Het dilemma van de gevangenen

Geplaatst op 22 april 2026 door admin

Elke dag nemen mensen beslissingen waarvan de uitkomst niet alleen afhangt van wat zij zelf doen, maar ook van wat anderen kiezen. Denk aan prijsafspraken tussen bedrijven, samenwerking in de politiek, doping in de sport, milieumaatregelen tussen landen, of zelfs eenvoudige situaties in het dagelijks leven. Een van de bekendste modellen om zo’n situatie te begrijpen is het dilemma van de gevangenen.

Dit gedachte-experiment is een klassieker uit de speltheorie, een tak van de wiskunde die keuzes en strategieën bestudeert. Het is tegelijk eenvoudig én verrassend diepzinnig: twee mensen die allebei rationeel handelen, kunnen samen slechter af zijn dan wanneer ze hadden samengewerkt.

Het verhaal

Stel dat twee verdachten worden opgepakt voor een misdrijf. De politie heeft niet genoeg bewijs om hen zwaar te veroordelen, tenzij minstens één van beiden bekent. Daarom worden de twee gevangenen apart ondervraagd. Ze kunnen niet met elkaar praten.

Iedere gevangene heeft twee mogelijkheden:

zwijgen en dus de ander niet verraden;
bekennen en dus de ander verraden.

De politie doet ieder van hen hetzelfde voorstel:

als beiden zwijgen, krijgen ze allebei een lichte straf;
als één bekent en de ander zwijgt, dan gaat de verklikker vrijuit en krijgt de zwijger een zware straf;
als beiden bekennen, krijgen ze allebei een middelzware straf.

Een mogelijke strafverdeling is deze:

beiden zwijgen: elk 1 jaar
beiden bekennen: elk 5 jaar
jij bekent, de ander zwijgt: jij 0 jaar, de ander 10 jaar
jij zwijgt, de ander bekent: jij 10 jaar, de ander 0 jaar

De kern van het probleem

Laten we ons verplaatsen in één van de twee gevangenen.

Hij redeneert als volgt:

Als de ander zwijgt, dan is bekennen beter:
ik krijg dan 0 jaar in plaats van 1 jaar.
Als de ander bekent, dan is bekennen óók beter:
ik krijg dan 5 jaar in plaats van 10 jaar.

Dus wat de ander ook doet, bekennen lijkt de beste keuze.

Maar precies hetzelfde denkt de andere gevangene.

Daarom zullen beide gevangenen rationeel besluiten om te bekennen. Het resultaat is dan dat ze elk 5 jaar krijgen.

En toch zouden ze allebei beter af zijn geweest als ze allebei gezwegen hadden: dan kregen ze elk slechts 1 jaar.

Daar zit het echte dilemma:
individueel rationeel gedrag leidt tot een collectief slechter resultaat.

De uitbetalingstabel

In de speltheorie vat men zo’n situatie vaak samen in een tabel. In plaats van “jaren gevangenisstraf” gebruikt men meestal punten of opbrengsten, waarbij een groter getal beter is.

Een mogelijke tabel is:

	Gevangene B zwijgt	Gevangene B bekent
Gevangene A zwijgt	(3, 3)	(0, 5)
Gevangene A bekent	(5, 0)	(1, 1)

Hierbij betekent bijvoorbeeld (3,3) dat beide spelers een redelijke uitkomst krijgen, terwijl (1,1) slechter is voor allebei.

De volgorde van voorkeuren is dan:

het beste: zelf bekennen terwijl de ander zwijgt;
daarna: allebei zwijgen;
daarna: allebei bekennen;
het slechtste: zelf zwijgen terwijl de ander bekent.

Wat zegt de wiskunde?

Het dilemma van de gevangenen is een voorbeeld van een spel met een dominante strategie.

Een strategie heet dominant wanneer ze altijd beter is, ongeacht wat de ander doet. In dit spel is bekennen voor beide spelers dominant.

Daarom eindigt het spel in de situatie:

(bekennen, bekennen)

Die uitkomst noemt men een Nash-evenwicht: geen van beide spelers kan zijn situatie verbeteren door alleen zelf van keuze te veranderen, zolang de ander zijn keuze behoudt.

Dat klinkt stabiel, maar het is niet noodzakelijk de beste gezamenlijke uitkomst. En precies dat maakt het dilemma zo boeiend.

Waarom is dit belangrijk?

Het dilemma van de gevangenen is veel meer dan een abstract raadsel. Het model duikt op in talloze echte situaties.

Concurrentie tussen bedrijven

Twee bedrijven kunnen allebei hun prijs hoog houden, en dan maken ze allebei winst. Maar elk bedrijf heeft de verleiding om iets goedkoper te worden en zo klanten af te snoepen. Als beide bedrijven dat doen, dalen de prijzen voor iedereen en blijft er minder winst over.

Wapenwedloop

Twee landen zouden veiliger en goedkoper af zijn als ze allebei minder bewapenen. Maar elk land vreest dat de ander zich niet aan de afspraak houdt. Daarom bewapenen beide landen zich toch, met hoge kosten en meer wantrouwen als gevolg.

Klimaat en milieu

Landen zouden samen beter af zijn als ze allemaal hun uitstoot verminderen. Toch bestaat voor elk land de verleiding om zelf minder inspanning te leveren en te profiteren van de inspanningen van anderen. Het gevolg is dat er te weinig gebeurt.

Doping in de sport

Zonder doping zouden alle atleten op een eerlijker en gezonder niveau kunnen concurreren. Maar elke individuele sporter heeft de prikkel om toch doping te gebruiken, uit angst anders achterop te raken.

De paradox van rationeel gedrag

Wat dit probleem zo fascinerend maakt, is dat er geen domme keuzes gemaakt worden. Integendeel: beide spelers redeneren logisch.

En toch leidt die logica tot een slecht resultaat.

Dat laat zien dat rationaliteit op individueel niveau niet automatisch leidt tot rationaliteit op collectief niveau. Wiskundig gezien kan een systeem dus perfect consistent zijn, en toch ongewenste uitkomsten voortbrengen.

Wat verandert er als het spel herhaald wordt?

In het klassieke dilemma spelen de gevangenen maar één keer. Dan is bekennen de logische keuze.

Maar veel situaties in het echte leven keren terug. Mensen, bedrijven of landen ontmoeten elkaar opnieuw. Dan ontstaat een ander beeld.

In een herhaald dilemma van de gevangenen kan samenwerking wél zinvol worden. Waarom? Omdat je rekening houdt met toekomstige reacties.

Wie vandaag de ander verraadt, kan morgen het vertrouwen verliezen. Wie samenwerkt, kan op langere termijn beloond worden. Daardoor ontstaan strategieën zoals:

vriendelijk beginnen;
samenwerken zolang de ander samenwerkt;
terugslaan wanneer de ander je verraadt.

Een beroemde strategie is tit for tat: begin met samenwerken, en doe daarna gewoon wat de ander in de vorige ronde deed. Deze eenvoudige aanpak bleek in veel experimenten opvallend sterk.

Een les voor het dagelijks leven

Het dilemma van de gevangenen leert ons iets fundamenteels over samenleven:

vertrouwen is waardevol;
samenwerking is kwetsbaar;
eigenbelang kan samenwerking ondermijnen;
goede regels en afspraken kunnen helpen om betere uitkomsten te bereiken.

Dat is meteen ook de reden waarom samenlevingen wetten, controles, reputatiesystemen en wederzijdse afspraken ontwikkelen. Zulke mechanismen verminderen de verleiding om enkel aan zichzelf te denken.

Besluit

Het dilemma van de gevangenen is een prachtig voorbeeld van hoe wiskunde een menselijk probleem zichtbaar maakt. Het toont dat de beste keuze voor één individu niet altijd leidt tot het beste resultaat voor iedereen samen.

Daarom is speltheorie niet alleen nuttig in de wiskunde, maar ook in economie, politiek, biologie en sociale wetenschappen. Het helpt ons begrijpen waarom samenwerking soms moeilijk is — en waarom ze toch zo belangrijk blijft.

Misschien is dat wel de mooiste les van dit beroemde dilemma:
samenwerking is niet vanzelfsprekend, maar zonder samenwerking wordt de wereld vaak slechter voor iedereen.

Gerd Faltings

Geplaatst op 13 april 2026 door admin

Op 19 maart 2026 maakte de Noorse Academie voor Wetenschappen en Letteren bekend dat de Abelprijs 2026 gaat naar Gerd Faltings, verbonden aan het Max Planck Institute for Mathematics in Bonn. De prijs werd hem toegekend voor zijn diepgaande bijdragen aan de rekenkundige meetkunde en in het bijzonder voor het oplossen van lang openstaande diofantische vermoedens van Mordell en Lang.

Voor veel mensen klinkt dat abstract. Toch raakt Faltings’ werk aan een van de oudste vragen uit de wiskunde: hoeveel rationale oplossingen kan een vergelijking hebben? Met “rationaal” bedoelen we hier getallen die als breuk van twee gehele getallen kunnen worden geschreven. Sommige vergelijkingen hebben oneindig veel zulke oplossingen, andere geen enkele, en weer andere slechts eindig veel. Het grote inzicht van Faltings was dat er een diepe meetkundige reden achter dat verschil schuilt.

Een klassiek voorbeeld is de vergelijking van Pythagoras:

$x^2+y^2=z^2$

Die heeft oneindig veel gehele oplossingen, zoals $3^2+4^2=5^2$ en $5^2+12^2=13^2$ . Zulke voorbeelden tonen dat diofantische vergelijkingen helemaal niet automatisch “zeldzaam” zijn in hun oplossingen. Sommige families leveren juist eindeloos veel oplossingen op.

Maar in de twintigste eeuw begon men te begrijpen dat het gedrag van zulke vergelijkingen sterk samenhangt met de meetkundige vorm van de kromme die erbij hoort. Daarbij speelt het begrip genus een hoofdrol. Heel ruw gezegd meet het genus de complexiteit van een kromme; topologisch kun je het zien als het aantal “gaten” van het bijbehorende oppervlak. Krommen van genus en gedragen zich vaak nog vrij soepel, maar vanaf genus $2$ verandert het beeld drastisch.

In 1922 formuleerde Louis Mordell een beroemde stelling en tegelijk een nog moeilijker vermoeden. Voor elliptische krommen, dat zijn krommen van genus $1$ , bewees hij dat de rationale punten een eindig voortgebrachte abelse groep vormen. Maar voor krommen van genus groter dan $1$ vermoedde hij iets nog sterker: daar zouden er slechts eindig veel rationale punten bestaan. Dat vermoeden bleef meer dan zestig jaar onopgelost.

Precies daar brak Gerd Faltings in 1983 door. Hij bewees het vermoeden van Mordell, dat sindsdien bekendstaat als de stelling van Faltings. In moderne bewoordingen zegt die stelling dat een algebraïsche kromme van genus ten minste $2$ , gedefinieerd over de rationale getallen, slechts een eindig aantal rationale punten heeft. Dat is een verbluffend resultaat: het zegt niet noodzakelijk welke oplossingen er zijn, maar wel dat het er nooit oneindig veel kunnen zijn.

Het belang daarvan is moeilijk te overschatten. Faltings bewees niet zomaar één geïsoleerde stelling, maar veranderde de manier waarop getaltheorie en meetkunde met elkaar verbonden werden. Zijn aanpak liep niet via de klassieke diofantische benaderingen alleen, maar via nieuwe methoden in de rekenkundige meetkunde, onder meer via ideeën rond hoogten en finietheidsresultaten voor families van krommen. Zijn bewijs verraste de experts en werd meteen gezien als een historische doorbraak.

Een mooie les voor leerlingen en liefhebbers van wiskunde is dat vergelijkingen niet alleen algebra zijn, maar ook meetkunde. Een vergelijking kun je beschouwen als een kromme, en de vorm van die kromme bepaalt mee hoeveel rationale oplossingen mogelijk zijn. Dat is precies de kracht van de rekenkundige meetkunde: ze laat zien dat vragen over breuken en gehele getallen soms pas oplosbaar worden wanneer je ze meetkundig bekijkt.

De Abelprijs 2026 bekroont die visie. Volgens de officiële motivatie kreeg Faltings de prijs voor het invoeren van krachtige methoden in de rekenkundige meetkunde en voor het oplossen van lang openstaande diofantische vermoedens van Mordell en Lang. De Abelprijs bestaat sinds 2003 en bedraagt in 2026 7,5 miljoen Noorse kronen. Faltings kreeg eerder al de Fieldsmedaille in 1986, kort na zijn spectaculaire doorbraak.

Het aantal rationale oplossingen van de vergelijking $x^2+y^2=1$ correspondeert met het aantal punten met rationale coördinaten op :

Of , wat lastiger, de vergelijking $y^2=x^3-x+1$ .

Nootje 73

Geplaatst op 11 april 2026 door admin

Antwoord

Als de macht van het punt rechtsonderaan berekent ten opzichte van de gegeven cirkel dan is $a^2=16.(16+9)$ .
Hieruit volgt dat $a=20$ .
bereken nu ten opzichte van dezelfde cirkel de macht van het punt linksboven, dan is $b^2=4.(4+9)$ .
Bijgevolg is $b=2\sqrt{13}$ .
Nu is $x=a+b=20+2\sqrt{13}$

taartdiagram in Python

Geplaatst op 4 april 2026 door admin

Nootje 72

Geplaatst op 28 maart 2026 door admin

Voor welke gehele waarde van k heeft de veelterm $P(x)=x^3-87x^2+181x+k$ drie gehele nulwaarden?