De Möbius band

 

Laten we het eens hebben over deze ‘rare’ figuur.

Neem  een rechthoekige strook papier:

Door de uiteinden aan een te plakken ( uiteinde A aan uiteinde A) krijgen we een cilinder:

Deze cilinder heeft twee randen: een bovenrand en een onderrand en verder een binnen oppervlak en een buiten oppervlak. Deze worden als aparte objecten bekeken ( zie stippellijn en volle lijn). Van de binnenzijde kom je naar de buitenzijde via een rand.

Je kan de strook echter ook op een andere manier aan elkaar lijmen ( uiteinde A aan uiteinde B):

Er is nu geen boven of onderkant. Deze figuur heeft maar 1 kant en 1 zijde. We noemen deze figuur de Möbiusband naar de Duitse wiskundige August Möbius(1790-1868).

Het bestuderen van dergelijke figuren maakt deel uit van de topologie, een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met eigenschappen  die bewaard blijven bij continue vervorming (de objecten mogen niet worden gescheurd of geplakt). Anders dan de meetkunde, houdt de topologie zich niet bezig met metrische eigenschappen zoals de afstand tussen punten, maar met eigenschappen die beschrijven hoe een ruimte is samengesteld, zoals samenhang en oriëntatie.

 

1. Vroegste sporen van wiskundig denken

Het is onmogelijk te bepalen wanneer de primitieve mens vertrouwd geraakte met basis begrippen zoals hoeveelheden en vormen. Het staat wel vast dat ruim 30000 jaar geleden de mens reeds  verder dacht dan de hoeveelheden één, twee en meer. Hij toonde ook interesse is regelmatig weerkerende verschijnselen zoals de opeenvolging van de dagen, de maanfasen of de wisseling van de seizoenen.

De primitieve mens vertrok uit Afrika om de rest van de wereld te bevolken. Een aantal ‘bewijzen’ van hun eerste wiskundig denken:

  • Het Lebombo beentje: Het is een gekerfd beentje, gedateerd op ca. 35.000 jaar v.Chr. Het werd gevonden in het Lebombo gebergte ergens tussen  Zuid-Afrika en Swasiland.  Het vertoont overeenkomsten met de kalenderstokjes . Het geeft niet aan dat de mensen in staat waren om te rekenen, maar wel om te tellen en een bepaalde cyclus te achterhalen.
  • Het Ishango beentje: Het werd gevonden nabij Ishango ( Belgisch Congo) en is ongeveer 22000 jaar oud. Men vermoedt dat het om telstokjes gaat, waarbij basis 6 en 10 worden gebruikt.
    De eerste kolom geeft alle priemgetallen tussen 10 en 20. Totale som 60. De som van de tweede kolom is 48 en van de derde is terug 60. In d ederde kolom komen de getallen voor die 1 verschillen van een tiental: 9,11,19 en 21.
  • Rotsschilderingen  tonen de mogelijkheid van de primitieve mens om ongeveer 35000 jaar geleden figuratieve en abstracte vormen weer te geven.

Telescopische som

Eén van de technieken bij problem-solving bestaat eruit het probleem van een andere kant te bekijken of een eenvoudiger probleem te nemen. Illustreren we dit even met volgend probleem: Vereenvoudig:

    \[\sum_{n=1}^{2020}\tan n\tan(n+1)\]

  • We gaan het product herschrijven als een som zodat bij het sommeren van al die termen ze één voor één tegen elkaar wegvallen , op de eerste en laatste na.
  • Gebruik hiervoor de formule voor het berekenen van de tangens van een verschil: \tan((n+1)-n)=\tan 1=\frac{\tan(n+1)-\tan n}{1+\tan(n+1)\tan n}.
  • Hieruit volgt dat \tan n\tan(n+1)=\frac{\tan (n+1)-\tan n }{\tan 1}-1
  • Invullen in de opgave geeft :

        \[\frac{\tan 2020-\tan 1}{\tan 1}-2020=\frac{\tan 2020}{\tan 1}-2021\]

Zuid-Afrikaanse wiskundeolympiade

In Zuid-Afrika is men zich bewust dat de welvaart van Zuid-Afrika mede bepaald wordt door hoog gekwalificeerd wiskunde personeel.  Twee organisaties SAMS ( South African Mathematical Society) en Amesa (Association for Mathematics Education of South Africa) besloten hun krachten te bundelen op het gebied van wiskunde ontwikkeling en onderwijs. Zo werd in 2004 de SAMF (South African Mathematical Foundation) opgericht. Het kantoor wordt aangedreven door een uitstekend team van professionals die samenwerken met de overheid, scholen en andere belanghebbenden om het wiskundeonderwijs in Zuid-Afrika te verbeteren. Op hun website   vindt je  info  over de Zuid-Afrikaans wiskunde olympiade en andere competities of trainingsmateriaal.

Tekenregel van Descartes

De tekenregel werd voor het eerst genoemd in het werk ‘La géometrie’ van René Descartes (1596-1650). Het gaat over veeltermen met reële coëfficiënten en we zijn geïnteresseerd in het aantal positieve nulwaarden. Veronderstellen we voor de rest van deze tekst dat de coëfficiënt van x^n gelijk is aan 1, dat de constante term niet nul is  en dat de veelterm geordend is naar afnemende machten van x.

Het fundamenteel theorema van de algebra zegt dat een veelterm van graad n steeds n nulwaarden heeft in \mathbb{C}. Meestal zijn we niet in staat deze nulwaarden te vinden. Toch kunnen we informatie vinden over het aantal positieve reële nulwaarden ( p) en het aantal negatieve nulwaarden (n). Bestudeer hiervoor het aantal teken veranderingen in de rij van tekens van de niet nul zijnde coëfficiënten van de gegeven veelterm P(x):

  • De waarde p heeft dezelfde pariteit als het aantal  tekenveranderingen.
  • De waarde p is kleiner of gelijk aan het aantal tekenveranderingen.
  • Om n te bepalen bepalen we p voor de veelterm P(-x).

Een voorbeeld: P(x)=x^6-6x^5+10x^4-2x^3-3x^2+4x-12.

  • Er zijn 5 tekenveranderingen.
  • p\leq 5 en p is oneven, dus p = 1, 3 of 5
  • P(-x)=x^6+6x^5+10x^4+2x^3-3x^2-4x-12. Er is 1 tekenverandering dus n=1.
  • Narekenen geeft als nulwaarden: -1 en 2 met multipliciteit 2 en 3.