De groepsring F2C3 | Wiskunde is leuk

De groepsring $\mathbb{F}_2C_3$ is het eerste semisimpele voorbeeld in deze reeks. Haar acht elementen laten zien hoe een product van twee eindige velden tegelijk de idealen en de vorm van de unitaire Cayleygraaf bepaalt.

De acht elementen

Neem $C_3=\langle g\mid g^3=1\rangle$ . Ieder element heeft de vorm $a+bg+cg^2$ , met $a,b,c\in\mathbb{F}_2$ . Bijgevolg

$R=\mathbb{F}_2C_3 =\{0,1,g,g^2,1+g,1+g^2,g+g^2,1+g+g^2\}.$

Omdat $\operatorname{char}(\mathbb{F}_2)=2$ de groepsorde $|C_3|=3$ niet deelt, is de stelling van Maschke van toepassing. De ring is dus semisimpel.

Eenheden, nuldelers en idempotenten

De drie groepselementen zijn precies de eenheden:

$U(R)=\{1,g,g^2\}\cong C_3.$

De vier niet-triviale nuldelers zijn $1+g$ , $1+g^2$ , $g+g^2$ en $1+g+g^2$ . Bijvoorbeeld

$(1+g)(1+g+g^2)=(1+g^2)(1+g+g^2)=0.$

Soort	Elementen	Opmerking
Eenheden	$1$ , $g$ , $g^2$	$U(R)\cong C_3$ .
Niet-triviale nuldelers	$1+g$ , $1+g^2$ , $g+g^2$ , $1+g+g^2$	Dit zijn precies de vier niet-triviale nuldelers.
Idempotenten	$0$ , $1$ , $g+g^2$ , $1+g+g^2$	De twee niet-triviale idempotenten bepalen de productcomponenten.
Nilpotenten	alleen $0$	Er zijn geen niet-triviale nilpotente elementen.

Augmentatie-ideaal, Jacobsonradicaal en idealen

De augmentatie stuurt $a+bg+cg^2$ naar $a+b+c$ . Haar kern is

$I(R)=\{0,1+g,1+g^2,g+g^2\}=(1+g).$

Dit ideaal is, met eenheidselement $g+g^2$ , een veld met vier elementen en dus isomorf met $\mathbb{F}_4$ . Daarnaast is er het ideaal

$A=\{0,1+g+g^2\}=(1+g+g^2)\cong\mathbb{F}_2.$

Dit zijn de twee enige niet-triviale idealen. Ze zijn beide maximaal en voldoen aan

$A\cap I(R)=(0),\qquad A+I(R)=R.$

Omdat de ring semisimpel is, is haar Jacobsonradicaal triviaal:

$J(R)=\{0\}.$

Het diamantvormige idealenrooster van F2C3, met de maximale idealen A en I tussen het nulideaal en de volledige ring. — Het idealenrooster weerspiegelt de twee veldcomponenten A ≅ F₂ en I(R) ≅ F₄.

De semisimpele productstructuur

De elementen

$e_1=1+g+g^2,\qquad e_2=g+g^2$

zijn primitieve orthogonale idempotenten: $e_1+e_2=1$ en $e_1e_2=0$ . Daarom

$R=Re_1\oplus Re_2, \qquad Re_1=A\cong\mathbb{F}_2, \qquad Re_2=I(R)\cong\mathbb{F}_4.$

Dezelfde ontbinding volgt uit de Chinese reststelling. Er geldt

$R\cong\mathbb{F}_2[x]/(x^3-1), \qquad x^3-1=(x-1)(x^2+x+1).$

De factor $x^2+x+1$ is irreducibel over $\mathbb{F}_2$ . Bijgevolg

$\mathbb{F}_2C_3\cong \mathbb{F}_2[x]/(x-1)\times \mathbb{F}_2[x]/(x^2+x+1) \cong\mathbb{F}_2\times\mathbb{F}_4.$

De ring is semisimpel maar geen veld: haar twee maximale idealen zijn precies de kernen van de projecties op de twee veldcomponenten.

Het expliciete isomorfisme

Neem $\mathbb{F}_4=\mathbb{F}_2(\alpha)$ met $\alpha^2+\alpha+1=0$ . Het isomorfisme

$\Phi:R\longrightarrow\mathbb{F}_2\times\mathbb{F}_4$

wordt gegeven door

$\begin{aligned} \Phi(a+bg+cg^2) &= (a+b+c,\;a+b\alpha+c\alpha^2)\\ &= (a+b+c,\;(a+c)+(b+c)\alpha). \end{aligned}$

De eerste coördinaat is de evaluatie in $g=1$ en dus de augmentatie. De tweede coördinaat komt overeen met $g\mapsto\alpha$ . Voor $\lambda,r,s\in\mathbb{F}_2$ is het inverse expliciet:

$\Phi^{-1}(\lambda,r+s\alpha) =(\lambda+s)+(\lambda+r)g+(\lambda+r+s)g^2.$

De unitaire Cayleygraaf

De unitaire Cayleygraaf heeft de acht ringelementen als toppen. Twee verschillende toppen $x$ en $y$ zijn verbonden wanneer $x-y$ een eenheid is. Omdat $U(R)=\{1,g,g^2\}$ , heeft iedere top graad $3$ . De handshakingformule geeft $8\cdot3/2=12$ bogen.

Deze graaf is de driedimensionale kubusgraaf:

$\operatorname{Cay}(R)\cong Q_3.$

De unitaire Cayleygraaf van F2C3 getekend als de kubusgraaf Q3, met de twee bipartitieklassen in verschillende kleuren. — De unitaire Cayleygraaf van F₂C₃ als kubusgraaf Q₃.

Waarom $Q_3\cong K_{4,4}-M$ ?

Schrijf $\Phi(x)=(\lambda,\mu)$ en $\Phi(y)=(\lambda',\mu')$ . Dan zijn $x$ en $y$ precies dan adjacent wanneer

$(\lambda-\lambda',\mu-\mu')$

een eenheid van $\mathbb{F}_2\times\mathbb{F}_4$ is. In een product van velden is dat precies zo wanneer beide coördinaten niet nul zijn. Dus

$x\sim y \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda\ne\lambda'\ \text{ en }\ \mu\ne\mu'.$

De eerste coördinaat bepaalt de twee bipartitieklassen

$I(R)=\Phi^{-1}(\{0\}\times\mathbb{F}_4), \qquad 1+I(R)=\Phi^{-1}(\{1\}\times\mathbb{F}_4).$

Tussen deze twee klassen zou de volledige bipartiete graaf $K_{4,4}$ ontstaan, behalve dat de vier paren met gelijke tweede $\mathbb{F}_4$ -coördinaat niet verbonden zijn. Een perfecte matching is een verzameling onderling knoopdisjuncte bogen waarin iedere knoop precies één keer voorkomt. De vier ontbrekende bogen vormen precies zo’n perfecte matching $M$ . Daarom

$\operatorname{Cay}(R)\cong Q_3\cong K_{4,4}-M.$

K4,4 met twee gekleurde bipartitieklassen. De twaalf donkere bogen vormen Q3; vier dikke rode gestreepte bogen met gelijke F4-coördinaat vormen de te verwijderen perfecte matching M. — De rode gestreepte bogen vormen de perfecte matching M en behoren niet tot de unitaire Cayleygraaf. Na verwijdering uit K₄,₄ blijft Q₃ over.

De productstructuur van de Cayleygraaf van F2C3, met links I en rechts 1 plus I en de tweede F4-coördinaten tussen beide klassen. — De productontbinding maakt zichtbaar waarom gelijke tweede F₄-coördinaten geen boog opleveren.

Diameter en sommen van eenheden

De graaf is samenhangend en heeft diameter $3$ . De elementen $1+g$ , $1+g^2$ en $g+g^2$ zijn sommen van twee eenheden. Het element $1+g+g^2$ is de som van de drie eenheden $1$ , $g$ en $g^2$ .

Voor dit laatste element zijn werkelijk drie eenheden nodig. Het is zelf geen eenheid, terwijl de som van twee eenheden onder $\Phi$ eerste coördinaat $1+1=0$ heeft. Maar $\Phi(1+g+g^2)=(1,0)$ . Bijgevolg heeft $R$ de 3-som-eigenschap, maar niet de 2-som-eigenschap.

De Cayleygraaf toont hier niet een Jacobsonradicaal — dat is immers nul — maar de twee veldcomponenten van de semisimpele ontbinding. De eerste coördinaat geeft de bipartitie; de tweede coördinaat bepaalt precies welke vier bogen ontbreken.