Priemgaten

Geplaatst op 23 mei 2025 door admin

Het verschil tussen twee opeenvolgende priemgetallen wordt ook wel eens het priemgat genoemd. Wiskundigen hebben altijd geprobeerd om een systeem te vinden in de reeks priemgetallen 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,… Er werd lang gezocht naar de gaten die deze reeks bevat, dus de verschillen tussen twee opeenvolgende priemgetallen. De grootte van het gemiddelde gat groeit als het natuurlijke logaritme van de priemgetallen die het begrenzen.

In 1985 formuleerde een Roemeens wiskundige Dorin Andrica(1956-) een eigenschap over deze gaten. Het is weer te geven als :

Hierbij zijn $p_n$ en $p_{n+1}$ twee opeenvolgende priemgetallen en stelt het linkerlid dus het priemgat voor. Dit resultaat is tot op heden niet bewezen voor alle priemgetallen, maar er is ook nog geen tegenvoorbeeld gevonden.

Het vermoeden van Andrika beperkt de maximale grootte van priemgaten: hoewel priemgaten steeds groter worden naarmate priemgetallen groter worden, suggereert het vermoeden dat ze nooit sneller groeien dan ongeveer $\sqrt{p_n}$ .

Opgave 43

Geplaatst op 17 mei 2025 door admin

Een rij wordt gedefinieerd als : $a_0=0$ en $a_{k+1}=3a_k+1$ . Toon aan dat $a_{155}$ deelbaar is door 11.

Antwoord

We kunnen de eerste termen van de rij uitrekenen en proberen een regelmaat te vinden voor de termen die deelbaar zijn door 11. Dan kunnen we die regelmaat proberen te bewijzen, misschien wel via inductie.
Omdat het principe van deelbaarheid door 11 centraal staat is het misschien nuttiger de rij van de restklassen modulo 11 te berekenen.
Deze rij heeft als termen: 0,1,4,2,7,0,…. De rij moet zich wel herhalen na een eindig aantal stappen omdat er maar 11 mogelijke waarden zijn voor de restklassen. En inderdaad na 5 termen verschijn er terug een 0 en dus zal elke 5de term van de gegeven rij deelbaar zijn door 11. Bijgevolg is $a_{155}$ deelbaar door 11.
We geven een Pythonprogramma als controle, waarbij we zelfs de 155ste term uitgerekend hebben:

De constante van Euler-mascheroni

Geplaatst op 13 mei 2025 door admin

De constante van Euler-Mascheroni, vaak aangeduid als $\gamma$ , is een wiskundige constante die belangrijk is in verschillende takken van de wiskunde, zoals de analyse en de getaltheorie. Deze constante wordt vaak geschreven als $\gamma \approx 0,57721$ en is genoemd naar de Zwitserse wiskundigen Leonhard Euler(1707-1783) en Lorenzo Mascheroni (1750-1800), die onafhankelijk van elkaar belangrijke bijdragen leverden aan de studie ervan.

Wat deze constante zo interessant maakt, is dat deze voorkomt in verschillende contexten, waaronder sommen van reeksen, integraalrekeningen, en zelfs in de analyse van complexe getallen. Ze is gerelateerd aan de Riemann-zetafunctie, de priemgetalstelling en de gammafunctie. Het is ook nauw verbonden met de verdeling van priemgetallen, een gebied van de wiskunde dat wiskundigen al eeuwenlang fascineert.

De definitie van de constante van Euler omvat twee schijnbaar ongerelateerde wiskundige concepten: de harmonische reeks en de natuurlijke logaritmefunctie. Het feit dat deze twee concepten nauw met elkaar verbonden zijn door deze constante is een bewijs van de schoonheid en onderlinge verbondenheid van de wiskunde.

We weten op dit moment nog steeds niet of dit getal uitgedrukt kan worden als een breuk. Een andere interessante eigenschap van de constante van Euler is dat deze transcendentaal is. Dit betekent dat het geen wortel is van een algebraïsche vergelijking met gehele coëfficiënten.

Titus’Lemma

Geplaatst op 6 mei 2025 door admin

Deze ongelijkheid staat bekend als Titus’ lemma. Het is vernoemd naar de Roemeense wiskunde Titu Andreescu die bekend staat om zijn bijdragen aan de wiskundige olympiades en de wiskundige literatuur. Het staat ook bekend als T2 lemma, Engel’s vorm of de ongelijkheid van Sedrakyan.

Titus’ Lemma biedt een krachtige methode om bewijzen te construeren in problemen met ongelijkheden, vooral in contexten waarbij meerdere variabelen en beperkingen betrokken zijn. Het lemma zelf kan op verschillende manieren worden geformuleerd, afhankelijk van de specifieke toepassing, maar de kern ervan draait om het gebruik van de Cauchy-Schwarz ongelijkheid en de methode van “rearrangement” (herordening) van variabelen.

Toepassing 1: als a+b+c = 1 en a, b en c zijn positieve getallen, wat is dan de minimumwaarde van

Volgens het gegeven lemma is $\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{9}{c}\geq \frac{(1+2+3)^2 )}{a+b+c}=36$ . De waarde van 36 kan bereikt worden voor $a=\frac{1}{6},b=\frac{2}{6}$ en $c=\frac{3}{6}$ . De minimum waarde is dus 36.

Toepassing 2:Bewijs:

Door toepassing van het lemma van Titus weten we dat het linkerlid groter dan of gelijk is aan $\frac{(a+b+c)^2}{b+c+c+a+a+b}=\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$ , wat het gewenste resutaat geeft.

Medische statistiek

Geplaatst op 25 april 2025 door admin

Medische statistiek vormt de ruggengraat van modern gezondheidszorgonderzoek en beleid. Het combineert wiskundige methoden met medische gegevens om patronen te ontdekken, behandelingen te evalueren en gezondheidszorgsystemen te verbeteren. Twee pioniers die een cruciale rol speelden in de ontwikkeling van dit vakgebied zijn Florence Nightingale(1820-1910) en Adolphe Quetelet(1796-1874)

Statistiek als discipline begon vorm te krijgen in de 17e en 18e eeuw, maar het was pas in de 19e eeuw dat deze werd toegepast op de geneeskunde. Medische statistiek richt zich op het verzamelen, analyseren en interpreteren van gegevens over gezondheid, ziekte en sterfte. Het stelt onderzoekers in staat om trends te identificeren, zoals de verspreiding van ziekten, en om de effectiviteit van behandelingen te beoordelen. Vandaag de dag speelt medische statistiek een sleutelrol in klinische trials, epidemiologie en gezondheidsbeleid.

Florence Nightingale (1820-1910), vaak herinnerd als de grondlegger van de moderne verpleging, was ook een pionier in medische statistiek. Tijdens de Krimoorlog (1853-1856) werd Nightingale geconfronteerd met erbarmelijke omstandigheden in militaire hospitalen. Ze observeerde hoge sterftecijfers, niet alleen door oorlogswonden, maar vooral door infectieziekten zoals tyfus en cholera, die werden verergerd door slechte hygiëne.

Nightingale gebruikte statistiek om deze problemen systematisch aan te pakken. Ze verzamelde gedetailleerde gegevens over sterftecijfers en ziekenhuisomstandigheden en analyseerde deze om patronen te ontdekken. Haar meest iconische bijdrage was het “roosdiagram” (een vroege vorm van een cirkeldiagram), waarin ze visueel aantoonde dat de meeste sterfgevallen in militaire hospitalen te wijten waren aan vermijdbare oorzaken, zoals slechte sanitaire voorzieningen.

Na de oorlog gebruikte Nightingale haar statistische analyses om hervormingen door te voeren in de Britse gezondheidszorg. Ze pleitte voor betere hygiëne en ziekenhuisbeheer, wat leidde tot een significante daling van sterftecijfers. Nightingale’s werk benadrukte het belang van datagedreven besluitvorming in de geneeskunde en legde de basis voor moderne epidemiologie en gezondheidsstatistiek.

Adolphe Quetelet (1796-1874), een Belgische astronoom, wiskundige en statisticus, leverde een fundamentele bijdrage aan de toepassing van statistiek op menselijke populaties. Quetelet wordt vaak beschouwd als de grondlegger van de sociale statistiek, een discipline die nauw verwant is aan medische statistiek.

Quetelet introduceerde het concept van de “gemiddelde mens” (l’homme moyen), waarbij hij statistische methoden gebruikte om kenmerken zoals lengte, gewicht en gezondheid van bevolkingen te analyseren. Hij verzamelde gegevens over geboorten, sterfgevallen en ziekten en gebruikte deze om patronen in samenlevingen te begrijpen. Zijn werk toonde aan dat veel menselijke eigenschappen een normale verdeling volgen, een concept dat nog steeds centraal staat in de statistiek.

In de context van medische statistiek was Quetelet’s werk revolutionair omdat het de basis legde voor bevolkingsstudies. Hij gebruikte bijvoorbeeld gegevens over sterftecijfers om levensverwachting te berekenen, een belangrijke maatstaf in de volksgezondheid. Zijn methoden maakten het mogelijk om gezondheidsproblemen op populatieniveau te onderzoeken, wat essentieel is voor het begrijpen van epidemieën en het ontwikkelen van preventieve maatregelen.

We gaan nu even verder in op het rooddiagram. Het roosdiagram, ook wel bekend als het “coxcomb diagram” of “polar area diagram,” is een datavisualisatie ontwikkeld door Florence Nightingale in de 19e eeuw. Een roosdiagram is een cirkelvormige grafiek die lijkt op een taartdiagram, maar met enkele belangrijke verschillen:

Gelijke hoeken, variabele lengte: In tegenstelling tot een taartdiagram, waarbij de grootte van een segment wordt bepaald door de hoek, hebben alle segmenten in een roosdiagram dezelfde hoek. De grootte van elk segment wordt bepaald door de lengte van de straal (de “spaken”), die evenredig is met de waarde van de data.
Tijdreeksen: Nightingale gebruikte het diagram om gegevens over tijd te tonen, waarbij elke “spaak” een maand vertegenwoordigde.
Oppervlakte-gebaseerd: De oppervlakte van elk segment is proportioneel aan de waarde, wat het visuele effect versterkt.

Tijdens de Krimoorlog ontdekte Nightingale dat de meeste soldaten in Britse militaire hospitalen stierven aan vermijdbare oorzaken, zoals infectieziekten (bijv. tyfus, cholera) door slechte hygiëne, in plaats van aan oorlogswonden. Om dit probleem aan te kaarten, verzamelde ze gedetailleerde gegevens over sterftecijfers en categoriseerde de doodsoorzaken in drie groepen:

Vermijdbare ziekten (zoals infecties door slechte sanitaire omstandigheden).
Oorlogswonden.
Andere oorzaken.

Haar roosdiagram visualiseerde deze gegevens om te laten zien dat de overgrote meerderheid van de sterfgevallen te wijten was aan vermijdbare ziekten. Door de gegevens visueel te presenteren, kon Nightingale beleidsmakers overtuigen van de noodzaak van hygiënische hervormingen.

Nightingale’s roosdiagram bestond uit twee diagrammen, elk voor een ander tijdsbestek:

April 1854 – maart 1855: Voor de invoering van hygiënische hervormingen.
April 1855 – maart 1856: Na de invoering van verbeteringen, zoals betere ventilatie en schoonmaak.

Elk diagram was verdeeld in 12 gelijke segmenten (één voor elke maand), gerangschikt in een cirkel. De lengte van elk segment vertegenwoordigde het sterftecijfer voor die maand, en de segmenten waren gekleurd om verschillende doodsoorzaken aan te geven:

Blauw: Sterfgevallen door vermijdbare ziekten.
Rood: Sterfgevallen door oorlogswonden.
Zwart: Sterfgevallen door andere oorzaken.

De oppervlakte van elk segment was proportioneel aan het aantal sterfgevallen, waardoor grote verschillen direct opvielen. Het eerste diagram toonde een veel grotere blauwe oppervlakte (vermijdbare ziekten), terwijl het tweede diagram een sterke afname in sterftecijfers liet zien na de hervormingen.

Voorbeeld van een Roosdiagram

Stel, we reconstrueren een vereenvoudigd roosdiagram gebaseerd op Nightingale’s gegevens voor een periode van zes maanden (januari tot juni 1854). De sterftecijfers per maand zijn als volgt (fictieve maar representatieve cijfers):

Maand	Vermijdbare ziekten	Oorlogswonden	Andere oorzaken
Januari	1000	200	50
Februari	1200	180	60
Maart	1500	150	70
April	900	170	55
Mei	700	160	50
Juni	500	140	40

In het roosdiagram zou:

Elke maand een segment van 60° (360° ÷ 6 maanden) beslaan.
De lengte van elk segment wordt berekend op basis van de wortel van het aantal sterfgevallen (omdat de oppervlakte proportioneel is aan de waarde).
De segmenten worden gestapeld, met blauwe gebieden (vermijdbare ziekten) het grootst, gevolgd door rode (oorlogswonden) en zwarte (andere oorzaken).

Het resultaat zou een cirkelvormige grafiek zijn waarin de blauwe gebieden dominant zijn, vooral in maart, en geleidelijk kleiner worden richting juni, wat een daling in sterfte door vermijdbare ziekten suggereert. Het resultaat is een visueel opvallende grafiek waarin grote blauwe segmenten (vermijdbare ziekten) direct de aandacht trekken, vooral in de vroege maanden, en de afname in latere maanden de impact van hervormingen benadrukt.

Dit werd gemaakt in Python: