Nootje 77

Geplaatst op door

Elk natuurlijk getal van twee cijfers kan je achterstevoren schrijven. Zo kan je 23 omdraaien tot 32. Bepaal alle getallen met de eigenschap dat de som van het getal en zijn omgedraaide een kwadraat oplevert.

 

Antwoord

  • Noteer het getal als ab, met a het cijfer van de tientallen en b het cijfer van de eenheden.
  • Het omgedraaide getal is dan ba en hun som is

        \[ab+ba=10a+b+10b+a=11(a+b)\]

  • Als deze som een kwadraat moet zijn, dan moet a+b het product zijn van 11 en een kwadraat. Of a+b=11k^2.
  • Maar a en b zijn cijfers, dus a+b\leq 18 en daarom kan enkel k=1.
  • Bijgevolg is $a+b=11 en zijn de mogelijke oplossingen : 29,92,38,83,47,74,56,65

De stelling van Bottema

Geplaatst op door

Iemand wil een schat begraven’ op een plek, die ter wille van de geheimhouding op een gecompliceerde wijze wordt bepaald, maar door hem zelf gemakkelijk kan worden teruggevonden. Hij gaat daartoe uit van drie gemerkte bomen A, B, C, denkt zich AC over een rechte hoek om A (in positieve richting). gewenteld tot AC1, BC om B (in tegengestelde richting) tot BC2 en kiest het midden P van C1C2 als de bewuste plaats .

Later terugkomend kan hij de boom C niet terug vinden; in zijn wanhoop besluit hij verschillende punten als C aan te nemen en hij stelt zich voor vele vergeefse opgravingen te moeten verrichten De eerste poging heeft echter reeds succes. De eenvoudige stelling die uitspreekt dat P onafhankelijk is van C schijnt niet algeméen bekend te zijn. 

Dit resultaat is is de stelling die vernoemd werd naar Oene Bottema (1901-1992). Bottema beschreef de stelling in de vorm van een verhaal over een verloren schat in een van zijn “Verscheidenheden” in het Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde in 1959, zoals hierboven te lezen valt.

De cirkel van Conway

Geplaatst op door

De Britse wiskundige John Horton Conway ontdekte een verrassende meetkundige eigenschap van willekeurige driehoeken. Vertrekkend van een eenvoudige constructie verschijnt onverwacht een cirkel door zes speciaal geconstrueerde punten.

Neem een willekeurige driehoek ABC. Verleng nu elke zijde aan beide kanten met een lengte gelijk aan de lengte van de overstaande zijde.

De zes bekomen punten blijken allemaal op éénzelfde cirkel te liggen. Deze cirkel noemt men de Conway-cirkel. Het middelpunt van de cirkel is het middelpunt Ivan de ingeschreven cirkel van driehoek ABC

 

Normaal gezien is het zeer uitzonderlijk dat zes willekeurige punten op één cirkel liggen. In deze constructie worden de punten enkel bepaald door lengtes van de oorspronkelijke driehoek. Toch ontstaat automatisch een perfecte cyclische configuratie. De stelling toont hoe verborgen symmetrieën in een driehoek kunnen leiden tot onverwachte eigenschappen. Conway stond bekend om zulke elegante meetkundige ontdekkingen: eenvoudig te formuleren, maar diep en verrassend.