Een alien

Geplaatst op 18 november 2022 door admin

Op het bord staat de vergelijking

$x^3-19x^2+103x-247=0$

Een alien komt binnen en roept: een drievoudige wortel! Net als wij heeft het buitenaards wezen 2 handen die onderling symmetrisch zijn. maar hoeveel vingers heeft hij (zij of het) aan elke hand?

antwoord

Als er een drievoudige wortel is dan is de vergelijking te schrijven onder de vorm $(x-k)^3=0$ of
$x^3-3kx^2+3k^2x-k^3=0$
Nu is 247 geen derdemacht in ons tientallig stelsel, dus het gaat zeker al over een ander talstelsel. Noteer met b de basis van dat talstelsel.
De basis b moet even zijn, want onze alien heeft twee handen die symmetrisch zijn.
Verder moet b zeker groter zijn dan 10 want hij ziet het cijfer 9 staan.
Dus moet $3k=(19)_b$ of $3k=b+9$ . Hieruit volgt dat $f=\frac{b+9}{3}$ .
Ook moet $3k^2=(103)_b$ of $3k^2=b^2+3$ . Als we hierin k vervangen door $\frac{b+9}{3}$ vinden we $2b^2-18b-72=0$ . Bijgevolg is k=12 of k=-3. Dit laatste kan uiteraard niet.
Controleer nog of $k ^3=(247)_b$ met b=12. Dit klopt.
Het buitenaards wezen heeft 6 vingers aan elke hand.

Nootje 30

Geplaatst op 4 november 2022 door admin

Bereken $|AB|$ :

“Antwoord”

Construeer vanuit het middelpunt van de kleine cirkel een loodlijn op de straal uit A in de grote cirkel. AB staat , als gemeenschappelijke raaklijn aan de twee cirkels, loodrecht op de stralen in A en B.
Uit de stelling van Pythagoras volgt dan: $|AB|=x=\sqrt{(28+18)^2-10^2}=12\sqrt{14}$ .

Mooiheid van getallen

Geplaatst op 29 oktober 2022 door admin

De teller van elke breuk van je schrijven als n*111=n*3*37. Hierbij kan n elke waarde uit $\{1,2,\cdots,9\}$ aannemen.

De noemer van elke breuk is dat n+n+n=3*n

Bijgevolg is elke breuk gelijk aan $\frac{n*3*37}{3*n}=37$ .

Een wandeling

Geplaatst op 20 oktober 2022 door admin

Tijdens een wandeling met zijn vrouw langs het Royal Canal in Dublin realiseerde William Rowan Hamilton dat hij de veralgemening van complexe getallen naar de driedimensionale ruimte, had gevonden. Hij was hierover zo opgetogen dat hij dit in een steen op de Brougham Bridge kerfde.

Hij had de quaternionen ontdekt.

Zij zijn geschikt voor de beschrijving van een rotatie in de driedimensionale ruimte die twee congruente voorwerpen in elkaar doet overgaan. Als dusdanig kunnen ze gebruikt worden bij videogames ( zoals bvb Tomb Raider)

Verwachtingswaarde

Geplaatst op 15 oktober 2022 door admin

Hoeveel keer moet je gemiddeld een eerlijk muntstuk opgooien om 5 keer na elkaar kop te krijgen?

Antwoord

Noteer met e de gezochte verwachtingswaarde van het aantal keer opgooien. We noteren K voor kop en M voor munt.
Stel dat je bij de eerste poging M gooit. Hiervoor heb je $\frac{1}{2}$ kans. Dan heb je nog steeds geen enkele keer K gehad en dus moet je gemiddeld nog e+1 keer opgooien voordat je er bent. Die 1 komt van de poging die je al hebt ondernomen.
Heb je eerst K en dan M, en daartoe heb je $\frac{1}{4}$ kans, dan moet je weer van vooraf aan beginnen en heb je gemiddeld e+2 pogingen nodig. De 2 staat er omdat je al 2 keer gegooid hebt( KM) en dan helemaal opnieuw moet beginnen.
Werk zo verder de gevallen KKM ,KKKM,KKKKM en KKKKK af
Ga zo verder en dan krijg je volgende vergelijking :
$e=\frac{1}{2}(e+1)+\frac{1}{4}(e+2)+\frac{1}{8}(e+3)+\frac{1}{16}(e+4)+ \frac{1}{32}(e+5)+\frac{1}{32}.5$
Oplossen van deze vergelijking geeft $e=62$ .