9801

Geplaatst op 17 oktober 2021 door admin

Mooie decimale schrijfwijze! Kan je dit verklaren?

Nu is $\frac{1}{99}=0,01010101...=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{100}$ . Verder is $\frac{1}{9801}=\Big(\frac{1}{99}\Big)^2$ .

Je kan gemakkelijk narekenen dat

$\Big(\sum_{n=1}^{\infty}x^n\Big)^2=x.\sum_{n=1}^{\infty}nx^n$

Vervangen we nu hierin x door $\frac{1}{99}$ , dan krijgen we de gewenste decimale schrijfwijze. Maar waarom ontbreekt hierin de 98?

In de uitwerking staan de som $\frac{98}{100^{98}}+\frac{99}{100^{99}}\frac{100}{100^{100}}=\frac{1}{100^{100}}(980000+9900+100)=\frac{99}{100^{98}}$ .

Wat gebeurt er met $\frac{1}{998001}$ en $\frac{1}{99980001}$ ?

Nog 2 opgaven over priemgetallen

Geplaatst op 11 oktober 2021 door admin

De som van twee tweelingpriemen, groter dan 3, is deelbaar door 12.

Antwoord	Klik hier
Veronderstel dus dat $p>3$ en dat p en p+2 allebei priem zijn. Hun som is dan $S=2(p+1)$ . Omdat p oneven is , is p+1 even en is S dus zeker al deelbaar door 4. p kan geen drievoud zijn. Het kan evenmin van de vorm $3k+1$ zijn , want anders zou $p+2=3(k+1)$ en dus niet priem zijn. Bijgevolg is p van de vorm $3k-1$ en dan is $S=6k$ . Dus is S deelbaar door 3 en samen met een vorig resultaat is S dus deelbaar door 12.

Antwoord

Klik hier

Veronderstel dat p een priemgetal is en dat allebei de oplossingen van $x^2+px-444p=0$ gehele getallen zijn, zoek dan de mogelijke waarden van p.

Antwoord	Klik hier
De discriminant van de gegeven vergelijking is $p^2+4444p$ . Als de vergelijking gehele oplossingen moet hebben moet dit zeker een volkomen kwadraat zijn , dus is er een gehele q met $q^2=p^2+4444p=p(p+4444)$ . Vermits hierboven p een deler is van het rechterlid en omdat p priem is moet p ook een deler zijn van q en dan kunnen we schrijven dat $q=p.r$ , met r een geheel getal. Ingevuld vinden we zo dat $p(p+4444)=p^2r^2$ of $pr^2=p+4444.$ Hieruit volgt dat p een deler moet zijn van 4444. De mogelijke waarden voor p zijn dan 2, 3 en 37. We kunnen p = 2 of p = 3 in de oorspronkelijke vergelijking en we zien dat er dan geen gehele oplossingen zijn. Wel bij p=37. Er is dus slechts 1 oplossing, namelijk p = 37.

Antwoord

Klik hier

2 opgaven over priemgetallen

Geplaatst op 8 oktober 2021 door admin

Als p,q en r priemgetallen zijn groter dan 3, bewijs dan dat $p^2+q^2+r^2$ geen priemgetal is.

Antwoord	Klik hier
Elk priemgetal x is van de vorm $3k\pm 1$ . Dan is $x^2$ van de vorm $3l+1$ . De som van 3 priemgetallen is dan : $p^2+q^2+r^2=3l+1+3n+1+3m+1=3(l+m+n+1)$ . Dus is $p^2+q^2+r^2$ niet priem.

Als $2^k+1$ een priemgetal is, dan is k een macht van 2. Bewijs.

Antwoord	Klik hier
Stel dat k geen macht van 2 is, dan is $k=n.2^q$ , waarbij n zeker oneven is. Nu is $A= 2^k+1=2^{n.2^q}=\Big(2^{(2^q)}\Big)^n+1$ . Algemeen geldt er dat , bij oneven n, $x^n+1$ steeds deelbaar is door $x+1$ . Bijgevolg is A deelbaar door $2^{(2^q)}+1$ en hebben we een tegenspraak. Dus is k wel een macht van 2.

Ingrid Daubechies

Geplaatst op 1 oktober 2021 door admin

Ingrid Daubechies is een Vlaamse wiskundige, geboren in Houthalen op 17 augustus 1954. Ze is vooral bekend voor haar bijdrage aan de theorie van de wavelets, die gebruikt woede in beeldcompressie. De zogenaamde Daubechies wavelets vormen de basis van het JPEG2000 formaat dat in digitale cinema wordt gebruikt. Zij studeerde en doctoreerde aan de VUB en geeft momenteel les aan de Dure University in North Carolina. In een lovend artikel in de New York Times wordt zij de ‘Meryl Streep van de wiskunde ‘ genoemd (naar hoe een student haar noemde)

Men bestudeert hierbij wiskundige structuren die gezien worden als een soort van golfjes. Daubechies ontdekte dat er diverse soorten van wavelets bestaan. Zij beschreef hiervan de eigenschappen in haar intussen klassiek geworden publicatie: Ten Lectures on Wavelets (1992).

Ze probeert ook haar wiskundige theorie praktisch te gebruiken. We hebben hierboven al gesproken over het JPEG2000 formaat. Maar ook de Amerikaanse inlichtingendienst FBI kon profijt trekken uit haar theorie: dankzij de ‘Daubechies Wavelets’ slaagde men erin om alle beschikbare vingerafdrukken drastisch te comprimeren, waardoor persoonsidentificaties en identiteitscontroles nu veel efficiënter gebeuren.

wavelets

Dat Daubechies sterk betrokken blijft bij de praktijk, blijkt ook uit haar initiatief om sedert 2010 via de VUB jaarlijks de wedstrijd ‘Wiskunnend Wiske’ te organiseren. Op die manier kruisen ieder jaar in Vlaanderen zowat 2.000 scholieren, vooral meisjes, de degens bij het zoeken naar oplossingen voor intrigerende wiskundige opdrachten.

Archimedische lichamen

Geplaatst op 25 september 2021 door admin

De Platonische lichamen die we zagen zijn regelmatig. Dat wil zeggen dat al hun zijvlakken identiek zijn. De Archimedische lichamen, vernoemd naar Archimedes, zijn half regelmatig, omdat ze twee of meer soorten vlakken hebben.

Alhoewel de Archimedische lichamen verschillende vlakken hebben, zijn hun hoekpunten regelmatig: ze zijn allemaal hetzelfde. Deze vormen zien er vreemder uit en zijn minder bekend, maar als we kijken naar het aantal vlakken, ribben en hoekpunten, zien we de formule terug die we ook bij de Platonische lichamen zagen : V + H – R = 2

Zeven van de Archimedische lichamen zijn gevormd door het afknotten van de platonische lichamen., met andere woorden door de hoeken er af te snijden :

Afgeknotte tetraëder
Afgeknotte kubus
Afgeknotte octaëder
Afgeknotte dodecaëder
Afgeknotte icosaëder
Afgeknotte kuboctaëder
Afgeknotte icosidodecaëder

Drie andere van de Archimedische lichamen zijn gevormd door het uitbreiden van de platonische lichamen.

Icosidodecaëder
Romboëdrische icosidodecaëder
Kuboctaëder

De twee laatste Archimedische lichamen zijn gevormd door de vlakken van een kubus en een dodecaëder naar buiten te bewegen, zodat elk vlak een draai krijgt. Bij de stompe Archimedische lichamen wordt elke veelhoek omringd door gelijkzijdige driehoeken.

Stompe kubus
Stompe dodecaëder