Categorie archieven: Eindige groepsringen

De groepsring F2C4

Geplaatst op door

Hoeveel structuur kan een ring met slechts zestien elementen bevatten? In R=\mathbb{F}_2C_4 vormen de idealen een ketting, hebben de eenheden verschillende orden en blijft een nilpotent element tot zijn derde macht niet nul. De unitaire Cayleygraaf toont een eenvoudiger beeld: twee groepen van acht toppen, met alle verbindingen ertussen.

We bouwen de ring stap voor stap op en verklaren hoe haar eenheden, Jacobsonradicaal en quotiëntring samen de graaf bepalen.

De zestien elementen

Neem het veld \mathbb{F}_2=\{0,1\} en de cyclische groep C_4=\langle g\mid g^4=1\rangle. Een element van de groepsring is een formele som

    \[ a+bg+cg^2+dg^3,\qquad a,b,c,d\in\mathbb{F}_2. \]

De vier coëfficiënten kunnen onafhankelijk 0 of 1 zijn. Daarom heeft R precies 2^4=16 elementen. We tellen coëfficiënten op modulo 2 en vermenigvuldigen met g^4=1. De ring is commutatief, heeft karakteristiek 2 en heeft als additieve groep C_2\times C_2\times C_2\times C_2.

Omdat de karakteristiek 2 de groepsorde 4 deelt, is dit een voorbeeld uit het modulaire geval. De groepsring is niet semisimpel; hieronder zien we dat concreet aan haar niet-triviale Jacobsonradicaal.

Augmentatie: eenheden tegenover nilpotenten

De augmentatie telt de coëfficiënten op:

    \[ \varepsilon(a+bg+cg^2+dg^3)=a+b+c+d. \]

Dit is een surjectief ringhomomorfisme van R naar \mathbb{F}_2. Voor z=a+bg+cg^2+dg^3 verdwijnen bij kwadrateren alle kruistermen, zodat

    \[ \begin{aligned} z^2&=(a+c)+(b+d)g^2,\\ z^4&=a+b+c+d=\varepsilon(z). \end{aligned} \]

  • Als \varepsilon(z)=1, dan is z^4=1. Het element is een eenheid, met inverse z^3.
  • Als \varepsilon(z)=0, dan is z^4=0. Het element is nilpotent en geen eenheid. Is het niet nul, dan is het een niet-triviale nuldeler.

Er zijn dus acht eenheden en zeven niet-triviale nuldelers. De niet-triviale nuldelers zijn hier precies de niet-triviale nilpotenten.

Nilpotentie-indices en idempotenten

Zet \eta=1+g. Dan

    \[ \begin{aligned} \eta^2&=1+g^2,\\ \eta^3&=1+g+g^2+g^3\neq0,\\ \eta^4&=0. \end{aligned} \]

Het element \eta heeft dus nilpotentie-index 4: de vierde macht is de eerste macht die nul wordt. Vermenigvuldiging met de eenheden g, g^2 en g^3 bewaart die index. De andere drie niet-triviale nilpotenten hebben kwadraat nul.

Niet-triviale nilpotenten Index
1+g, g+g^2, g^2+g^3, 1+g^3 4
1+g^2, g+g^3, 1+g+g^2+g^3 2

Er zijn geen elementen met nilpotentie-index 3. Ook zijn er geen niet-triviale idempotenten: als e^2=e, dan is e^4=e, terwijl e^4=\varepsilon(e)\in\{0,1\}. De enige idempotenten zijn dus 0 en 1.

De eenhedengroep

De eenheden zijn de vier groepselementen en de vier drietermen. Hun inversen en multiplicatieve orden zijn:

Eenheid Inverse Orde
1 1 1
g g^3 4
g^2 g^2 2
g^3 g 4
1+g+g^2 1+g^2+g^3 4
1+g+g^3 1+g+g^3 2
1+g^2+g^3 1+g+g^2 4
g+g^2+g^3 g+g^2+g^3 2

Neem v=1+g+g^3. Het element g heeft orde 4, terwijl v orde 2 heeft en niet in \langle g\rangle ligt. Omdat de ring commutatief is, vormen de acht producten g^iv^j, met 0\leq i<4 en 0\leq j<2, alle eenheden. Bijgevolg

    \[ \begin{aligned} U(R)&=\langle g\rangle\times\langle1+g+g^3\rangle\\ &\cong C_4\times C_2. \end{aligned} \]

Er zijn vier eenheden van orde 4, drie van orde 2 en één van orde 1.

Het Jacobsonradicaal en alle idealen

Het augmentatie-ideaal is de kern van de augmentatie:

    \[ I(R)=\{a+bg+cg^2+dg^3\mid a+b+c+d=0\}. \]

Omdat R/I(R)\cong\mathbb{F}_2, is dit ideaal maximaal. Alle elementen erbuiten zijn eenheden. Elk echt ideaal ligt daarom in I(R), zodat dit het unieke maximale ideaal is. De ring is lokaal en haar Jacobsonradicaal, de doorsnede van de maximale idealen, is

    \[ J=J(R)=I(R)=(1+g)=(\eta). \]

De elementen 1,\eta,\eta^2,\eta^3 vormen een basis over \mathbb{F}_2. In deze basis bestaat J precies uit de elementen met constante term nul. De machten van J geven de volgende idealen:

Ideaal Generator Aantal elementen
R 1 16
J 1+g 8
J^2 1+g^2 4
J^3 1+g+g^2+g^3 2
J^4=(0) 0 1

In het bijzonder is J^2=\{0,1+g^2,g+g^3,1+g+g^2+g^3\} en J^3=\{0,1+g+g^2+g^3\}.

Waarom zijn dit alle idealen? Elk niet-nul element is van de vorm \eta^k w, met w een eenheid en k de kleinste exponent die voorkomt in de η-basis. Kies in een niet-nul ideaal een element waarvoor k minimaal is. Door vermenigvuldiging met w^{-1} bevat dat ideaal \eta^k. Alle andere elementen ervan zijn veelvouden van \eta^k. Het ideaal is dus precies (\eta^k).

Alle idealen liggen bijgevolg in één ketting:

    \[ R\supset J\supset J^2\supset J^3\supset(0). \]

Het idealenrooster van F2C4: van beneden naar boven het nulideaal, J tot de derde macht, J tot de tweede macht, J en R, met respectievelijk 1, 2, 4, 8 en 16 elementen.
De vijf idealen vormen een ketting. Inclusie loopt naar boven; rechts staat het aantal elementen. J is het unieke maximale ideaal.

De groepsring F₂C₄ is een lokale kettingring. Ze heeft drie niet-triviale echte idealen, die allemaal machten van het Jacobsonradicaal zijn.

Eén nilpotente richting, tot de vierde macht

De groepsrelatie g^4=1 geeft een beschrijving als quotiënt van een veeltermring. In karakteristiek 2 is x^4-1=(x+1)^4, zodat

    \[ \begin{aligned} \mathbb{F}_2C_4&\cong\mathbb{F}_2[x]/(x^4-1)\\ &\cong\mathbb{F}_2[\eta]/(\eta^4),\qquad \eta=x+1. \end{aligned} \]

We rekenen dus met veeltermen in \eta, waarbij termen vanaf graad 4 verdwijnen. Het isomorfisme, bepaald door g\mapsto1+\eta, is expliciet

    \[ \begin{aligned} \Phi(a+bg+cg^2+dg^3) ={}&(a+b+c+d)+(b+d)\eta\\ &+(c+d)\eta^2+d\eta^3. \end{aligned} \]

Omgekeerd geldt

    \[ \begin{aligned} \Phi^{-1}(r+s\eta+t\eta^2+u\eta^3) ={}&(r+s+t+u)+(s+u)g\\ &+(t+u)g^2+ug^3. \end{aligned} \]

Dit veralgemeent de duale getallen \mathbb{F}_2[\eta]/(\eta^2), die we bij \mathbb{F}_2C_2 ontmoeten. Hier blijven ook de tweede en derde macht van \eta niet nul. De opeenvolgende lagen R/J, J/J^2, J^2/J^3 en J^3/J^4 zijn elk eendimensionaal over \mathbb{F}_2. Ze worden respectievelijk voortgebracht door de klassen van 1, \eta, \eta^2 en \eta^3.

De quotiëntring en haar kleine graaf

Modulo J blijft alleen de augmentatie over. De quotiëntring R/J\cong\mathbb{F}_2 heeft twee elementen: J en 1+J. Het tweede is de enige eenheid.

De unitaire Cayleygraaf van een ring heeft haar ringelementen als toppen. Twee verschillende toppen zijn verbonden wanneer hun verschil een eenheid is. Voor R/J geeft dit één rand:

    \[ \operatorname{Cay}(R/J)\cong K_2. \]

De graaf K2 van de quotiëntring R modulo J: de twee toppen J en 1 plus J zijn verbonden.
De twee toppen van K₂ zijn de nevenklassen J en 1 + J. Iedere klasse bevat acht elementen van de oorspronkelijke ring.

De unitaire Cayleygraaf van F₂C₄

Nu nemen we alle zestien elementen van R als toppen. In karakteristiek 2 is x-y=x+y. Omdat een element een eenheid is precies wanneer zijn augmentatie 1 is, geldt

    \[ x\sim y\quad\Longleftrightarrow\quad\varepsilon(x)\neq\varepsilon(y). \]

Elke top is verbonden met de acht elementen met de andere augmentatie. De graaf is dus 8-regulier. De handshakingformule geeft 16\cdot8/2=64 randen.

Eerst: alle toppen op een cirkel

Voor leesbare labels schrijven we J=\{j_0,\ldots,j_7\} en U(R)=\{u_0,\ldots,u_7\}, met u_i=1+j_i. Deze tabel bevat alle zestien ringelementen:

i jᵢ ∈ J uᵢ = 1 + jᵢ ∈ U(R)
0 0 1
1 1+g g
2 1+g^2 g^2
3 1+g^3 g^3
4 g+g^2 1+g+g^2
5 g+g^3 1+g+g^3
6 g^2+g^3 1+g^2+g^3
7 1+g+g^2+g^3 g+g^2+g^3

We plaatsen de toppen afwisselend in de volgorde j_0,u_0,j_1,u_1,\ldots,j_7,u_7 op een cirkel. Blauw staat voor J, rood voor de eenheden. Iedere blauwe top is verbonden met alle rode toppen. Naast de cirkelrand horen dus ook alle getekende koorden bij de graaf.

De unitaire Cayleygraaf van F2C4 op een cirkel: acht blauwe toppen j0 tot j7 en acht rode toppen u0 tot u7, met alle 64 verbindingen tussen verschillende kleuren.
De cirkelopstelling toont alle zestien toppen en alle 64 randen. Kruisingen van randen zijn geen extra toppen.
Bekijk de cirkelopstelling in groot formaat

Daarna: de twee bipartiete delen

Door de nevenklassen J en 1+J apart te tekenen, wordt de structuur duidelijker. Binnen elk deel zijn er geen randen. Tussen de twee delen zijn alle verbindingen aanwezig. Daarom

    \[ \operatorname{Cay}(\mathbb{F}_2C_4)\cong K_{8,8}. \]

De volledige bipartiete graaf K8,8 met links de acht gelabelde elementen van het Jacobsonradicaal en rechts de acht gelabelde eenheden; elk links element is verbonden met elk rechts element.
Dezelfde graaf als K₈,₈. Links staat J = I(R), rechts staat 1 + J = U(R). Labels, kleur en positie geven samen de twee nevenklassen aan.
Bekijk de bipartiete voorstelling in groot formaat

Rechtstreeks tellen geeft opnieuw 8\cdot8=64 randen. We kunnen deze graaf opbouwen uit de eerder getekende K_2 van R/J: vervang iedere top door de acht elementen van haar nevenklasse en vervang de ene rand door alle verbindingen tussen de klassen.

De twee delen laten de lokale structuur zien: de niet-eenheden vormen het unieke maximale ideaal J, en de quotiëntring heeft precies twee elementen. De graaf registreert de nevenklassen van J en hun gemeenschappelijke grootte.

Afstanden en sommen van eenheden

Toppen in verschillende delen liggen op afstand 1. Twee verschillende toppen in hetzelfde deel hebben een gemeenschappelijke buur en liggen op afstand 2. De graaf is dus samenhangend en heeft diameter 2.

Een pad vanaf 0 komt overeen met het achtereenvolgens optellen van eenheden. De diameter betekent daarom dat ieder element een som van ten hoogste twee eenheden is. Voor z\in J is een expliciete voorstelling

    \[ z=1+(1+z). \]

Beide termen zijn eenheden, want hun augmentatie is 1. Zo is 0=1+1 en is 1+g+g^2+g^3=1+(g+g^2+g^3). Een eenheid zelf is al een som van één eenheid.

Een eenheid is echter geen som van precies twee eenheden: zo’n som heeft augmentatie 1+1=0. De sommen van precies twee eenheden vormen dus precies J. Algemeen heeft een som van k eenheden augmentatie k modulo 2. Die pariteit wordt zichtbaar in het afwisselen van de twee delen langs een pad.

Wat de graaf niet vertelt

Alle elementen van J hebben dezelfde buren. De graaf maakt daarom geen onderscheid tussen de kleinere idealen J^2 en J^3, en ook niet tussen nilpotentie-index 2 en 4.

Een verwante groepsring is S=\mathbb{F}_2(C_2\times C_2). Daar geldt voor ieder element z al z^2=\varepsilon(z), omdat elk groepselement kwadraat 1 heeft. Ook die ring heeft acht eenheden en een Jacobsonradicaal van acht elementen met restveld \mathbb{F}_2. Haar unitaire Cayleygraaf is eveneens K_{8,8}.

Toch zijn de twee ringen niet isomorf: R bevat een nilpotent element met index 4, terwijl elke niet-triviale nilpotent in S kwadraat nul heeft. Isomorfe unitaire Cayleygrafen betekenen dus niet dat de onderliggende groepsringen isomorf zijn.

F₂C₄ in één oogopslag

GroepsringR=\mathbb{F}_2C_4
16 elementen; karakteristiek 2
EenhedengroepU(R)\cong C_4\times C_2
8 eenheden
Niet-triviale nuldelers7; alle nilpotent
4 met index 4, 3 met index 2
IdempotentenAlleen 0 en 1
JacobsonradicaalJ=I(R)=(1+g)
8 elementen; J^4=(0)
IdealenR, J, J^2, J^3, (0)
Eén ketting van vijf idealen
RingstructuurLokale kettingring

R\cong\mathbb{F}_2[\eta]/(\eta^4)
QuotiëntringR/J\cong\mathbb{F}_2
Quotiëntgraaf: K_2
CayleygraafK_{8,8}
Delen: J en 1+J=U(R)
Toppen en randen16 toppen, 64 randen
Graad 8; diameter 2
Sommen van eenhedenIeder element: ten hoogste twee
Precies twee: de elementen van J
Grens van de graafDe kleinere radicale lagen en de nilpotentie-indices zijn niet af te lezen.

De groepsring F3C2

Geplaatst op door

De groepsring R=\mathbb{F}_3C_2 is een klein semisimpel voorbeeld waarin twee gelijke veldcomponenten zowel de idealen als de tripartiete vorm van de unitaire Cayleygraaf verklaren.

De negen elementen

Neem C_2=\langle g\mid g^2=1\rangle. Ieder element heeft de vorm a+bg, met a,b\in\mathbb{F}_3. Dus

    \[R=\mathbb{F}_3C_2 =\{0,1,2,g,2g,1+g,1+2g,2+g,2+2g\}.\]

Omdat \operatorname{char}(\mathbb{F}_3)=3 de groepsorde |C_2|=2 niet deelt, is de stelling van Maschke van toepassing. De ring is dus semisimpel.

Eenheden en bijzondere elementen

De vier eenheden zijn

    \[U(R)=\{1,2,g,2g\}\cong C_2\times C_2.\]

Soort Elementen Opmerking
Eenheden 1, 2, g, 2g Iedere niet-triviale eenheid heeft orde 2.
Niet-triviale nuldelers 1+g, 1+2g, 2+g, 2+2g Bijvoorbeeld (1+g)(1+2g)=0.
Niet-triviale idempotenten 2+g, 2+2g Deze bepalen de twee productcomponenten.
Niet-triviale nilpotenten geen De semisimpele productring is gereduceerd.

Het Jacobsonradicaal is triviaal:

    \[J(R)=\{0\}.\]

Augmentatie-ideaal en idealen

De augmentatie stuurt a+bg naar a+b. Haar kern is

    \[I_1=I(R)=\{0,1+2g,2+g\}=(1+2g)\cong\mathbb{F}_3.\]

Daarnaast is er het ideaal

    \[I_2=\{0,1+g,2+2g\}=(1+g)\cong\mathbb{F}_3.\]

Dit zijn de enige twee niet-triviale idealen. Ze zijn beide maximaal en voldoen aan

    \[I_1\cap I_2=(0),\qquad I_1+I_2=R.\]

Het diamantvormige idealenrooster van F3C2 met de twee maximale idealen I1 en I2.
Het idealenrooster weerspiegelt de twee veldcomponenten I₁ ≅ F₃ en I₂ ≅ F₃.

De productstructuur

Omdat

    \[x^2-1=(x-1)(x+1)\]

een product van twee verschillende lineaire factoren in \mathbb{F}_3[x] is, geeft de Chinese reststelling

    \[\mathbb{F}_3C_2 \cong \mathbb{F}_3[x]/(x^2-1) \cong \mathbb{F}_3\times\mathbb{F}_3.\]

Een expliciet isomorfisme is

    \[\Phi(a+bg)=(a+b,a-b).\]

De eerste coördinaat is evaluatie in g=1 en dus de augmentatie; de tweede is evaluatie in g=-1=2. Het inverse is

    \[ \begin{aligned} \Phi^{-1}(r,s) &=2(r+s)+2(r-s)g. \end{aligned} \]

De twee maximale idealen zijn precies de kernen van de projecties op de twee veldcomponenten. Daardoor worden zowel het idealenrooster als de bijzondere elementen structureel verklaard.

De unitaire Cayleygraaf

De unitaire Cayleygraaf heeft de negen ringelementen als toppen. Twee verschillende toppen x en y zijn verbonden wanneer x-y een eenheid is. Omdat |U(R)|=4, heeft iedere top graad 4 en zijn er volgens de handshakingformule 9\cdot4/2=18 bogen.

De unitaire Cayleygraaf van F3C2 met negen gelabelde ringelementen.
De unitaire Cayleygraaf van F₃C₂ met haar negen ringelementen.

Waarom de graaf tripartiet is

Schrijf \Phi(x)=(\lambda,\mu) en \Phi(y)=(\lambda',\mu'). In een product van velden is een paar precies dan een eenheid wanneer beide coördinaten niet nul zijn. Daarom

    \[ \begin{aligned} x\sim y \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda&\ne\lambda'\\ \text{en}\quad \mu&\ne\mu'. \end{aligned} \]

De eerste coördinaat verdeelt de toppen in drie lagen van elk drie elementen. Binnen iedere laag zijn er geen bogen. Een top is in elk van de twee andere lagen verbonden met precies twee toppen; alleen de top met dezelfde tweede coördinaat ontbreekt. Bijgevolg

    \[\operatorname{Cay}(R)\cong K_3\times K_3,\]

waar \times het directe, ook tensorproduct genoemde, product van grafen voorstelt. De graaf is dus 3-partiet, maar niet volledig 3-partiet. Zij is niet bipartiet: de toppen 0, 1 en 2 vormen bijvoorbeeld een driehoek.

De unitaire Cayleygraaf van F3C2 verdeeld in drie gekleurde lagen volgens de eerste productcoördinaat.
De drie lagen tonen de vezels van de eerste F₃-coördinaat; binnen een laag zijn er geen bogen.

Diameter en sommen van eenheden

De graaf is samenhangend en heeft diameter 2. De eenheden liggen op afstand 1 van 0; ieder ander niet-nul element is een som van twee eenheden. Ook 0=1+2. De ring heeft dus de 2-som-eigenschap.

Omdat J(R)=0, is R/J(R)\cong R. De tripartiete structuur komt hier niet voort uit radicale nevenklassen, maar uit de vezels van een veldcomponent in de semisimpele productontbinding.

De Cayleygraaf maakt vooral de twee veldcomponenten zichtbaar: de productcoördinaten verklaren zowel de graad als de tripartitie. Het triviale Jacobsonradicaal verklaart waarom geen kleinere quotiëntgraaf achter deze structuur ligt.

Samenvatting

GroepsringR=\mathbb{F}_3C_2, |R|=9
Elementena+bg, met a,b\in\mathbb{F}_3
EenhedenU(R)=\{1,2,g,2g\}\cong C_2\times C_2
JacobsonradicaalJ(R)=0
IdealenTwee niet-triviale maximale idealen, beide isomorf met \mathbb{F}_3
RingtypeSemisimpel
StructuurR\cong\mathbb{F}_3\times\mathbb{F}_3
Cayleygraaf\operatorname{Cay}(R)\cong K_3\times K_3
Toppen en graad9 toppen, 4-regulier
TripartietJa, maar niet volledig 3-partiet
Diameter2
Sommen van eenheden2-som-eigenschap

De groepsring F2C3

Geplaatst op door

De groepsring \mathbb{F}_2C_3 is het eerste semisimpele voorbeeld in deze reeks. Haar acht elementen laten zien hoe een product van twee eindige velden tegelijk de idealen en de vorm van de unitaire Cayleygraaf bepaalt.

De acht elementen

Neem C_3=\langle g\mid g^3=1\rangle. Ieder element heeft de vorm a+bg+cg^2, met a,b,c\in\mathbb{F}_2. Bijgevolg

    \[R=\mathbb{F}_2C_3 =\{0,1,g,g^2,1+g,1+g^2,g+g^2,1+g+g^2\}.\]

Omdat \operatorname{char}(\mathbb{F}_2)=2 de groepsorde |C_3|=3 niet deelt, is de stelling van Maschke van toepassing. De ring is dus semisimpel.

Eenheden, nuldelers en idempotenten

De drie groepselementen zijn precies de eenheden:

    \[U(R)=\{1,g,g^2\}\cong C_3.\]

De vier niet-triviale nuldelers zijn 1+g, 1+g^2, g+g^2 en 1+g+g^2. Bijvoorbeeld

    \[(1+g)(1+g+g^2)=(1+g^2)(1+g+g^2)=0.\]

Soort Elementen Opmerking
Eenheden 1, g, g^2 U(R)\cong C_3.
Niet-triviale nuldelers 1+g, 1+g^2, g+g^2, 1+g+g^2 Dit zijn precies de vier niet-triviale nuldelers.
Idempotenten 0, 1, g+g^2, 1+g+g^2 De twee niet-triviale idempotenten bepalen de productcomponenten.
Nilpotenten alleen 0 Er zijn geen niet-triviale nilpotente elementen.

Augmentatie-ideaal, Jacobsonradicaal en idealen

De augmentatie stuurt a+bg+cg^2 naar a+b+c. Haar kern is

    \[I(R)=\{0,1+g,1+g^2,g+g^2\}=(1+g).\]

Dit ideaal is, met eenheidselement g+g^2, een veld met vier elementen en dus isomorf met \mathbb{F}_4. Daarnaast is er het ideaal

    \[A=\{0,1+g+g^2\}=(1+g+g^2)\cong\mathbb{F}_2.\]

Dit zijn de twee enige niet-triviale idealen. Ze zijn beide maximaal en voldoen aan

    \[A\cap I(R)=(0),\qquad A+I(R)=R.\]

Omdat de ring semisimpel is, is haar Jacobsonradicaal triviaal:

    \[J(R)=\{0\}.\]

Het diamantvormige idealenrooster van F2C3, met de maximale idealen A en I tussen het nulideaal en de volledige ring.
Het idealenrooster weerspiegelt de twee veldcomponenten A ≅ F₂ en I(R) ≅ F₄.

De semisimpele productstructuur

De elementen

    \[e_1=1+g+g^2,\qquad e_2=g+g^2\]

zijn primitieve orthogonale idempotenten: e_1+e_2=1 en e_1e_2=0. Daarom

    \[R=Re_1\oplus Re_2, \qquad Re_1=A\cong\mathbb{F}_2, \qquad Re_2=I(R)\cong\mathbb{F}_4.\]

Dezelfde ontbinding volgt uit de Chinese reststelling. Er geldt

    \[R\cong\mathbb{F}_2[x]/(x^3-1), \qquad x^3-1=(x-1)(x^2+x+1).\]

De factor x^2+x+1 is irreducibel over \mathbb{F}_2. Bijgevolg

    \[\mathbb{F}_2C_3\cong \mathbb{F}_2[x]/(x-1)\times \mathbb{F}_2[x]/(x^2+x+1) \cong\mathbb{F}_2\times\mathbb{F}_4.\]

De ring is semisimpel maar geen veld: haar twee maximale idealen zijn precies de kernen van de projecties op de twee veldcomponenten.

Het expliciete isomorfisme

Neem \mathbb{F}_4=\mathbb{F}_2(\alpha) met \alpha^2+\alpha+1=0. Het isomorfisme

    \[\Phi:R\longrightarrow\mathbb{F}_2\times\mathbb{F}_4\]

wordt gegeven door

    \[ \begin{aligned} \Phi(a+bg+cg^2) &= (a+b+c,\;a+b\alpha+c\alpha^2)\\ &= (a+b+c,\;(a+c)+(b+c)\alpha). \end{aligned} \]

De eerste coördinaat is de evaluatie in g=1 en dus de augmentatie. De tweede coördinaat komt overeen met g\mapsto\alpha. Voor \lambda,r,s\in\mathbb{F}_2 is het inverse expliciet:

    \[\Phi^{-1}(\lambda,r+s\alpha) =(\lambda+s)+(\lambda+r)g+(\lambda+r+s)g^2.\]

De unitaire Cayleygraaf

De unitaire Cayleygraaf heeft de acht ringelementen als toppen. Twee verschillende toppen x en y zijn verbonden wanneer x-y een eenheid is. Omdat U(R)=\{1,g,g^2\}, heeft iedere top graad 3. De handshakingformule geeft 8\cdot3/2=12 bogen.

Deze graaf is de driedimensionale kubusgraaf:

    \[\operatorname{Cay}(R)\cong Q_3.\]

De unitaire Cayleygraaf van F2C3 getekend als de kubusgraaf Q3, met de twee bipartitieklassen in verschillende kleuren.
De unitaire Cayleygraaf van F₂C₃ als kubusgraaf Q₃.

Waarom Q_3\cong K_{4,4}-M?

Schrijf \Phi(x)=(\lambda,\mu) en \Phi(y)=(\lambda',\mu'). Dan zijn x en y precies dan adjacent wanneer

    \[(\lambda-\lambda',\mu-\mu')\]

een eenheid van \mathbb{F}_2\times\mathbb{F}_4 is. In een product van velden is dat precies zo wanneer beide coördinaten niet nul zijn. Dus

    \[x\sim y \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda\ne\lambda'\ \text{ en }\ \mu\ne\mu'.\]

De eerste coördinaat bepaalt de twee bipartitieklassen

    \[I(R)=\Phi^{-1}(\{0\}\times\mathbb{F}_4), \qquad 1+I(R)=\Phi^{-1}(\{1\}\times\mathbb{F}_4).\]

Tussen deze twee klassen zou de volledige bipartiete graaf K_{4,4} ontstaan, behalve dat de vier paren met gelijke tweede \mathbb{F}_4-coördinaat niet verbonden zijn. Een perfecte matching is een verzameling onderling knoopdisjuncte bogen waarin iedere knoop precies één keer voorkomt. De vier ontbrekende bogen vormen precies zo’n perfecte matching M. Daarom

    \[\operatorname{Cay}(R)\cong Q_3\cong K_{4,4}-M.\]

K4,4 met twee gekleurde bipartitieklassen. De twaalf donkere bogen vormen Q3; vier dikke rode gestreepte bogen met gelijke F4-coördinaat vormen de te verwijderen perfecte matching M.
De rode gestreepte bogen vormen de perfecte matching M en behoren niet tot de unitaire Cayleygraaf. Na verwijdering uit K₄,₄ blijft Q₃ over.
De productstructuur van de Cayleygraaf van F2C3, met links I en rechts 1 plus I en de tweede F4-coördinaten tussen beide klassen.
De productontbinding maakt zichtbaar waarom gelijke tweede F₄-coördinaten geen boog opleveren.

Diameter en sommen van eenheden

De graaf is samenhangend en heeft diameter 3. De elementen 1+g, 1+g^2 en g+g^2 zijn sommen van twee eenheden. Het element 1+g+g^2 is de som van de drie eenheden 1, g en g^2.

Voor dit laatste element zijn werkelijk drie eenheden nodig. Het is zelf geen eenheid, terwijl de som van twee eenheden onder \Phi eerste coördinaat 1+1=0 heeft. Maar \Phi(1+g+g^2)=(1,0). Bijgevolg heeft R de 3-som-eigenschap, maar niet de 2-som-eigenschap.

De Cayleygraaf toont hier niet een Jacobsonradicaal — dat is immers nul — maar de twee veldcomponenten van de semisimpele ontbinding. De eerste coördinaat geeft de bipartitie; de tweede coördinaat bepaalt precies welke vier bogen ontbreken.

Samenvatting

GroepsringR=\mathbb{F}_2C_3, |R|=8
Elementena+bg+cg^2, met a,b,c\in\mathbb{F}_2
EenhedenU(R)=\{1,g,g^2\}\cong C_3
JacobsonradicaalJ(R)=0
IdealenTwee niet-triviale maximale idealen: A\cong\mathbb{F}_2 en I(R)\cong\mathbb{F}_4
RingtypeSemisimpel
StructuurR\cong\mathbb{F}_2\times\mathbb{F}_4
Toppen8
Regulier3-regulier, met graad 3=|U(R)|
BipartietJa, maar niet volledig bipartiet
Cayleygraaf\operatorname{Cay}(R)\cong Q_3\cong K_{4,4}-M
Diameter3
Sommen van eenheden3-som-eigenschap, maar niet de 2-som-eigenschap

Eindige groepsringen: inleiding

Geplaatst op door

Een eindige groepsring brengt de structuur van een eindige ring en een eindige groep samen. Omdat de groepsring zelf eindig is, kunnen haar elementen en idealen in concrete voorbeelden volledig worden onderzocht. In dit artikel voeren we de basisbegrippen in en schetsen we de vier fundamentele situaties die de verdere studie bepalen.

Eindige groepsringen

Laat R een eindige ring zijn en G een eindige groep. De groepsring RG bestaat uit alle formele sommen

    \[ \sum_{g\in G} a_g g, \qquad a_g\in R.\]

De optelling gebeurt coëfficiëntsgewijs en de vermenigvuldiging wordt bepaald door distributiviteit en de groepswet in G.

Wanneer G=\{g_1,\ldots,g_n\}, schrijven we een algemeen element vaak als

    \[ a_1g_1+a_2g_2+\cdots+a_ng_n.\]

Laat |R|=q en |G|=n. Dan geldt

    \[ |RG|=q^n.\]

Het aantal elementen van een eindige groepsring is dus altijd een zuivere macht. De kleinste mogelijkheden zijn

    \[ 4,8,9,16,25,27,32,36,49,64,81,\ldots\]

In de integrale groepsring \mathbb{Z}G staat de studie van eenheden centraal en leidt de Wedderburn-ontbinding van \mathbb{Q}G tot aritmetische vragen over orden en eenheidsgroepen. In eindige groepsringen RG verandert het perspectief. Omdat de ring zelf eindig is, is elk element ofwel een eenheid ofwel een nuldeler. Daardoor komen naast eenheden ook nuldelers, nilpotenten, idempotenten en radicalen centraal te staan. De studie van eindige groepsringen combineert groepentheorie, ringtheorie en lineaire algebra.

Belangrijke soorten elementen

Eenheden

Een element u\in RG heet een eenheid indien er een element v\in RG bestaat zodat

    \[ uv=vu=1.\]

De verzameling van alle eenheden wordt genoteerd door

    \[ U(RG).\]

Nuldelers

Een niet-nul element a\in RG heet een nuldeler indien er een niet-nul element b\in RG bestaat zodat

    \[ ab=0.\]

Idempotenten

Een element e\in RG heet een idempotent indien

    \[ e^2=e.\]

Nilpotenten

Een element x\in RG heet nilpotent indien er een geheel getal n\geq 1 bestaat zodat

    \[ x^n=0.\]

Het Jacobsonradicaal

Laat R een ring zijn. Het Jacobsonradicaal van R, genoteerd door

    \[ J(R),\]

is de doorsnede van alle maximale linksidealen van R.

Het Jacobsonradicaal speelt een fundamentele rol in de studie van eindige groepsringen. Het beschrijft in zekere zin het niet-semisimpele of nilpotente deel van de ring. In een eindige ring is het Jacobsonradicaal een nilpotent ideaal; in het bijzonder is elk element van J(R) nilpotent. De omgekeerde uitspraak, dat elk nilpotent element tot J(R) behoort, geldt niet voor willekeurige niet-commutatieve ringen. Voor commutatieve ringen geldt zij wel. De concrete groepsringen die in de eerste voorbeelden worden behandeld, zijn commutatief.

We vermelden enkele belangrijke eigenschappen.

  • In een eindige ring is een element een niet-eenheid als en slechts als het een nuldeler is.
  • Voor eindige ringen vallen linker- en rechterradicalen samen.
  • Een element x\in R behoort tot J(R) als en slechts als voor alle r\in R het element 1-rx een eenheid is. Deze karakterisatie is vaak zeer nuttig in concrete berekeningen.
  • J(R) is een tweezijdig ideaal van R.
  • Indien R eindig is, dan is elk element van J(R) nilpotent.
  • De quotiëntring R/J(R) heeft geen niet-triviale nilpotente idealen.
  • Een ring R heet semisimpel indien J(R)=0. Is de ring semisimpel, dan kan zij vaak worden ontbonden als een product van velden of matrixringen. Wanneer J(R)\neq 0, bevat de ring nilpotente elementen en wordt de structuur aanzienlijk ingewikkelder.
  • In een eindige ring zijn de elementen van de vorm 1+x, met x\in J(R), altijd eenheden.

De unitaire Cayleygraaf

Aan een eindige ring R met eenheid kan een graaf gekoppeld worden die de eenheden van R zichtbaar maakt.

Definitie. De unitaire Cayleygraaf van R, genoteerd door

    \[ \Gamma(R)=\operatorname{Cay}(R),\]

heeft de elementen van R als toppen. Twee verschillende toppen a en b zijn verbonden indien

    \[ a-b\in U(R).\]

Omdat met u ook -u een eenheid is, is deze verbinding symmetrisch. De buren van 0 zijn precies de eenheden van R. De graaf vormt dus een visuele voorstelling van welke elementen in de ring inverteerbaar zijn. Meer algemeen zijn de buren van a precies de elementen a+u met u\in U(R). Elke top heeft daarom |U(R)| buren. De unitaire Cayleygraaf is bijgevolg een reguliere graaf, waarvan de graad meteen het aantal eenheden van de ring geeft.

Translaties en samenhang

Optellen met een vast ringelement behoudt de graaf: voor alle r\in R geldt

    \[ (a+r)-(b+r)=a-b.\]

Daardoor ziet de graaf er rond iedere top hetzelfde uit. Dit weerspiegelt de additieve structuur van de ring, terwijl de keuze van de verbindingen door de vermenigvuldiging wordt bepaald, want juist de multiplicatief inverteerbare elementen worden als verschillen toegelaten.

Ook de samenhang bevat ringinformatie. De component van 0 bestaat uit de additieve ondergroep van (R,+) die door U(R) wordt voortgebracht. De overige componenten zijn de nevenklassen van deze ondergroep. De graaf is dus samenhangend indien en slechts indien de eenheden de additieve groep van de ring voortbrengen.

Afstand, diameter en sommen van eenheden

Ook afstand heeft hier een directe algebraïsche betekenis. Veronderstel dat \Gamma(R) samenhangend is. Een pad van 0 naar a van lengte k komt overeen met een voorstelling van a als een som van k eenheden. Preciezer geldt

    \[ d(0,a)=\min\bigl\{k\geq 0 : a=u_1+\cdots+u_k, \quad u_i\in U(R)\bigr\},\]

waarbij voor k=0 de lege som gelijk is aan 0. Omdat translatie met een vast ringelement de graaf behoudt, is de diameter het maximum van deze minimale aantallen. Bijgevolg geldt

    \[ \operatorname{diam}(\Gamma(R))\leq k\]

dan en slechts dan als ieder element van R kan worden geschreven als een som van ten hoogste k eenheden. De eigenschap dat ieder element een som van juist k eenheden is, is een andere eigenschap en wordt niet rechtstreeks door de diameter beschreven.

Directe producten

Voor een product van eindige ringen geldt

    \[ U(R_1\times R_2)=U(R_1)\times U(R_2).\]

Bijgevolg zijn (a_1,a_2) en (b_1,b_2) in de bijbehorende unitaire Cayleygraaf precies dan verbonden wanneer zowel a_1-b_1 als a_2-b_2 een eenheid is. Zo kan een productontbinding van een ring rechtstreeks worden weerspiegeld in de manier waarop de verbindingen per component worden opgebouwd.

Het Jacobsonradicaal en de quotiëntgraaf

Ook het Jacobsonradicaal J(R) is in de graaf zichtbaar. Beschouw de natuurlijke projectie

    \[ \pi:R\longrightarrow R/J(R).\]

Een element van R is een eenheid precies dan wanneer zijn beeld in R/J(R) een eenheid is. Met andere woorden,

    \[ U(R)=\pi^{-1}\bigl(U(R/J(R))\bigr).\]

Stelling. De graaf \Gamma(R) ontstaat uit \Gamma(R/J(R)) door iedere top te vervangen door de onafhankelijke verzameling van |J(R)| elementen in de bijbehorende nevenklasse. Twee zulke verzamelingen zijn volledig met elkaar verbonden precies wanneer de overeenkomstige toppen in \Gamma(R/J(R)) verbonden zijn.

Of twee toppen verbonden zijn, hangt dus alleen af van hun nevenklassen modulo J(R). De graaf maakt daarmee zichtbaar hoe het radicale deel boven de doorgaans eenvoudigere quotiëntstructuur ligt.

Eindige lokale ringen

Gevolg. Zij R een eindige lokale ring met Jacobsonradicaal J en restveld

    \[ R/J\cong\mathbb{F}_q.\]

Dan is

    \[ \Gamma(R)\cong K_{\underbrace{|J|,\ldots,|J|}_{q\text{ delen}}}.\]

De q nevenklassen van J zijn de delen van deze volledige multipartiete graaf. De graaf is bipartiet precies als q=2 en heeft, wanneer J\neq 0, diameter 2. Zo worden zowel het aantal restklassen als hun gemeenschappelijke grootte zichtbaar.

Een korte illustratie: \mathbb{F}_2C_2

Voor R=\mathbb{F}_2C_2 geldt

    \[ \mathbb{F}_2C_2/J(R)\cong\mathbb{F}_2 \qquad\text{en}\qquad |J(R)|=2.\]

De algemene beschrijving voor eindige lokale ringen geeft daarom meteen

    \[ \Gamma(\mathbb{F}_2C_2)\cong K_{2,2}\cong C_4.\]

De verdere ringstructuur van \mathbb{F}_2C_2 en de bijbehorende graaf worden later in het afzonderlijke voorbeeld uitvoerig behandeld.

Wat bepaalt de graaf?

Een ringisomorfisme bewaart optelling, aftrekking en eenheden. Isomorfe ringen leveren daarom isomorfe unitaire Cayleygrafen op. De omgekeerde implicatie geldt in het algemeen niet: isomorfe unitaire Cayleygrafen hoeven niet van isomorfe ringen afkomstig te zijn. Zo zijn de ringen

    \[ \mathbb{Z}_4 \qquad\text{en}\qquad \mathbb{F}_2[\varepsilon]/(\varepsilon^2)\]

niet isomorf, want hun karakteristieken zijn respectievelijk 4 en 2. Toch hebben beide precies twee eenheden en is hun unitaire Cayleygraaf in beide gevallen een cykel op vier toppen. De graaf legt dus nuttige informatie over de eenheden en de additieve opbouw vast, maar bepaalt niet de volledige vermenigvuldiging van de ring.

Vier fundamentele situaties

De structuur van een groepsring hangt in belangrijke mate af van twee vragen: is R een veld, en deelt \operatorname{char}(R) de groepsorde |G|? Dit geeft vier fundamentele situaties.

  1. R is een veld en \operatorname{char}(R)\nmid |G|. Volgens de stelling van Maschke is RG semisimpel.
  2. R is een veld en \operatorname{char}(R)\mid |G|. Dan is RG niet semisimpel.
  3. R is geen veld en \operatorname{char}(R)\nmid |G|. De stelling van Maschke in haar gebruikelijke vorm voor groepsalgebra’s over een veld is hier niet rechtstreeks van toepassing. De structuur van RG hangt nu ook wezenlijk af van de structuur van de coëfficiëntenring R.
  4. R is geen veld en \operatorname{char}(R)\mid |G|. Hier kunnen zowel de structuur van de coëfficiëntenring als de modulaire invloed van G bijdragen tot niet-semisimpel gedrag.

Structurele hulpmiddelen

Voor cyclische groepen bestaat een zeer nuttige beschrijving. Voor elke ring R geldt

    \[ RC_n\cong R[x]/(x^n-1).\]

Deze voorstelling speelt een centrale rol in bijna alle berekeningen.

Wanneer f(x)=f_1(x)\cdots f_r(x) met onderling ondeelbare factoren, dan geldt

    \[ R[x]/(f(x)) \cong R[x]/(f_1(x)) \times\cdots\times R[x]/(f_r(x)).\]

Aanpak van de voorbeelden

Deze inleiding beperkt zich tot de algemene begrippen en structurele hulpmiddelen. De afzonderlijke artikelen behandelen daarna elk één concrete groepsring en werken daar de elementen, idealen, globale ringstructuur en, waar verhelderend, de unitaire Cayleygraaf uit.

Onder meer de volgende groepsringen komen aan bod:

    \[ \mathbb{F}_2C_2, \quad \mathbb{F}_2C_3, \quad \mathbb{F}_3C_2, \quad \mathbb{Z}_4C_2, \quad \mathbb{F}_2(C_2\times C_2), \ldots\]

Het doel is om via concrete voorbeelden inzicht te krijgen in de structuur van eindige groepsringen en in het bijzonder in hun eenheden, nuldelers, idempotenten, nilpotenten, idealen en radicalen.