Corona

Geplaatst op 31 maart 2020 door admin

Het basis reproductiegetal R₀ geeft aan op hoeveel nieuwe mensen een besmet iemand het virus overdraagt. Men noemt dit ook simpelweg de ‘besmettelijkheid’. Een besmettingsgetal van 2 betekent dat een drager van de infectie gemiddeld 2 andere mensen zal besmetten. Voor het covid-19 virus zitten de meeste schattingen voor R₀ tussen de 2 en 3. Daarmee is dit virus besmettelijker dan de seizoensgriep, die meestal een R₀ van 1 tot 2 heeft. Het covid-19 virus is echter weer veel minder besmettelijk dan bijvoorbeeld het mazelenvirus, dat een R₀ van 12 tot 18 heeft. Hieronder treft u ter vergelijking een tabel aan met basis reproductiegetallen voor een aantal bekende ziekten:

Ziekte	R₀
Mazelen	12-18
Polio	5-7
Rodehond	5-7
Bof	4-7
Aids	2-5
SARS	2-5
Covid-19	2-3
Influenza	1-2

Hoe groter R₀ des te sneller neemt het aantal geïnfecteerde mensen toe, en des te moeilijker zal de infectie onder controle te krijgen zijn. Belangrijk is ook om te weten dat R₀ geen constante is. R₀ is namelijk mede afhankelijk van het aantal contacten waarbij besmetting mogelijk is. Vandaar ook de oproep vanuit het ministerie om zoveel mogelijk thuis te blijven en ruim afstand te houden tot anderen. Het concept van het reproductiegetal werd ontwikkeld in het werk van Alfred Lotka (1880-1949), Ronald Ross (1857-1932) en George MacDonald(1903-1967). Hieronder een foto van Lotka:

Het effectieve reproductiegetal
Als iemand immuun is geworden, door vaccinatie of door de ziekte te hebben doorstaan, leidt het oppikken van het virus niet meer tot een besmetting. Voor de bepaling van het effectieve reproductiegetal is van belang welk deel van de bevolking nog vatbaar is. Geven we die fractie aan met de letter s, dan geldt de formule R = R₀ · s.

Het effectieve reproductiegetal R is cruciaal voor het verloop van de besmetting. Bij R > 1 breidt de pandemie zich verder uit en bij R < 1 dooft de pandemie op den duur uit. Voor de grens tussen toename en uitdoven geldt de formule s = 1/R₀.

Girih

Geplaatst op 29 maart 2020 door admin

Girih is de Arabische term voor een verzameling siertegels die bij decoratieve betegelingen in de Islamitische architectuur, worden gebruikt.

Een voorbeeld van dergelijke tegels is:

Een patroon hiermee is bijvoorbeeld:

In een mozaïek in de Yesil moskee ( Bursa, Turkije) vind je hiervan een uitgewerkt voorbeeld.

Vaak is zo een betegeling periodiek. dit wil zeggen dat er een translatiesymmetrie aanwezig is. Maar er zijn ook andere mogelijkheden.

In de jaren 1970 bestudeerde de wiskundige Roger Penrose (1931) niet-periodieke betegelingen. Een voorbeeld:

De drie snelste paarden

Geplaatst op 23 maart 2020 door admin

De eigenaar van een mooie renstal met 25 paarden wil uitzoeken welke drie paarden het snelst zijn. Hij kan dit echter alleen doen door de paarden tegen elkaar te laten lopen. Maar hij kan slechts vijf paarden tegelijkertijd laten lopen. Hoeveel races heb je minimaal nodig om de drie snelste paarden te selecteren.

Verdeel de 25 paarden in 5 groepjes van 5 en duid in elke groep het snelste paard aan door 5 races te organiseren. Laat in de zesde wedstrijd de 5 winnaars tegen elkaar uitkomen. Zo kan het allersnelste paard worden aangeduid in 6 races.
Om het tweede en derde snelste paard aan te duiden heb je maar 1 extra wedstrijd nodig:

In de tekening hierboven staan de paarden per groep, van links naar rechts, in volgorde van snelheid. de traagste helemaal links. De groepen zelf zijn gerangschikt van onder naar boven volgens de snelheid van hun winnaar; de traagste helemaal onderaan. In het rood zijn alle paarden aangeduid waarvan we weten dat er nog minstens drie snellere paarden zijn. Er blijven nog zes paarden over. Het paard rechtsboven is de allersnelste en laten we even buiten beschouwing. Laat de vijf andere tegen elkaar lopen in de zevende race. Zo vinden we de zilveren en bronzen medaille!

Het getal e

Geplaatst op 19 maart 2020 door admin

Het product 1.2.3.4….n wordt genoteerd door n! en noemt men n faculteit. De grootte van de faculteiten neemt zeer snel toe:
1!=1
2!=2
3!=6
4!=24
5!=120
6!=720
7!=5040
8!=40320
9!=362880
10!=3628800

Even snel nemen dus de waarden van de termen in de volgende som af:

$a_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots +\frac{1}{n!}$

We kunnen verwachten dat, naarmate n groter wordt, de waarde van $a_n$ zeer weinig zal toenemen en een bepaald getal niet zal overschrijden. We kunnen aantonen dat $a_n$ kleiner blijft dan 3.

Als we in k! elke factor, behalve de eerste, vervangen door 2, dan zien we duidelijk dat $k!> 2^{k-1}$ . Bijgevolg is $a_n$ kleiner dan $1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}$ . Vanaf de tweede term herken je hierin de som van de termen van een meetkundige rij.De limiet hiervan is $\frac{1}{1-0,5}=2$ . Hieruit volgt dat , voor toenemende n waarden, $a_n$ zeker kleiner is dan $1+2=3$ .

De getallen $a_n$ zijn termen van een naar boven begrensde , stijgende rij en dus zal die rij convergeren. Die limiet noemen we het getal e. Met $a_{12}$ te berekenen vindt we dat $e\approx 2,7182818$ .

Het was de Schotse wiskundige John Napier die het eerst met dit getal geconfronteerd werd, toen hij werkte aan de eerste rekenlinialen.

Het getal werd door Euler het exponentiële getal genoemd. Vandaar ook, waarschijnlijk, de letter e voor dit getal. Het was ook Euler die de meeste eigenschappen van dit getal vond.

6. Wiskunde in het oude Indie

Geplaatst op 11 maart 2020 door admin

De eerste belangrijke beschaving in het Indus gebied was de Harappa-beschaving rond 2000 voor Christus

Het Vedische volk kwam India rond 1500 voor Christus binnen vanuit wat nu Iran is. In deze Vedische beschaving was de bevolking verdeeld in verschillende sociale klassen. de leiding berustte bij de priesterklasse, de Brahmanen. Hun heilige teksten staan bekend staan als de Veda’s. De teksten dateren van ongeveer de 15e tot de 5e eeuw voor Christus en werden gebruikt voor offerrituelen die het belangrijkste kenmerk van de religie waren. De belangrijkste van deze documenten zijn de Baudhayana Sulbasutra geschreven rond 800 voor Christus en de Apastamba Sulbasutra geschreven rond 600 voor Christus. Minder gekend zijn de Manava Sulbasutra geschreven rond 750 voor Christus en de Katyayana Sulbasutra geschreven rond 200 voor Christus.

De Sulbasutra’s zijn bijlagen bij de Veda’s die regels geven voor het bouwen van altaren. Als het rituele offer succesvol zou zijn, moest het altaar zich zeer precieze afmetingen hebben. Om de goden tevreden te stellen, moest alles met een zeer precieze formule worden uitgevoerd, dus werd wiskundige nauwkeurigheid van het grootste belang geacht.

Alles wat bekend is van Vedische wiskunde is vervat in de Sulbasutras. Sommige historici beweren dat de wiskunde, meer speciaal de meetkunde, ook moet hebben bestaan als ondersteuning van de astronomie.

Een paar voorbeelden van hun meetkundige kennis:

Een vierkant dat de som is van twee andere vierkanten
De diagonaal van een vierkant geeft een vierkant van dubbele oppervlakte.
Een vierkant dat gelijk is aan een cirkel (komt overeen met een waarde voor pi van ongeveer 3,00444)
De som van de oppervlakten van vierkanten van de lengte en breedte van een rechthoek geeft het vierkant van de diagonaal van de rechthoek.
Vermeerder de eenheid met een derde en dit derde met zijn vierde en verminder dat met het 34ste deel van dat vierde. zo bekom je een benadering voor de vierkantswortel van 2: 1,414215

De Sulbasutra’s bevatten geen enkel bewijs van de regels die ze beschrijven. Sommige regels, zoals de methode om een vierkant te construeren dat gelijk is aan een bepaalde rechthoek, zijn exact. Anderen, zoals het construeren van een vierkant gelijk aan dat van een bepaalde cirkel, zijn benaderingen.