Groeimodel van Verhulst

Geplaatst op 15 mei 2022 door admin

Het groeimodel van Malthus voorspelt een exponentiële groei. In de praktijk zijn er echter grenzen aan de bevolkingsexplosie, doordat bijvoorbeeld de woonomgeving of de voedselsituatie een begrenzing stelt op de grootte van de populatie.

Pierre Verhulst(1804-1849), een Belgisch mathematisch bioloog modelleerde dit als volgt:

$N'(t)=kN(t)(M-N(t))$

waarbij N(t) de grootte van de populatie weergeeft op elk tijdstip t. Op basis van zijn studie van de evolutie van de bevolkingscijfers leidde Verhulst af dat deze remmende factor evenredig is met het verschil tussen de populatie op een gegeven tijdstip en de maximale populatie M. De oplossing van deze differentiaalvergelijking geeft de bekende logistische functie met als grafiek de sigmoïde:

De logistische functie van Verhulst wordt tegenwoordig vooral gebruikt in biologische wetenschappen, bijvoorbeeld bij de studie van bacteriënpopulaties. Ook bij de besmettingscijfers van de Corona pandemie zie je deze grafiek terugkomen.

Straal ingeschreven cirkel

Geplaatst op 13 mei 2022 door admin

Zoek een verband tussen de zijden van een rechthoekige driehoek en de straal van de ingeschreven cirkel.

De stukken van de raaklijnen vanuit een punt aan de cirkel zijn even lang en bovendien is x = r.

Wanneer we $a+b$ berekenen vinden we dat $a+b=x+z+x+y=2r+c$ , dus geldt in een rechthoekige driehoek :

$a+b-c=2r$

Kan je nu de oppervlakte van de rechthoek ABCD berekenen?

Het groeimodel van Malthus

Geplaatst op 9 mei 2022 door admin

Thomas Malhus(1766-1834) was een Brits demograaf en econoom, die vooral bekend is van zijn model voor bevolkingsgroei. Modellen voor bevolkingsgroei vormen een populair en dankbaar toepassingsgebied van differentiaalvergelijkingen en dynamische systemen.

De grootte van een populatie is intrinsiek een geheel getal en toename en afname ervan zijn discrete gebeurtenissen in de tijd. De meetgegevens die we willen moduleren zijn niet nauwkeurig tot op de eenheden, dus mogen we de verandering is de tijd eveneens modelleren alsof ze continu was.

In 1798 publiceerde Malthus het pamflet An essay on the principle of population waarin hij stelde dat de bevolkingsgroei de economische groei voor zou blijven. Hij veronderstelde dat de populatiegrootte op een zeker tijdstip alleen afhangt van het vorige tijdstip. Als we de bevolkingsgrootte voorstellen door P(t), dan wordt deze aanname gemodelleerd door

$P'(t)=kP(t)$

De oplossing van deze differentiaal vergelijking is

$P(t)=A.e^{kt}$

met exponentiële groei als $e^k>1$ en verval als $e^k<1$ .

Op grond van volkstellingen kwam Malthus tot de vaststelling dat er een exponentiële groei was voor de Engelse bevolking en dat deze bevolkingsexplosie niet kon worden bijgehouden door de lineaire groei in de voedselproductie.

Malthus dacht dat epidemieën en oorlog, onvoldoende waren om de exponentiële groei van de bevolking ten opzichte van de lineaire groei van de voedselproductie te corrigeren. Daarom zag Malthus als enige oplossing voor de overbevolking ‘moral restraint’; arme mensen die wisten dat ze geen gezin zouden kunnen ondersteunen, moesten volgens hem ook geen gezin stichten.

Een patroon zoeken…

Geplaatst op 6 mei 2022 door admin

Stel $f_0(x)=\dfrac{1}{1-x}$ en $f_n(x)=f_0(f_{n-1}(x))$ voor $n=1,2,3,...$ Bereken dan

$f_{2022}(2022)$

Het is onwaarschijnlijk dat je alle functies $f_n(x)$ , waarbij n varieert van 1 tot n, zal moeten berekenen. Waarschijnlijk zit er ergens een patroon in…

Antwoord

$f_1(x)=\dfrac{1}{1-f_0(x)}=\dfrac{x-1}{x}$ .
$f_2(x)=\dfrac{1}{1-f_1(x)}=x$ .
Maar dan is $f_3(x)=f_0(x)$ .
Algemeen is $f_{3n}(x)=f_0(x)$ , $f_{3n+1}(x)=f_1(x)$ en $f_{3n+2}(x)=f_2(x)$ .
Omdat 2022 deelbaar is door 3, zal $f_{2022}(x)=f_0(x)$ .
En dus is $f_{2022}(2022)=-\dfrac{1}{2021}$ .

Eutrigon stelling

Geplaatst op 22 april 2022 door admin

Een eutrigon is een willekeurige driehoek waarvan 1 hoek 60 graden meet. De zijde ertegenover noemt men de hypotenusa van het eurtrigon.

Men kan op de zijden van een eutrigon gelijkzijdige driehoeken construeren, zoals in onderstaande tekening:

Er bestaat een stelling die zegt dat de som van de oppervlakten van de eutrigon en de driehoek op de hypotenusa, gelijk is aan de som van de oppervlakte van de driehoeken op de twee andere zijden:

$S+S_2=S_1+S_3$

In driehoek ABC kan je de cosinusregel toepassen:

$b^2=a^2+c^2-ac$

De oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek met zijde z wordt gegeven door de formule: $\frac{\sqrt{3}z^2}{4}$ . Verder weten we dat de oppervlakte van driehoek ABC gegeven wordt door $\frac{1}{2}ac \sin 60^{\circ}$ . Als we beide leden in de cosinusregel van hierboven vermenigvuldigen met $\frac{\sqrt{3}}{4}$ , vinden we dat

$S+S_2=S_1+S_3$