De stelling van Bottema

Geplaatst op door

Iemand wil een schat begraven’ op een plek, die ter wille van de geheimhouding op een gecompliceerde wijze wordt bepaald, maar door hem zelf gemakkelijk kan worden teruggevonden. Hij gaat daartoe uit van drie gemerkte bomen A, B, C, denkt zich AC over een rechte hoek om A (in positieve richting). gewenteld tot AC1, BC om B (in tegengestelde richting) tot BC2 en kiest het midden P van C1C2 als de bewuste plaats .

Later terugkomend kan hij de boom C niet terug vinden; in zijn wanhoop besluit hij verschillende punten als C aan te nemen en hij stelt zich voor vele vergeefse opgravingen te moeten verrichten De eerste poging heeft echter reeds succes. De eenvoudige stelling die uitspreekt dat P onafhankelijk is van C schijnt niet algeméen bekend te zijn. 

Dit resultaat is is de stelling die vernoemd werd naar Oene Bottema (1901-1992). Bottema beschreef de stelling in de vorm van een verhaal over een verloren schat in een van zijn “Verscheidenheden” in het Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde in 1959, zoals hierboven te lezen valt.

De cirkel van Conway

Geplaatst op door

De Britse wiskundige John Horton Conway ontdekte een verrassende meetkundige eigenschap van willekeurige driehoeken. Vertrekkend van een eenvoudige constructie verschijnt onverwacht een cirkel door zes speciaal geconstrueerde punten.

Neem een willekeurige driehoek ABC. Verleng nu elke zijde aan beide kanten met een lengte gelijk aan de lengte van de overstaande zijde.

De zes bekomen punten blijken allemaal op éénzelfde cirkel te liggen. Deze cirkel noemt men de Conway-cirkel. Het middelpunt van de cirkel is het middelpunt Ivan de ingeschreven cirkel van driehoek ABC

 

Normaal gezien is het zeer uitzonderlijk dat zes willekeurige punten op één cirkel liggen. In deze constructie worden de punten enkel bepaald door lengtes van de oorspronkelijke driehoek. Toch ontstaat automatisch een perfecte cyclische configuratie. De stelling toont hoe verborgen symmetrieën in een driehoek kunnen leiden tot onverwachte eigenschappen. Conway stond bekend om zulke elegante meetkundige ontdekkingen: eenvoudig te formuleren, maar diep en verrassend.

Welke eigenschap wordt hier geïllustreerd?

Geplaatst op door

Antwoord

  • Veronderstel  dat de zijde van het groene vierkant gelijk is aan 1.
  • De som van de oppervlakten van de gele vierkanten is

        \[\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\cdots\]

  • Dit  de som van de termen van een meetkundige rij met reden r=\frac{1}{4} en beginterm a=\frac{1}{4}.
  • Deze som  wordt gevonden met de formule \frac{a}{1-r}. Dit geeft hier \frac{0,25}{1-0,25}=\frac{1}{3}.
  • Dus de som van de oppervlakten van de gele vierkanten is \frac{1}{3}. Analoog is de som van de oppervlakten van de rode vierkanten en de oranje vierkanten ook gelijk aan \frac{1}{3}. 
  • De tekening is dus een illustratie van de formule

        \[3(\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\cdots)=1\]

Vierkanten tellen

Geplaatst op door

 
Hoeveel vierkanten zitten er in een rooster?
 
 
Een klassieke vraag in de recreatieve wiskunde is de volgende: Een vierkant is verdeeld in kleine vierkantjes. Hoeveel vierkanten kan je daarin vinden?
 
Op het eerste gezicht zou je misschien antwoorden: evenveel als het aantal kleine vakjes. Maar dat klopt niet helemaal. In een rooster zitten niet alleen kleine vierkantjes, maar ook grotere vierkanten die uit meerdere kleine vakjes bestaan.
 
We bekijken eerst een concreet voorbeeld.  Een rooster van 5 \times 5
 
Neem een vierkant rooster van 5 op 5. Het rooster bestaat dus uit 25 kleine vierkantjes.
 
Maar daarnaast zijn er ook grotere vierkanten.
 
We tellen per grootte.
 
Vierkanten van 1 \times 1 : 5^2=25
Vierkanten van 2 \times 2: 4^2=16
Vierkanten van 3 \times 3: 3^2=9
Vierkanten van 4 \times 4: 2^2=4
Vierkanten van 5 \times 5: 1^2=1
 
 
 
Het totaal aantal vierkanten is dus: 25+16+9+4+1=55
 
In een rooster van 5 \times 5 zitten dus 55 vierkanten. Waarom komen die kwadraten voor?
 
Bekijk bijvoorbeeld de vierkanten van 2 \times 2 in een rooster van 5 \times 5.
 
Zo een vierkant kan horizontaal op 4 verschillende plaatsen beginnen en verticaal ook op 4 verschillende plaatsen. Daarom zijn er 4^2=16 vierkanten van 2 \times 2.
 
Het algemene geval
 
Neem nu een rooster van n \times n kleine vierkantjes.
 
Dan zijn er:
 
– n^2 vierkanten van 1 \times 1;
– (n-1)^2 vierkanten van 2 \times 2;
– (n-2)^2 vierkanten van 3 \times 3;
– enzovoort;
– 1^2 vierkant van n \times n.
 
Het totaal aantal vierkanten is dus: n^2+(n-1)^2+(n-2)^2+\cdots+1^2
Voor deze som bestaat een mooie formule: 1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}
 
Daarom is het aantal vierkanten in een rooster van n \times n gelijk aan:
 

    \[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\]

 
## Controle voor n=5
 
We vullen n=5 in: \frac{5\cdot 6\cdot 11}{6}=55. Dat is precies het aantal dat we eerder vonden.