Een gouden driehoek

Geplaatst op door

Bij de gulden snede verhoudt het grootste van de twee delen zich tot het kleinste, zoals het gehele lijnstuk zich verhoudt tot het grootste. Geven we het grootste deel aan met a en het kleinste deel met b, dan is de verhouding van beide zo dat \frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}. De bedoelde verhouding \frac{a}{b} noemt men het gulden getal en noteert men met \varphi. Het oplossen van de gegeven vergelijking geeft:

    \[\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618\]

Waar kunnen we in een driehoek dit gulden getal zien?

Neem een gelijkbenige driehoek met basishoeken van 72^\circ:

De hoogtelijn uit C verdeelt de overstaande zijde in twee gelijke stukken en de tophoek in twee gelijke hoeken. Zo een halve tophoek meet dan x=18^\circ. Dan is 5x=90^\circ en 2x=90^\circ-3x. Bijgevolg is \sin 2x=\cos 3x. Gebruiken we nu formules voor de dubbele en drievoudige hoek: 2\sin x\cos x=4\cos^3x-3\cos x.
Vermits \cos x\neq 0, kunnen we beide leden delen door \cos x en als we dan de grondformule van de goniometrie toepassen, vinden we

    \[4\sin^2x+2\sin x-1=0\]

Het oplossen van deze vierkantsvergelijking geeft: \sin x =\frac{-1+\sqrt{5}}{4}=\frac{1}{2\varphi}.

In de bovenstaande driehoek is \sin x=\frac{|AB|}{2|AC|}, dus

    \[\varphi=\frac{|AC|}{|AB|}\]

De gulden snede is dus de lengte van een opstaande zijde van een gelijkbenige driehoek met basishoeken van 72^\circ en basis 1.

Zoals je in bovenstaande tekening ziet, kan je dit ook verkrijgen met een gelijkbenige driehoek met basishoeken van 36^\circ.

Nootje 36

Geplaatst op door

Vind alle niet complexe oplossingen van

    \[(2x+1)(3x+1)(5x+1)(30x+1)=10\]

Antwoord

  • Alles uitrekenen geeft een vierdegraadsvergelijking, die waarschijnlijk niet op te lossen is.
  • We gaan de factoren in het linkerlid twee per twee uitrekenen: de eerst met de laatste en de twee middelsten.
  • De opgave wordt dan:  (15x^2+8x+1)(60x^2+32x+1)=10.
  • We merken op dat de twee eerste termen van de tweede factor het viervoud zijn van de eerste twee termen van de eerste factor. Stel 15x^2+8x=y
  • We krijgen dan (y+1)(4y+1)=10 of na uitwerken 4y^2+5y-9=0.
  • Deze vierkantsvergelijking heeft als oplossingen 1 en -2,25.
  • Vervangen we y terug dan verkrijgen we twee vergelijkingen van de tweede graad. De eerste 15x^2+8x-1=0 geeft als oplossingen \frac{-4\pm \sqrt{31}}{15}.
  • De tweede vergelijking wordt 15x^2+8x+2,25=0 en deze heeft geen reële oplossingen.
  • De enige niet complexe oplossingen zijn dus

        \[\frac{-4\pm \sqrt{31}}{15}\]

Demerbroeken wandeling

Geplaatst op door

De Demerbroeken vormen een uitgestrekte brok natuur in de brede vallei van de Demer, tussen Testelt, Zichem, Averbode en Diest. Je doorkruist er een ongerept overstromingsgebied. Het Agentschap voor Natuur en Bos werkt samen met Natuurpunt aan de uitbouw van een uitgestrekt natuurreservaat met rietruigten, afgewisseld met soortenrijke hooilanden en inheems loofbos. Op de Voortberg geniet je van een prachtig panorama.

Volg de knooppunten van het Wandelnetwerk de Merode, voor een wandeling van ongeveer 9 km. Start aan de molen van Testelt.

Nootje 35

Geplaatst op door

Zoek een getal van 6 cijfers dat begint en eindigt met een 2 en het product is van 3 opeenvolgende even getallen.

Antwoord

  • Even getallen eindigen steeds op 0,2,4,6 of 8.
  • Het product van drie opeenvolgende even getallen eindigt dan op 0*2*4, 2*4*6, 4*6*8 of 6*8*0.
  • Enkel de combinatie 4*6*8 eindigt dus op een 2.
  • Nu is 50^3=125000 en 60^3=216000.
  • Bijgevolg zijn de getallen: 64,66 en 68 en hun product is 287232.

Nootje 34

Geplaatst op door

Bereken de som van de coëfficiënten van de veelterm P(x) als

    \[(10x^{34}+2x^3+5)P(x)=2023x^{2023}\]

Antwoord

  • Het is handig te weten dat de som van de coëfficiënten van een veelterm kan berekend worden door de getalwaarde van 1 te berekenen, dus P(1).
  • Vullen we 1 in bij de gegeven identiteit, dan vinden we: (10+2+5)P(1)=2023;
  • Hieruit volgt dat P(1)=119
  • De som van de coëfficiënten van de veelterm Px) is dus 119.