Quote van C.C.Colton

Geplaatst op 17 juli 2019 door admin

Charles Caleb Colton (1780–1832) was bekend vanwege zijn soms zeer scherpe quotes:

De studie van de wiskunde begint, net zoals de Nijl, klein en verfijnd maar eindigt groots en glorieus.

Eenheden in de groepsring ZC_8

Geplaatst op 15 juli 2019 door admin

De eenheden groep van $\mathbb{Z}C_8$ is van de vorm $\pm C_8 \times F$ waarbij $F$ vrij
abels is van rang $r=\frac{1}{2}(n+1+a_2-2.l)=\frac{1}{2}(8+1+1-2.4)=1$ .
In zijn boek Unit group of grouprings gaf G.Karpilovsky volgende karakterisatie:

$U(\mathbb{Z}C_8)=\pm C_8 \times \left\langle g^6+2g^5+g^4-g^2-g-1 \right\rangle$

In dit artikel geven we een andere benaderingswijze gebaseerd op de methode van de onbepaalde coëfficiënten.

Op-art

Geplaatst op 13 juli 2019 door admin

De kunstenaars, die zich bezig houden met OP-ART ( geometrische abstracte kunst) gaan dikwijls uit van eenvoudige figuren, die ze door combineren, spiegelen, draaien, verschuiven, enzovoort weten samen te voegen tot een harmonisch geheel van lijnen en vlakken.

Eén van de belangrijkste vertegenwoordigers van de op-art is de Frans-Hongaarse kunstenaar Victor Vasarely (1906-1997). Gewoonlijk werkte hij met sterke contrasten, aanvankelijk in zwart-wit, later ook in kleur. Het effect van zijn lijnen en de manier waarop hij ze gebruikt is dat de indruk ontstaat dat alles in het beeldvlak begint te vibreren.

Kansen op het schaakbord.

Geplaatst op 7 juli 2019 door admin

Kies 2 vakjes op een schaakbord. Wat is de kans dat die twee vakjes 1 punt gemeen hebben?

Het aantal mogelijkheden om 2 vakjes te kiezen op een nxn bord is $n^2 \choose 2$ $=\frac{n^2(n^2-1)}{2}$ .
Elk vakje in de hoek heeft 1 geschikte buur ( groen). Dus zo heb je al 4 mogelijkheden.
De vakjes op de rand, die niet in de hoeken liggen, hebben 2 geschikte buren(blauw). Er zijn 4(n – 2) dergelijke vakjes op de rand, dus heb je 2.4(n-2) gunstige mogelijkheden.
De inwendige vakjes hebben 4 geschikte buren ( geel). Er zijn $(n-2)^2$ dergelijke vakjes, dus $4(n-2)^2$ gunstige mogelijkheden.
In het totaal zijn er $4+8(n-2)+4(n-2)^2=4n^2-8n+4$ gunstige mogelijkheden. Maar die zijn dubbel geteld!
De kans dat er twee vakjes juist 1 punt gemeen hebben is
$\frac{4(n^2-2n+1)}{n^4-n^2}$
Voor een 8×8 bord geeft dit ongeveer 4,8%.

Ongelijkheid van Erdös-Mordell

Geplaatst op 5 juli 2019 door admin

Deze ongelijkheid vertelt ons dat, voor een punt in het inwendige van een driehoek, dat de som van de afstanden tot de hoekpunten niet kleiner is dan het dubbel van de som van de afstanden tot de zijden van de driehoek. Dit werd door Paul Erdös( 1913-1996) als een vermoeden geformuleerd in 1935 en in hetzelfde jaar nog bewezen door de Britse wiskundige Louis Mordell (1888-1972).

$x+y+z \geq 2(a+b+c)$

$b+y\geq h_B$ , dus is $\frac{1}{2}|AC|(b+y)\geq\frac{1}{2}(|AC|b+|BC|a+|AB|c)$ . Hieruit volgt dat $|AC|y\geq |BC|a+|AB|c$ .
Door het inwendig punt te spiegelen rond de bissectrice van C, vinden we dat $|AC|y\geq |BC|c+|AB|a$ .
Analoge redeneringen geeft ook dat $|AB|z\geq |BC|b+|AC|a$ en $|BC|x\geq |AC|c+|AB|b$ .
Oplossen naar x,y en z geeft dit $x\geq \frac{|AC|}{|BC|}c+\frac{|AB|}{|BC|}b$ , $y\geq \frac{|BC|}{|AC|}c+\frac{|AB|}{|AC|}a$ , en $z\geq \frac{|BC|}{|AB|}b+\frac{|AC|}{|AB|}a$ .
Lid per lid optellen van deze ongelijkheden geeft: $x+y+z \geq ( \frac{|AC|}{|BC|}+ \frac{|BC|}{|AC|})c+( \frac{|BC|}{|AB|}+ \frac{|AB|}{|BC|})c+( \frac{|AC|}{|AB|}+ \frac{|AB|}{|AC|})b$ .
Uit de ongelijkheid over het rekenkundig en meetkundig gemiddelde volgt dat de coëfficiënten van a,b en c alle groter of gelijk zijn aan 2, zodat $x+y+x \geq 2(a+b+c)$ .