Topologie

Topologie is een veralgemening van de meetkunde. Het woord is afgeleid   van het Grieks topos(plaats) en logos (studie). Het is een onderdeel van de wiskunde dat zich bezighoudt met eigenschappen in de n-dimensionele ruimte , die bewaard blijven bij continue vervorming (de objecten mogen niet worden gescheurd of geplakt). De term ‘topologie’ werd geïntroduceerd in 1847 door de Duitse wiskundige John Benedict Listing ( 1808-1892) in zijn werk Vorstudien zur Topologie . Listing was een leerling van Carl Friedrich Gauss.

In de beginperiode noemde men ‘ deze wiskunde’ : analysis situs, analyse van de positie. Rubbermeetkunde is een betere omschrijving van wat topologie eigenlijk betekent .

In topologie beschouwt men twee objecten als hetzelfde (homeomorf) als de ene continu vervormd kan worden tot de andere: uitrekken zonder  echter te scheuren of verschillende delen samen te plakken.

In de praktijk zijn continue vervormingen echter moeilijk te beschrijven. Er bestaat een andere methode om te zien wanneer twee objecten niet-homeomorf zijn. Hierbij maakt men gebruik van de Euler karakteristiek of de Poincaré-Euler karakteristiek: een geheel getal dat de  essentie van de vorm van een topologische ruimte weergeeft. 

De Eulerkarakteristiek wordt genoteerd door \chi. Noteer met h het aantal hoekpunten, met r het aantal ribben en met v het aantal zijvlakken van een figuur.

  • Voor figuren zoals de cirkel is \chi= h-r.
  • Voor figuren zoals een bol is \chi=h-r+v.

Vooreen kubus ( en elk ander Platonisch veelvlak ) is \chi=2, want een kubus heeft 8 hoekpunten, 12 ribben en 6 zijvlakken: 8-12+6=2.

Voor de drievoudige torus kan men aantonen dat \chi=-4.

 

Het berekenen van de Euler karakteristiek gebeurt via triangulatie, waarop we hier niet verder ingaan. Belangrijk is om te weten dat, als figuren homeomorf zijn, hun Euler karakteristieken dezelfde zijn of door contra positie: als de Euler getallen verschillend zijn , dan zijn de figuren niet homeomorf.

 

Sangaku 4

Antwoord Klik hier

Ster van David

Iedereen kent wel de driehoek van Pascal met de binomiaalgetallen. In die driehoek kan je mooie verbanden zien: je vindt er de natuurlijke getallen in , de driehoeksgetallen….Gekend is zeker ook de stelling van Stiefel. Minder bekend is de stelling van de Davidster:

In de tekening hierboven zijn de rijen van de driehoek van Pascal als kolommen weergegeven. De  grootste gemene delers van de getallen op de hoekpunten van de gegeven driehoeken zijn gelijk: De grootste gemene deler van \binom{n-1}{k-1},\binom{n}{k+1},\binom{n+1}{k} is gelijk aan de grootste gemene deler van \binom{n-1}{k-},\binom{n}{k-1},\binom{n+1}{k+1} . Dit verband werd in 1972 ontdekt door de Amerikaanse wiskundige Henry Gould.

Bovendien geldt er dat het product van de getallen op de hoekpunten van de driehoeken gelijk is

Een voorbeeld:

 

Nootje 18

Bereken de oppervlakte van een rechthoekige driehoek in functie van de bissectrice en zwaartelijn betrokken uit de rechte hoek.

Antwoord Klik hier