De groepsring F3C2 | Wiskunde is leuk

De groepsring $R=\mathbb{F}_3C_2$ is een klein semisimpel voorbeeld waarin twee gelijke veldcomponenten zowel de idealen als de tripartiete vorm van de unitaire Cayleygraaf verklaren.

De negen elementen

Neem $C_2=\langle g\mid g^2=1\rangle$ . Ieder element heeft de vorm $a+bg$ , met $a,b\in\mathbb{F}_3$ . Dus

$R=\mathbb{F}_3C_2 =\{0,1,2,g,2g,1+g,1+2g,2+g,2+2g\}.$

Omdat $\operatorname{char}(\mathbb{F}_3)=3$ de groepsorde $|C_2|=2$ niet deelt, is de stelling van Maschke van toepassing. De ring is dus semisimpel.

Eenheden en bijzondere elementen

De vier eenheden zijn

$U(R)=\{1,2,g,2g\}\cong C_2\times C_2.$

Soort	Elementen	Opmerking
Eenheden	$1$ , $2$ , $g$ , $2g$	Iedere niet-triviale eenheid heeft orde $2$ .
Niet-triviale nuldelers	$1+g$ , $1+2g$ , $2+g$ , $2+2g$	Bijvoorbeeld $(1+g)(1+2g)=0$ .
Niet-triviale idempotenten	$2+g$ , $2+2g$	Deze bepalen de twee productcomponenten.
Niet-triviale nilpotenten	geen	De semisimpele productring is gereduceerd.

Het Jacobsonradicaal is triviaal:

$J(R)=\{0\}.$

Augmentatie-ideaal en idealen

De augmentatie stuurt $a+bg$ naar $a+b$ . Haar kern is

$I_1=I(R)=\{0,1+2g,2+g\}=(1+2g)\cong\mathbb{F}_3.$

Daarnaast is er het ideaal

$I_2=\{0,1+g,2+2g\}=(1+g)\cong\mathbb{F}_3.$

Dit zijn de enige twee niet-triviale idealen. Ze zijn beide maximaal en voldoen aan

$I_1\cap I_2=(0),\qquad I_1+I_2=R.$

Het diamantvormige idealenrooster van F3C2 met de twee maximale idealen I1 en I2. — Het idealenrooster weerspiegelt de twee veldcomponenten I₁ ≅ F₃ en I₂ ≅ F₃.

De productstructuur

Omdat

$x^2-1=(x-1)(x+1)$

een product van twee verschillende lineaire factoren in $\mathbb{F}_3[x]$ is, geeft de Chinese reststelling

$\mathbb{F}_3C_2 \cong \mathbb{F}_3[x]/(x^2-1) \cong \mathbb{F}_3\times\mathbb{F}_3.$

Een expliciet isomorfisme is

$\Phi(a+bg)=(a+b,a-b).$

De eerste coördinaat is evaluatie in $g=1$ en dus de augmentatie; de tweede is evaluatie in $g=-1=2$ . Het inverse is

$\begin{aligned} \Phi^{-1}(r,s) &=2(r+s)+2(r-s)g. \end{aligned}$

De twee maximale idealen zijn precies de kernen van de projecties op de twee veldcomponenten. Daardoor worden zowel het idealenrooster als de bijzondere elementen structureel verklaard.

De unitaire Cayleygraaf

De unitaire Cayleygraaf heeft de negen ringelementen als toppen. Twee verschillende toppen $x$ en $y$ zijn verbonden wanneer $x-y$ een eenheid is. Omdat $|U(R)|=4$ , heeft iedere top graad $4$ en zijn er volgens de handshakingformule $9\cdot4/2=18$ bogen.

Waarom de graaf tripartiet is

Schrijf $\Phi(x)=(\lambda,\mu)$ en $\Phi(y)=(\lambda',\mu')$ . In een product van velden is een paar precies dan een eenheid wanneer beide coördinaten niet nul zijn. Daarom

$\begin{aligned} x\sim y \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda&\ne\lambda'\\ \text{en}\quad \mu&\ne\mu'. \end{aligned}$

De eerste coördinaat verdeelt de toppen in drie lagen van elk drie elementen. Binnen iedere laag zijn er geen bogen. Een top is in elk van de twee andere lagen verbonden met precies twee toppen; alleen de top met dezelfde tweede coördinaat ontbreekt. Bijgevolg

$\operatorname{Cay}(R)\cong K_3\times K_3,$

waar $\times$ het directe, ook tensorproduct genoemde, product van grafen voorstelt. De graaf is dus 3-partiet, maar niet volledig 3-partiet. Zij is niet bipartiet: de toppen $0$ , $1$ en $2$ vormen bijvoorbeeld een driehoek.

De unitaire Cayleygraaf van F3C2 verdeeld in drie gekleurde lagen volgens de eerste productcoördinaat. — De drie lagen tonen de vezels van de eerste F₃-coördinaat; binnen een laag zijn er geen bogen.

Diameter en sommen van eenheden

De graaf is samenhangend en heeft diameter $2$ . De eenheden liggen op afstand $1$ van $0$ ; ieder ander niet-nul element is een som van twee eenheden. Ook $0=1+2$ . De ring heeft dus de 2-som-eigenschap.

Omdat $J(R)=0$ , is $R/J(R)\cong R$ . De tripartiete structuur komt hier niet voort uit radicale nevenklassen, maar uit de vezels van een veldcomponent in de semisimpele productontbinding.

De Cayleygraaf maakt vooral de twee veldcomponenten zichtbaar: de productcoördinaten verklaren zowel de graad als de tripartitie. Het triviale Jacobsonradicaal verklaart waarom geen kleinere quotiëntgraaf achter deze structuur ligt.