallen van 1 tot ,16×16=256. Zoek maar naar alle symmetrie….

Boom van Pythagoras

Geplaatst op 8 april 2025 door admin

De boom van Pythagoras is een fractal die in 1942 door de Nederlandse wiskundeleraar AE Bosman is bedacht. Het probleem dat hij zich stelde was: wat voor een figuur ontstaat er, als je op de bovenste zijde van een vierkant een gelijkbenige rechthoekige driehoek tekent en op de rechthoekszijden daarvan weer twee vierkanten, vervolgens weer driehoeken, enzovoort.

Geïnspireerd hierop maakte de Vlaamse kunstenaar Jos de Mey in de periode 1975-178 ruim 200 schetsen. Hieronder zie je twee voorbeelden: een project voor een kunstmetselwerkboom en de tulbandboom;