Round-robin: iedereen tegen iedereen

Geplaatst op door

Een round-robin (competitieschema “iedereen tegen iedereen”) is een formaat waarbij elke deelnemer precies één keertegen elke andere speelt (single round robin). Met heen-en-terug speel je twee keer tegen iedereen (double round robin).

Als er n ploegen zijn, dan  zijn er \frac{n(n-1)}{2} wedstrijden. Als n even is zijn er n-1 rondes en per ronde zijn er dan \frac{n}{2} wedstrijden. Als n oneven is , voeg je een “lege” ploeg bij. zo heb je dan een even aantal ploegen en worden er dus n ronden gespeeld. Als je tegen de “lege” ploeg speelt dan ben je BYE.

Hoe kan je nu zo een schema opstellen? Zet de teams in een “kring”, maak per ronde vaste overkant-paren, en draai na elke ronde alle teams door (behalve één “anker”).

Een voorbeeld met 6 teams: A,B,C,D,E,F:

 

We schrijven ze in twee rijen tegenover elkaar:

Ronde 1 – opstelling

  • Boven: A B C

  • Onder: F E D

Wedstrijden (koppel tegenover elkaar):

  • A–F

  • B–E

  • C–D

Rotatieregel (de essentie)

  • A blijft staan (anker).

  • De andere 5 teams vormen een ring: B, C, D, E, F.

  • Na elke ronde schuift die ring één stap door (bijv. met de klok mee).

Dan krijg je:

Ronde 2

  • Nieuwe ring: F, B, C, D, E

  • Opstelling:

    • Boven: A F B

    • Onder: E D C

  • Wedstrijden:

    • A–E, F–D, B–C

Ronde 3

  • Ring: E, F, B, C, D

  • Wedstrijden:

    • A–D, E–C, F–B

Ronde 4

  • Ring: D, E, F, B, C

  • Wedstrijden:

    • A–C, D–B, E–F

Ronde 5

  • Ring: C, D, E, F, B

  • Wedstrijden:

    • A–B, C–F, D–E

✅ Na 6−1=5 rondes heeft iedereen iedereen precies één keer ontmoet.

 

Voor 8 teams heb je bvb volgende twee oplossingen:

Nootje 67

Geplaatst op door

Zoek een natuurlijk getal n zodat 4n+808 en 9n+1621 allebei volkomen kwadraten zijn.

 

Antwoord
  • Er moet dus een natuurlijk getal p en q bestaan waarvoor geldt dat p^2=4n+808 en q^2=9n+1621.
  • Bereken nu 9p^2-4q^2. Dit geeft de waarde 788=2^2. 197.
  • Door ontbinding in factoren vinden we dat (3p-2q)(3p+2q)=2^2.197. 
  • Daaruit volgt dat (3p-q,3p+q)=(1,788) of (2,394) of (4,197).
  • Enkel de tweede mogelijk kan en dan vinden we p=66 en q=98.
  • Dan vinden we dat n=887.

De 30ste eeuw (3000-2901 voor Chr) voor Christus: een horizontale benadering

Geplaatst op door

Inleiding

De 30e eeuw v.Chr. is geen “één verhaal”, maar een mozaïek van gelijktijdige ontwikkelingen. Op meerdere plaatsen zie je dezelfde grote tendensen: groei van dorpen tot steden, meer organisatie, specialisatie, handel over grotere afstanden, en de eerste vormen van staatsmacht. Tegelijk blijven grote delen van de wereld nog puur landelijk of nomadisch: complexiteit ontstaat niet overal, en niet overal op dezelfde manier.

1) Wereld in cijfers en natuurkader

Bevolking

Rond 3000 v.Chr. leefden er wereldwijd waarschijnlijk ongeveer 10–20 miljoen mensen (schattingen verschillen; “ongeveer 14 miljoen” wordt vaak als orde van grootte genoemd). De mensheid is dus nog dun verspreid, met duidelijke concentraties langs rivieren en kustzones.

Klimaat en landschappen

We zitten volledig in het Holoceen: de grote ijskappen van de laatste ijstijd zijn al lang verdwenen. Europa en Noord-Amerika zijn vrij van continentale ijskappen. Wel blijven poolijsgebieden bestaan, en berggletsjers in hooggebergten.

Noord-Afrika: verschuiving naar de Nijl

De periode waarin de Sahara groener en natter was (met meren, savannes en herdersvolkeren) is al aan het afnemen. Het gevolg is een geleidelijke concentratie van bevolking rond blijvende waterbronnen, vooral de Nijl en de Sahelrand. Dit is een belangrijke achtergrond voor de groei van het Egyptische rijk.

2) Grote cultuurzones: wat gebeurt er tegelijk in de wereld?

A. Mesopotamië (Tigris–Eufraat): administratie, steden en stadstaten

In Zuid-Mesopotamië loopt in deze eeuw de overgang naar een wereld met volwaardige steden en steeds sterkere instellingen (tempelcomplexen, opslag, arbeid, verdeling van graan en goederen).

  • Administratie en registratie nemen toe (tellen, meten, zegels, archieven).

  • Steden worden knooppunten van macht en handel.

  • Naar het einde van deze fase wordt de politieke wereld meer gefragmenteerd: meerdere steden staan als eigen centra naast elkaar (het “stadstaatmodel” dat later nog duidelijker wordt).

Essentie: hier ontstaat een samenleving waar bestuur en economie zichtbaar “op papier” (of op klei) beginnen te functioneren.

B. Egypte (Nijl): eenheid en het vroege koningschap

Egypte is rond deze tijd al sterk op weg naar een gecentraliseerd koninkrijk. De Nijl werkt als een natuurlijke ruggengraat: verkeer, landbouw en administratie volgen dezelfde as.

  • Het koningschap krijgt een heilig en ritueel karakter.

  • Begrafeniscultuur en elitestructuren worden opvallend.

  • Figuren zoals Narmer worden traditioneel verbonden met de unificatie en het vroege dynastische tijdperk.

  • Farao’s van de eerste dynastie: Djer,Djet,Den

Essentie: Egypte kiest vroeg voor territoriale eenheid, wat later uitzonderlijke continuïteit mogelijk maakt.

C. Levant en Anatolië: vroege bronstijd en handelscorridors

Tussen Egypte en Mesopotamië ligt een brede zone (Levant, Syrië, Anatolië) die als brug functioneert:

  • Groei van nederzettingen en regionale centra.

  • Uitwisseling van goederen (hout, steen, metalen, luxeproducten).

  • De vroege bronstijd komt op gang: meer metaalgebruik en specialisatie.

Essentie: dit is de “scharnierzone” waar contacten tussen rijken, steden en grondstoffenlanden samenkomen.

D. Iran en de Zagros: parallelle centra en interactie

Aan de oostrand van Mesopotamië (Zagros, Iraans plateau) ontwikkelen eigen regionale tradities, met:

  • lokale machtscentra,

  • grondstoffenroutes,

  • en blijvende interactie met Mesopotamië.

Essentie: niet één groot rijk, wél een netwerk van gebieden dat mee de economische wereld van het Nabije Oosten voedt.

E. Zuid-Azië: vroege opbouw richting Induswereld

In het gebied van de latere Indusbeschaving zie je in deze eeuw vooral voorbereiding:

  • agrarische dorpsnetwerken,

  • groei van ambachten,

  • regionale uitwisseling.

De echte “grote stadstijd” van de Indus komt later, maar de fundamenten liggen al.

F. Euraziatische steppe: mobiliteit als kracht

Op de steppe (Pontisch–Kaspisch gebied en verder) leeft men veelal als mobiele veetelers.

  • Macht en organisatie tonen zich niet in steden, maar in mobiliteit, kuddes, en sociale structuren.

  • Begrafenisrituelen (kurgantraditie) en verre contacten wijzen op brede netwerken.

Essentie: complexiteit kan ook zonder steden: via mobiliteit, verbinding en prestige.

G. China: laat-neolithische groei (Longshan)

In Noord-China begint rond 3000 v.Chr. een fase waarin sommige regio’s sterk veranderen:

  • grotere nederzettingen,

  • soms omwallingen,

  • sterke ambachtelijke tradities (o.a. fijn zwart aardewerk).

Essentie: richting meer hiërarchie en regionale centra, zonder dat er al één “Chinees rijk” bestaat.

H. Europa: divers laat-neolithisch landschap

Europa is in deze eeuw een lappendeken:

  • landbouwgebieden met grotere dorpen,

  • monumenten (megalieten, rituele plekken),

  • toenemende sociale gelaagdheid in sommige regio’s.

In Noordwest-Europa zie je soms opmerkelijk “rijke” neolithische gemeenschappen met sterke lokale tradities.

I. Amerika’s: vroege monumentale centra (o.a. Andes)

Ook in de Amerika’s ontstaan vroeg vormen van grootschalige organisatie, vooral aan de Peruaanse kust:

  • ceremoniële centra,

  • monumentale bouw,

  • regionale samenwerking.

Essentie: “complexe samenleving” hoeft niet hetzelfde pad te volgen als in Egypte of Mesopotamië.

3) Wat bedoelen we met “stedelijke complexiteit” in deze eeuw?

In deze context betekent “stedelijke complexiteit” een bundel van kenmerken die vaak samen optreden:

  • Concentratie van bevolking (grotere nederzettingen)

  • Specialisatie (ambachtslieden, bestuur, religieuze functionarissen)

  • Overschotten en opslag (graan, vee, distributie)

  • Administratie (meten, tellen, zegels, vroege schriftvormen)

  • Monumentale of collectieve bouw (tempels, platformen, omwallingen)

  • Sociale gelaagdheid (elite, bestuur, arbeid)

Belangrijk: niet elke regio krijgt deze kenmerken tegelijk. Sommige gebieden ontwikkelen vooral administratie (Mesopotamië), andere vooral territoriale eenheid (Egypte), andere vooral netwerk-mobiliteit (steppe).

4) Personen en “grote namen”

Voor de 30e eeuw v.Chr. zijn concrete persoonsnamen schaars buiten Egypte. In veel regio’s zijn het eerder steden, instellingen en archeologische lagen die we kunnen beschrijven dan individuen met betrouwbare biografie.

  • Egypte: vroege koningen (met Narmer als bekend ankerpunt).

  • Mesopotamië: vooral de groei van steden en administratieve systemen; individuele heersers worden later in tradities duidelijker.

Besluit

De 30e eeuw v.Chr. is een wereld van gelijktijdige versnellingen: op meerdere plaatsen groeit de schaal van samenleving, economie en bestuur. Toch is het geen “wereldwijde revolutie” in één richting. Het is eerder een tijd van parallelle experimenten: stadstaten langs rivieren, territoriale eenheid langs de Nijl, mobiele netwerken op de steppe, en ceremoniële centra in de Andes.

 

Kleuringen

Geplaatst op door

Op hoeveel verschillende manieren kunnen we de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek kleuren als we alleen over de drie hoofdkleuren rood,geel en blauw mogen beschikken. Twee kleuringen zijn gelijk als ze door een draaing op elkaar overgaan.

 

  • Een eerste manier werkt als volgt: als je slechts 1 kleur gebruikt zijn er drie mogelijkheden. als je twee kleuren gebruikt zijn er 6 oplossingen en als je alle drie de kleuren gebruikt dan zijn er 2 mogelijkheden. in het totaal heb je dus 11 mogelijke kleuringen.
  • Een tweede manier maakt gebruik van de stelling van Burnside: Als een eindige groep werkt op een verzameling , dan is het aantal verschillende configuraties “tot symmetrie” (dus het aantal banen/orbits) gegeven door de formule

        \[\frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} |Fix(g)|\]

    met Fix(g) bedoelt men de verzameling elementen x van X die door g worden vastgehouden. In ons voorbeeld noemen we voor G de rotaties van een gelijkzijdige driehoek; dus een draaiing over 0^{circ},120^{\circ}, 240^{\circ}. Voor X nemen we alle mogelijke kleuringen van de hoekpunten met de drie gegeven kleuren. G telt dus 3 elementen. |Fix( 0^{\circ}}|=3^3=27 en |Fix( 120^{\circ})|=|Fix( 240^{\circ})|=3. Volgens de stelling van Burnside zijn er dus

        \[\frac{1}{3}(27+3+3)=11\]

    oplossingen

  • Er bestaat ook een formule die het probleem oplost voor een willekeurige regelmatige. n-hoek:

        \[\frac{1}{n}\sum_{d|n}\varphi(\frac{n}{d})m^d\]

    Hierbij stelt m het aantal beschikbare kleuren voor en is \varphi de totïent functie van Euler.