Lhuilier

Geplaatst op door

De studie van veelvlakken kan teruggevoerd worden naar de piramiden van het Oude Egypte. Maar het waren voornamelijk de Grieken die geïnteresseerd waren in de wiskundige eigenschappen van regelmatige veelvlakken. Zij ontdekten  de 5 platonische lichamen, waarvan een volledige beschrijving werd gegeven door Theiatetos ( 400 BC).

In 1750 formuleerde Euler(1707-1783) een formule die een verband legt tussen het aantal zijvlakken, het aantal hoekpunten  en het aantal ribben van een veelvlak: Z – R + H = 2. We zeggen dat deze veelvlakken Eulerkarakteristiek 2 hebben.

Maar Euler zag één punt over het hoofd, namelijk de kwestie van convexiteit. De veelvlakken die Euler en de Grieken bestudeerden, waren allemaal convex zonder dat dit expliciet werd verondersteld. In 1619 beschreef Kepler een regelmatig niet-convex veelvlak, namelijk de stella octangula. 

De kwestie van de convexiteit heeft dan ook geleid tot uitzonderingen op de formule van Euler. In 1811 vond Lhuilier( 1750-1840), een Zwitserse wiskundige, 3 soorten veelvlakken waarvoor de formule niet meer klopte. Deze soorten veelvlakken waren echter convex. 

Het was uiteindelijk Poincaré die de formule van Euler veralgemeende tot : Z – R + H = 2 – 2g, waar bij g het aantal gaten in het veelvlak is.

Nicolai Lobatschevsky

Geplaatst op door

Wanneer Euclides 23 eeuwen geleden zijn meetkunde in systematische gedaante bracht, had hij zich nooit kunnen inbeelden hoeveel invloed deze later zou hebben. De Euclidische meetkunde is uitermate geschikt om de wereld rondom ons te beschrijven. In de wetenschap voor 1800 heeft men altijd gedacht dat de Euclidische meetkunde het enige meetkundig systeem was.

Onder de axioma’s die Euclides aan de basis van zijn systeem legde, was er één, met name het parallellenpostulaat, dat al vlug in vraag werd gesteld. Men achtte dit axioma van een andere aard als de overige vier en men twijfelde zelfs aan de noodzakelijkheid ervan, omdat het afhankelijk van of een gevolg van de andere axioma’s zou zijn. Gedurende meer dan 2000 jaar hebben beroemde wiskundigen getracht het parallellenpostulaat te bewijzen.

Vanaf de tweede helft van de achttiende eeuw begon men te denken dat men het parallellenpostulaat of elk equivalent postulaat, moest toelaten zonder bewijs. Uiteindelijk leidde dit tot de ontdekking van nieuwe meetkundige systemen. De eersten die hiertoe in staat zijn geweest waren Gauss, Bolyai en Nicolai Ivanovitch Lobatschevsky ( 1792-1856).

Op 23 februari 1826 geeft Lobatschevsky, voor de faculteit wiskunde en natuurkunde van de universiteit van Kazan, een lezing onder de naam Imaginaire meetkunde . Hier zet hij zijn nieuwe ideeën duidelijk naar voor. De essentie van het ongepubliceerde artikel wordt later toegevoegd aan zijn werk De elementen van de meetkunde . Lobatschevsky ondervindt zware tegenwerking en kritiek. Hij herziet zijn werk in een nieuw boek De nieuwe  elementen van de meetkunde. In 1840 verschijnt nog een werk van hem over zijn bedenkingen, namelijk 

In deze boeken vindt men een nieuwe meetkunde: de hyperbolische meetkunde. Als men het parallellepostulaat ( door elk punt P gaat er juist 1 rechte die een gegeven rechte a niet snijdt)  niet opneemt, dan onderscheidt men twee typen niet-euclidische meetkunde: de hyperbolische meetkunde waar en oneindig veel rechten bestaan door P die a niet snijden en de elliptische meetkunde waar er geen rechte bestaat met die eigenschap.

Om deze meetkunde te visualiseren kan men gebruik maken van het model van Beltrami-Klein of van de modellen van Poincaré.

Som van machten van de wortels

Geplaatst op door

Neem een veelterm P(x) van graad n. De elementaire symmetrische functies van de wortels x_i van deze veelterm worden gedefinieerd als :

e_1=x_1+x_2+...+x_n

e_2=x_1x_2+x_1x_3+..., dus de som van alle produkten van twee wortels. Analoog is e_3 de som van alle producten van drie wortels. We kunnen de veelterm dan  schrijven als  

    \[x^n-e_1x^{n-1}+e_2x^{n-2}-...+(-1)^ne_n\]

De identiteiten van Newton geven een verband tussen deze e_i en de uitdrukkingen p_k=x_1^k+x_2^k+...+x_n^k

Neem bijvoorbeeld P(x)=x^4-3x^3-3x+2:

Dan is e_1=3,e_2=0,e_3=3 en e_4=2. Bijgevolg is :

x_1+x_2+x_3+x_4=3

x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=3^2-2*0=9

x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3=3^3-3*0+3*3=36

x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4=3^4-4*3^2*0+4*3*3+2*0^2-4*2=109

René Descartes

Geplaatst op door

Descartes werd geboren in 1596 in La Haye,Frankrijk. In 1802 veranderde La Haye zijn naam in La Haye-Descartes en in 1976 verdween het La Haye gedeelte en zo is er dus een stad in Frankrijk met als naam Descartes.

In 1616 behaalde Descartes een graad in de rechten aan de universiteit van Poitiers. Vlak daarna ging hij het leger in. In 1621 verliet Descartes het leger en reisde vanaf dan, tot in 1628 door heel Europa. Hij eindigde in Nederland  waar hij al vroeger geweest was en waar hij een jarenlange vriendschap onderhield met de Nederlandse filosoof en wetenschapper Beeckman.

In Nederland schreef Descartes de werken die hem beroemd zouden maken bij zowel wiskundigen als filosofen. Hij begon met het werk Le monde dat hij uiteindelijk niet publiceerde. Waarom? Hij had juist vernomen dat Galileo huisarrest had gekregen omdat  hij de visie van de kerk op het universum weersprak. Descartes’ volgende werk was Over de methode.Centraal in dit werk stonden zijn gedachten over wat waar is. Het belangrijkste citaat hierin was:  je pense don je suis. Het werk heeft drie aanhangsels: La dioptrique (over optica), Les météores (over meteorologie) en La Géometrie (over meetkunde) . In dit laatste deel legt Descartes de basis voor de analytische meetkunde. Hij legde het verband tussen meetkunde en algebra dat we nu vanzelfsprekend vinden. Het cartesisch ( = van Descartes ) coördinatenstelsel komt ook uit dit aanhangsel. Descartes overleed op 11 februari 1650 in Zweden waar hij was op uitnodiging van koningin Christina .