Is dat een kwadraat?

Geplaatst op 21 juli 2021 door admin

Hoe kan je bij grote getallen zien of een getal al dan niet een kwadraat is? We geven twee gemakkelijke methoden om te kunnen constateren, dat een getal geen kwadraat is.

We kijken naar het laatste getal: alleen als dat een O, 1, 4, 5, 6 of 9 is kan het getal een kwadraat zijn. dus kunnen we gemakkelijk concluderen dat 475623872 geen kwadraat is.
Berekenen we bij de eerste kwadraten eens de som der cijfers modulo 9. We noemen dit de testwaarde van het getal.
Dan zie je dat de cijfers 1,0,4,7 steeds terugkeren. Omdat $(9x+y)^2=81x^2+18xy+y^2$ weten we dat de getallen $9x+y$ dezelfde testwaarde hebben dat $y^2$ . Dus moeten we enkel rekening houden met de eerste rij op de tabel hierboven. Als de testwaarde niet 0,1,4 of 7 is dan kan het getal nooit een kwadraat zijn. Het getal 89254869 zou volgens de eerste methode een kwadraat kunnen zijn, maar de testwaarde is 6 en dus weten we volgens de tweede methode dat het zeker geen kwadraat is.
Beide methoden laten ons in de steek bij de getallen 147456 en 174456. De twee methoden zijn dus niet sluitend, maar je kan in ieder geval al veel getallen, op een snelle manier, uitsluiten.

Nootje 24

Geplaatst op 18 juli 2021 door admin

De zijden van een driehoek zijn 18,24 en 30. Vind de oppervlakte van de driehoek gevormd door het zwaartepunt en de middelpunten van om- en ingeschreven cirkel.

Antwoord	Klik hier
Omdat 18,24 en 30 gelijke veelvouden zijn van 3,4,en 5 is de gegeven driehoek rechthoekig. We kunnen er dus voor zorgen dat de punten A,B en C gegeven zijn door A(0,0), B(0,18) en C(24,0). Het zwaartepunt Z vind door de coördinaten op te tellen en te delen door 3, dus Z(8,6). Omdat de driehoek rechthoekig is , ligt het middelpunt van de ongeschreven cirkel O, in het midden van de schuine zijde. Bijgevolg is O(12,9). Als we het middelpunt I van de ingeschreven cirkel verbinden met de hoekpunten en de oppervlakte van de 3 gevormde driehoeken optellen, vinden we dat de oppervlakte van de gegeven driehoek gelijk is aan de halve omtrek, vermenigvuldigd met de straal r van de ingeschreven cirkel. Hieruit vinden we dat r = 6 en dus is I(6,6). De driehoek ZOI heeft als basis $\|ZI\|=2$ en als hoogte $h=9-6=3$ . De gevraagde oppervlakte bedraagt dus 3 oppervlakte eenheden.

Antwoord

Klik hier

Nootje 23

Geplaatst op 15 juli 2021 door admin

Bereken de oppervlakte van het gebied bepaald door
$|x|+|y|+|x+y|\leq 1$

Antwoord	Klik hier
In het eerste kwadraat is x>0 en y>0 en dus ook x+y>0. De gegeven ongelijkheid wordt dan $x+y\leq \frac{1}{2}$ . In het derde kwadrant is x<0 en y<0 en dus ook x+y<0. De ongelijkheid wordt dan $x+y\geq -\frac{1}{2}$ . In het tweede kwadrant is x<0 en y>0. Als x+y>0 wordt de ongelijkheid $y\leq \frac{1}{2}$ . Is echter x+y<0, dan verkrijgen we $x\geq -\frac{1}{2}$ In het vierde kwadrant tenslotte is x>0 en y<0. Als x+y>0, dan is de ongelijkheid $x\leq \frac{1}{2}$ . Is daarentegen x+y<0, dan krijgen we $y\geq - \frac{1}{2}$ Het stelsel van al die ongelijkheden geeft volgend gebied in het vlak: In deze figuur herkennen we gemakkelijk drie vierkanten met zijde 1. De oppervlakte is dus 3 oppervlakte eenheden

Antwoord

Klik hier

Ada Lovelace

Geplaatst op 13 juli 2021 door admin

In 1815 werd Augusta, kortweg Ada, geboren als dochter van de bekende Engelse dichter Lord Byron en barones Milbanke. Ada’s moeder zou haar opvoeden tot wiskundige en onderzoeker. De reden hiervoor was dat ze bang was dat Ada anders net als haar vader zou eindigen als dichter.

Via de Schotse Mary Sommerville, een schrijfster van wetenschappelijke boeken, kwam Ada op haar 17de in contact met Charles Babbage( 1791-1871). Omdat deze laatste zich ergerde aan de fouten in vele astronomietabellen, bedacht hij zijn Difference Engine, een door stoom aangedreven mechanische machine die deze berekeningen automatisch kon uitvoeren. De machine steunde op de methode van eindige verschillen ontwikkeld door de wiskundige Gaspard de Prony (1755-1839), waardoor ze niet moest kunnen vermenigvuldigen of delen, wat mechanisch moeilijk uit te voeren was.

Ada, inmiddels getrouwd met Lord William King, graaf van Lovelace, begreep onmiddellijk het potentieel van de programmeerbare machine, eigenlijk de voorloper van onze huidige computers.

Lovelace kon niet zo maar onder haar eigen naam een artikel publiceren. Daarom vertaalde ze een samenvatting van het artikel Notions sur la Machine Analytique ( van Luigi Menabrea) uit het Frans naar het Engels. Babbage stelde voor dat zij dit met haar eigen aantekeningen zou uitbreiden tot een artikel – wat de oorspronkelijke tekst drie keer zo lang maakte. Dit artikel werd gepubliceerd in 1843; In een appendix stond uitgeschreven hoe de machine een recursieve wiskundige berekening kon uitvoeren om de rij van Bernouilli-getallen te berekenen. Babbage had die nodig om zijn astronomische functies beter te benaderen. Dit uitgeschreven plan wordt nu beschouwd als het eerste computerprogramma.

Ada Lovelace overleed op 36-jarige leeftijd aan bloedingen ten gevolge van een behandeling tegen baarmoederkanker.

De programmeertaal Ada, in 1979 ontwikkeld in opdracht van het Amerikaanse Ministerie van Defensie, is naar haar vernoemd.

Nootje 22

Geplaatst op 9 juli 2021 door admin

P is een punt binnen een rechthoek ABCD. Verder is |PA|=2, |PB|=3 en |PC|=10. Bereken |PD|.

Antwoord	Klik hier
Rechthoekige driehoek, dus rechte hoeken, dus Pythagoras? We vinden $a^2+c^2=4$ , $b^2+c^2=9$ , $b^2+d^2=100$ en $a^2+d^2=x^2$ . Neem vgl 1 – vgl 2+vgl 3- vgl 4 en we vinden $0=4-9+100-x^2$ . Hieruit volgt $x^2=95$ of $x=\sqrt{95}$ .