Roosterpunten op een hyperbool

Beschouw de vergelijking

    \[3x^2-4xy+5=0\]

Bij de vraag  naar oplossingen (x,y) van deze vergelijking is het nodig te specifiëren tot welke verzameling deze oplossingen moeten behoren. De grafiek, volgens Wolfram Alpha, is:

  • Elke reële oplossing bepaalt een punt van deze parabool.
  • De rationale oplossingen zijn

        \[\{(q,\frac{3q^2+5}{4q}: q\in \mathbb{Q}\}\]

    De hyperbool bevat dus ook oneindig veel punten met rationale coördinaten.
  • Zijn hier gehele oplossingen bij en zo ja dewelke? Als we op zoek zijn naar gehele oplossingen en als de vergelijking ook enkel gehele coëfficiënten heeft, spreken we van een Diophantische vergelijking. 
    Omdat

        \[3x^2-4xy+5=0\leftrightarrow x(3x-4y)=-5\]

    moeten, als x en y geheel zijn, zowel x als 3x-4y gehele delers zijn van -5. Dit aantal is eindig.
    Dit geeft 4 oplossingen met gehele getallen of met andere woorden 4 roosterpunten op de hyperbool: (1,2),(-1,-2),(5,4) en (-5,-4)

De stelling van Casey

Volgende stelling komt van de hand van de Ierse wiskundige Casey   (1820-1891)

Gegeven is een cirkel, met middelpunt O en 4 niet snijdende cirkels, met middelpunten A,B,C en D) binnen die cirkel die in volgorde raken aan de grote cirkel. Noteer met aub,c,d,x en y hun gemeenschappelijke uitwendige raaklijnen. dan geldt:

    \[ac+bd=xy\]

Als we de 4 binnenste cirkels laten ‘ontaarden’ in 4 punten, krijgen we de stelling van Ptolemaeus. Andere varianten bestaan er in slechts enkele cirkels te laten krimpen tot punten. Het omgekeerde resultaat is eveneens geldig.

De stelling klopt trouwens ook als de 4 kleine cirkels aan de buitenkant liggen van de gegeven cirkel.

Dit artikel is het 500ste op deze website. Bedankt aan alle lezers.