Priemfaculteit

Geplaatst op door

Veronderstel dat p een priemgetal is. Definieer dan priemfaculteit p, genoteerd als p#, als het product van alle priemgetallen kleiner dan of gelijk aan p. Een paar voorbeelden.

    \[\begin{array}{c|r} p&p\#\\ \hline 2&2\\3&6\\5&30\\7&210\\11&2310 \end{array}\]

Men kan deze definitie uitbreiden voor niet priemgetallen. Zo is n# het product van alle priemgetallen kleiner dan n, als n niet priem is. Bijgevolg is, bijvoorbeeld, 7#=8#=9#=10#= 210.

Onderstaande grafiek geeft de waarde van n! en n# grafisch weer:

 

 

 

 

 

 

Verder is ook volgende eigenschap belangrijk: als n steeds maar toeneemt, zal (p\#)^{\frac{1}{n}} convergeren naar het getal van Euler: e

 

Geschiedenis van de kansrekening: deel 5

Geplaatst op door

In de jaren 30 kwam de moderne wiskundige kansrekening tot stand door een axiomatische opbouw in het kader van de maattheorie van Emil Borel(1871-1956) en Henri Lebesgue (1875-1941).

 

Het was Kolmogorov die in 1933 kwam met zijn mathematisch model gebaseerd op het begrip kansruimte. Dit bracht toen een hele omwenteling te weeg. de kanstheorie werd ‘bevrijd’ en werd een volwaardig deel van de wiskunde.

Rond 1930 werden ook de grondslagen gelegd voor de theorie van de stochastische processen: wiskundige modellen voor processen die evolueren in de tijd volgens de wetten van de kansrekening. het best kende we de Brownse beweging ( willekeurige beweging van stofdeeltjes ). Belangrijke bijdragen kwamen van Kolmogorov, Khinchin,Feller en Lévy.

Geschiedenis van de kansrekening: deel 4

Geplaatst op door

Rond de eeuwwisseling hebben grote wiskundige zoals Poincaré(1854-1912) en Hilbert(1862-1943) geprobeerd om de kansrekening nieuw leven in te blazen. Zonder veel succes echter, omdat de kanstheorie gebouwd was op los zand. In 1919 was er een eerste poging tot axiomatisering  door Richard von Mises (883-1953), een Oostenrijkse wetenschapper en filosoof.

Zijn axioma’s steunden op de frequentiedefinitie van het begrip kans als limietwaarde van de relatieve frequentie, als het aantal proefnemingen oneindig groot wordt.

Rond 1920 was er veel wiskundig onderzoek rond de zogenaamde centrale limietstelling: gestandaardiseerde sommen van onafhankelijke toevalsveranderlijken hebben een verdelingsfunctie die dicht  bij de standaardnormale verdelingsfunctie ligt. Het woord centraal in centrale limietstelling verwijst naar de centrale rol die deze stelling speelt in de kanstheorie en de statistiek. Een eerste bewijs werd gegeven door Lyapunov in 1900. Belangrijke resultaten rond deze stelling en haar veralgemeningen kwamen in de twintiger jaren van de Rus Bernstein(1880-1968), de Fin Lindeberg(1876-1932)  en de Franse wiskundige Lévy(1886-1971). In veel van de bewijzen was de kanstheorie eerder bijzaak; alles kon met de klassieke analyse bewezen worden.

Geschiedenis van de kansrekening: deel 3

Geplaatst op door

Een volgende belangrijke stap in de ontwikkeling van de kanstheorie is het werk Analyticus des Probabilités (1812) van Pierre-Simon  Laplace(1749-1827)

 

Hij baseerde zijn kanstheorie op combinatieleer en gebruikte als definitie van kans de verhouding van het aantal gunstige gevallen tot het aantal mogelijke gevallen. Dit kan uiteraard enkel als elke uitkomst van het kansexperiment even waarschijnlijk is. Dit houdt een ernstige beperking in. Het werk van Laplace bevat belangrijke resultaten, maar de streng-wiskundige opbouw ontbreekt.

Na Laplace was er een ernstige verzwakking van de interesse voor de kanstheorie.  Er werd nog wel interessant werk verricht door P.L.Chebyshev(1821-1894), Markov(1856-1922) en Lyapunov(1857-1918), de grondleggers van de sterke hedendaagse Russische school in kanstheorie.