4. Wiskunde in het oude China

Geplaatst op door

Rond 1500 voor Christus  raakten de eerste cijfers in gebruik. De chinezen hadden karakters voor 1,2,3,… alsmede voor 10,100,1000,… Voor de nul gebruikten ze een spatie. Optellen en aftrekken gebeurde met telstokjes, gemaakt van bamboe. Voor vermenigvuldigen gebruikten ze tabellen  tot 9 maal 9.

Rond 200 voor Christus werden nagenoeg alle bestaande boeken verbrand, zodat we over de wiskunde van voor die tijd geen documenten hadden. Bij opgravingen rond 1900 werden toch wat documenten gevonden die samengesteld werden na de boekverbranding en die kunnen beschouwd worden als compilaties van de wiskundige kennis uit het verleden. De twee belangrijkste zijn :

  • Zhou Bi Suan-Jing ( de wiskundige klassieker van de gnomon en het cirkelvormig hemelpad): het behandelt ruim 250 astronomische en wiskundige problemen onder de vorm van gesprekken tussen een Chinese edelman en zijn astroloog. Het bevat één van de vroegste bewijzen van de stelling van Pythagoras.
  • Jiuzhang Suansu ( de negen afdelingen van mathematische kunst) :hier werden voor het eerst zowel positieve als negatieve getallen gebruikt. Er werd ook veel aandacht besteed aan magische vierkanten. De behandelde problemen zijn van praktische aard en men stelt zich meestal tevreden met het beschrijven van procedures, waarbij deductieve bewijzen ontbreken.

Euclidische getallen

Geplaatst op door

Een Euclidisch getal van de eerste soort is een getal van de vorm E_n=p_1.p_2.\cdots.p_n+1, waarbij p_1,...,p_n de eerste n priemgetallen voorstellen. De getallen danken hun naam aan de Griekse wiskundige Euclides, die ze gebruikte in zijn bewijs dat er oneindig veel priemgetallen zijn. Stel dat er maar een eindig aantal priemgetallen zou zijn , zeg n. Noteer die dan door p_1,p_2,...,p_n. Neem dan het getal x=p_1.p_2.....p_n+1. Het getal x geeft bij deling door alle priemgetallen p_i als rest 1. Bijgevolg is x zelf ook een priemgetal, dat groter is dan alle gegeven priemgetallen. Dit is onmogelijk, dus moeten er oneindig veel priemgetallen zijn.

Zo is E_1=2+1=3, E_2=2.3+1=7, E_3=2.3.5+1=31. Dan komen 211,2311, 30031,…

  • Niet alle Euclidische getallen zijn priem. Het eerste niet-priemgetal is   2.3.5.7.11.13 = 30031 = 59 × 509 . Een open vraag is of er oneindig veel Euclidische getallen zijn die priem zijn.
  • Elk Euclidisch getal laat bij deling door 4 een rest gelijk aan 4 na. Dit komt omdat p_1.p_2.....p_n, juist 1 factor 2 bevat.
  • Bijgevolg kan een Euclidisch getal nooit een kwadraat zijn.
  • Voor n \geq 3 is het cijfer der eenheden van E_n altijd een 1.

Een Euclidisch getal van de tweede soort is een getal van de vorm E_n=p_1.p_2.\cdots.p_n-1, waarbij p_1,...,p_n de eerste n priemgetallen voorstellen. De eerste euclidische getallen van de tweede soort zijn  1, 5, 29, 209, 2309, 30029, 510509, 9699689,… Ook hier weten we eigenlijk niet of er oneindig veel Euclidische getallen zijn die priem zijn. In ieder geval het eerste niet priemgetal in de rij is 209 = 11 x 19.

Harmonische vierstraal

Geplaatst op door

We weten dat de binnen- en buiten bissectrice van de hoek O in driehoek OAB  de overstaande zijde verdeelt in een harmonisch puntenviertal ABPQ. Als we een andere snijlijn nemen met de 4 rechten die uit O vertrekken en hun snijpunten noteren met A’,B’,P’ en Q’, dan is ook dit een harmonisch puntenviertal, omdat ook in de driehoek OA’B’ de bissectrice stelling geldt. We noemen de vier rechten uit C een harmonische vierstraal.

Maar we hebben de bissectrices niet nodig. We kunnen algemeen een harmonische vierstraal definieren als een geordend viertal concurrente rechten waarbij de snijpunten met een willekeurige transversaal een harmonisch puntenviertal opleveren.

Dit is een goede definitie want stel dat in bovenstaande tekening (ABPQ)=-1, dan zal , voor de willekeurige snijlijn l’, ook (A'B'P'Q')=-1. Construeer door P en P’ rechten evenwijdig met OQ. Uit de gelijkvormigheid van driehoeken APR en AQO volgt dat \frac{|PR|}{|QO|}=\frac{|PA|}{|QA|}. Uit de gelijkvormigheid van driehoeken PBS en QBO volgt dat \frac{|PS|}{|QO|}=\frac{|PB|}{|QB|}. Uit het harmonisch zijn volgt dat de rechterleden in deze betrekkingen tegengesteld zijn, dus moet ook |PR|=-|PS|. Maar dan is ook |P'R'|=-|P'S'|. Uit de gelijkvormigheid van driehoeken A’P’R’ en A’Q’O enerzijds en driehoeken P’B’S’ en Q’B’O anderzijds volgt dan dat (A'B'P'Q')=-1.

Harmonisch puntenviertal

Geplaatst op door

Neem nu even de bissectrice stelling:  de bissectrice van een hoek van een driehoek verdeelt de overstaande zijde  in stukken die zich verhouden als de aanliggende zijden. Dit geldt zowel voor de binnen bissectrice als de buiten bissectrice.

Dus : \frac{|DC|}{|DB|}=\frac{b}{c}=\frac{|D'C|}{|D'B|}. Als we de lijnstukken een richting geven en tegengesteld gerichte lijnstukken van een tegengesteld teken voorzien, kunnen we hieruit besluiten dat :

    \[\frac{|DC|}{|DB|}=-\frac{|D'C|}{|D'B|}\]

Een viertal punten, dat op een rechte ligt net zoals B,C,D en D’ noemen we een harmonisch puntenviertal. Andere formuleringen: 

  • De punten D en D’ liggen harmonisch ten opzichte van de punten B en C.
  • Het punt D’ is harmonisch toegevoegd aan het punt D ten opzichte van de punten B en C.
  • De dubbelverhouding van 4 punten, genoteerd als (BCDD') wordt gedefinieerd als \frac{|DC|}{|DB|}.\frac{|D'B|}{|D'C|}. Bij een harmonisch puntenviertal is de dubbelverhouding gelijk aan -1, dus

        \[(BCDD')=-1\]

We hebben dus net bewezen dat de binnen- en buiten bissectrice uit een hoekpunt van een driehoek  de overstaande zijlijn snijden in punten die harmonisch toegevoegd zijn ten opzichte van de hoekpunten op die zijlijn.

Als er drie punten op een rechte gegeven zijn, dan kan men een vierde punt construeren zodat ze een harmonisch puntenviertal vormen:

  • Gegeven A,B en C.
  • Teken door A en B willekeurig  twee evenwijdige rechten.
  • Teken door C een rechte die de vorige twee rechten snijdt in T en P.
  • Verleng PB toto in Q zodat |PB|=|BQ|.
  • Teken TQ en het snijpunt D met AB.
  • Dan is (ABCD)=-1.

Dit volgt uit de gelijkvormigheid van driehoek BDQ met driehoek DAT en de gelijkvormigheid van driehoek BCP en driehoek ACT.