Bewijzen met verhaaltjes

Geplaatst op 15 maart 2025 door admin

Deze bewijstechniek bestaat er in ‘een verhaaltje te vertellen.

Stel ik wil volgende formule “bewijzen”: voor $n\geq p\geq 2$

$p(p-1)\binom{n}{p}=n(n-1)\binom{n-2}{p-2}$

Je zou natuurlijk, gebruikmakend van de definitie van de binomiaalgetallen, beide leden kunnen uitrekenen, en vaststellen dat beide resultaten hetzelfde zijn. Maar proberen we dit eens anders in te kleden. Je hebt binnen een politieke partij n kaderleden, waaruit je een dagelijks bestuur van p personen moet kiezen, met hierin een voorzitter en een ondervoorzitter. Dit kan je doen op twee manieren :

Kies eerst p personen. Dit kan op $\binom{n}{p}$ . Kies hier uit een voorzitter: p mogelijkheden. Kies dan een ondervoorzitter: p – 1 mogelijkheden. Samen geeft dit dus, als aantal mogelijkheden:
$p(p-1)\binom{n}{p}$
Maar je kan eerst een voorzitter kiezen uit de n kaderleden. Dit kan je op n mogelijkheden. Kies vervolgens een ondervoorzitter: n – 1 mogelijkheden. Kies tenslotte nog p-2 ander personen om je dagelijks bestuur te vervolledigen. dit kan op $\binom{n-2}{p-2}$ manieren. Zo krijg je in het totaal als mogelijkheden:
$n(n-1)\binom{n-2}{p-2}$

Hiermee is de gevraagde formule bewezen!

Gulden snede meets Fibonacci

Geplaatst op 10 maart 2025 door admin

De gulden snede wordt gegeven door

$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

en voldoet aan de betrekking:

$\varphi^2=\varphi+1$

We kunnen hogere machten ook uitrekenen:

$\varphi^3=2\varphi+1$

$\varphi^4=3\varphi+2$

Algemeen kunnen we stellen dat:

$\varphi^n=F_n\varphi+F_{n-1}$

Hierbij is $F_n$ het n-de Fibonacci getal, met $F_0=0$ en $F_1=1$ en voor $n\geq 2: F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ , dus de rij $0,1,1,2,3,5,8,\cdots$

Volgens vorige formule is dit $\varphi^{12}=F_{12}\varphi+F_{11}$ .

Uitgewerkt geeft dit: $144\varphi+89=161+72\sqrt{5}$ .

Opgepast : in

Natuurlijke delers van een geheel getal

Geplaatst op 6 maart 2025 door admin

Schrijf een Python programma dat alle natuurlijke delers van een gegeven geheel getal berekent.

We definiëren eerst een functie die onderzoekt welke getallen een deler zijn en dan die getallen opslaat in een lijst.

Nootje 54

Geplaatst op 4 maart 2025 door admin

Bereken de oppervlakte van volgende vierhoek:

Antwoord

We vervolledigen deze vierhoek tot een driehoek.
De tophoek is $30^\circ$ en via de definitie van sinus en tangens kan je de zijden berekenen in de bovenste kleine driehoek: 2 en $\sqrt{3}$ .
In de grote driehoek kan je via de definitie van tangens de basis AD berekenen: $\frac{4}{\sqrt{3}}$ .
De oppervlakte van de vierhoek ABCD is het verschil van de oppervlaktes van de grote en de kleine driehoek : $\frac{8}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{13\sqrt{3}}{6}$

Laatste reeks haiku’s uit Diest

Geplaatst op 28 februari 2025 door admin

Sara Yassi uit 4BIOWE A , de Prins Diest

Cirkels en lijnen

pi fluistert een geheim door

oneindig exact

Jelle Dehaes uit 4BIOWE A , de Prins Diest

Wiskunde kunst leeft

in grafieken en getal

het eeuwige stel

Yaro Nickmans uit 4BIOWE A , de Prins Diest

X en Y in strijd

zoek de waarde die hen bindt

oneindig verschijnt

Ayoub Ezegragui uit 4BIOWE A , de Prins Diest

Cijfers dansen vrij

logica vormt een patroon

oneindig getal

Paco Vandebosch uit 4BIOWE A , de Prins Diest

Sommen en lijnen

oneindig veel vragen, maar

toch klopt alles wel

Zander Peeters uit 4BIOWE A , de Prins Diest

Breuken zijn maar stom

ik snap niks van die haakjes

toch haal ik een tien

Judith Camps uit 4BIOWE A , de Prins Diest

Pi is oneindig

een parabool is bochtig

wiskunde spiraal

Oskar Philipsen uit 4Nawe B , de Prins Diest

Oneindig cirkelt

getallen dansen zwijgend

nul kust het begin

Robbe Delbaere uit 4Nawe B , de Prins Diest

Niet p of niet q

en wordt of en of wordt en

De Morgan’s eenvoud

Ibrahim Kelo uit 3 Ecwe, de Prins Diest

Hoek, lijn, recht en scherp

wiskunde maakt het logisch

driehoek valt precies