De plaats maakt het getal: van ons tientallig stelsel naar de Maya’s

In het getal 222 staat driemaal hetzelfde cijfer. Toch betekent de eerste 2 tweehonderd, de tweede twintig en de laatste twee. De plaats bepaalt mee de waarde. Dat eenvoudige principe maakt het mogelijk om met een handvol tekens elk natuurlijk getal te schrijven. De Maya’s gebruikten het ook, maar met punten, strepen en een teken voor nul, en met twintig als basis.

Wat is een positiestelsel?

Een positiestelsel, ook positietalstelsel genoemd, is een manier om getallen te schrijven waarbij de waarde van een cijfer afhangt van zijn plaats. Het cijfer vertelt hoeveel er zijn; de plaats vertelt van welke eenheid.

In een stelsel met een vaste basis, het grondtal, bundelen we telkens evenveel eenheden. Bij grondtal tien worden tien eenheden één tiental en tien tientallen één honderdtal. Bij grondtal twintig worden twintig eenheden één twintigtal en twintig twintigtallen één vierhonderdtal.

Voor een geheel grondtal $b\geq 2$ zijn de plaatswaarden:

$1,\quad b,\quad b^2,\quad b^3,\quad \ldots$

De exponent geeft aan hoe vaak we met de basis vermenigvuldigen: $b^2=b\cdot b$ , bijvoorbeeld. Op elke plaats gebruiken we een cijferwaarde van nul tot en met $b-1$ . Zodra we $b$ eenheden van dezelfde soort hebben, maken we er één eenheid op de volgende plaats van.

Ons tientallig stelsel

Wij gebruiken tien cijfers: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9. Van rechts naar links staan ze voor eenheden, tientallen, honderdtallen, duizendtallen enzovoort. Zo betekent 3472:

$3472=3\cdot1000+4\cdot100+7\cdot10+2.$

Bij het optellen passen we hetzelfde principe toe: tien losse eenheden wisselen we in voor één tiental. Dat is wat er achter het ‘onthouden’ bij cijferend rekenen zit.

De nul houdt een plaats vrij. In 305 zijn er drie honderdtallen, geen tientallen en vijf eenheden:

$305=3\cdot100+0\cdot10+5.$

Laten we de nul weg, dan krijgen we 35. De 3 krijgt een andere plaatswaarde en het getal verandert. Nul voegt hier niets aan de som toe, maar geeft wel onmisbare informatie.

De Maya’s en de basis twintig

De Maya’s ontwikkelden in Meso-Amerika een rijke traditie van wiskunde, kalenderrekening en hemelobservatie. Hun cultuur behoort niet uitsluitend tot het verleden: ook vandaag leven er Mayagemeenschappen, onder meer in Mexico, Guatemala en Belize. Smithsonian, Living Maya Time Teacher Guide.

Hun getalnotatie steunt op twintig. Zo’n stelsel heet twintigtallig of vigesimaal. Om het principe te leren kennen, gebruiken we eerst de zuivere plaatswaarden 1, 20, 400 en 8000. Bij de historische kalenderrekening volgt verderop een belangrijke aanpassing.

Punten, strepen en een schelpvormig teken

In de bekende punt-streepnotatie telt een punt voor één en een horizontale streep voor vijf. Nul krijgt een afzonderlijk teken, vaak schelpvormig weergegeven. Daarmee kunnen de waarden 0 tot en met 19 worden gevormd. De tekens zijn te zien in het Smithsonian-lesmateriaal over Mayagetallen.

Schematisch overzicht van de Mayagetallen 0 tot en met 19, met punten voor eenheden, strepen voor vijftallen en een schelpvormig nulteken.

Eigen didactisch schema. Het nulteken is vereenvoudigd; historische tekens vertonen variatie.

Zo schrijf je 7 met twee punten boven één streep en 13 met drie punten boven twee strepen: $13=3+5+5$ . De grootste cijferwaarde, 19, bestaat uit vier punten en drie strepen.

Binnen één groep tellen we de punten en strepen op. Tussen verschillende groepen bepaalt de plaats de waarde. Twee strepen binnen dezelfde groep betekenen dus tien; ze vormen geen twee afzonderlijke plaatswaarden.

Getallen boven negentien

In de verticale notatie staan de eenheden onderaan en de twintigtallen daarboven. Bij twintig begint een nieuwe plaats: één twintigtal en nul eenheden.

De getallen 20 en 47 in verticale Mayanotatie, met per groep de plaatswaarde en bijdrage.

Eenheden onderaan, twintigtallen erboven. De kaders zijn moderne hulpmiddelen om de groepen te onderscheiden.

Voor 47 hebben we twee twintigtallen en zeven eenheden nodig:

$47=2\cdot20+7.$

De twee punten bovenaan dragen samen 40 bij. Onderaan vormen twee punten en één streep samen 7. Je leest dus eerst elke groep afzonderlijk en vermenigvuldigt de gevonden waarde met haar plaatswaarde.

Een groter getal ontleden

In het zuivere twintigstelsel is de derde plaats $20\cdot20=400$ waard. Schrijven we bijvoorbeeld 2026 in dat stelsel, dan zoeken we eerst hoeveel vierhonderdtallen erin passen:

$2026=5\cdot400+26=5\cdot400+1\cdot20+6.$

Van boven naar beneden krijgen we de cijferwaarden 5, 1 en 6.

2026 in het zuivere twintigstelsel: bovenaan vijf vierhonderdtallen, daaronder één twintigtal en onderaan zes eenheden.

Met moderne cijfers kunnen we dat verkort schrijven als $(5,1,6)_{20}$ . De komma’s scheiden de cijferwaarden; het kleine getal 20 vermeldt het grondtal. Dit is onze uitlegnotatie, geen historische Mayaschrijfwijze.

Controle: $2000+20+6=2026$ . Het getal blijft hetzelfde; alleen de schrijfwijze verandert.

Nul: zichtbaar maken wat ontbreekt

Neem in het zuivere twintigstelsel de cijferwaarden $(1,0,5)_{20}$ :

$1\cdot400+0\cdot20+5=405.$

In een verticale voorstelling staat bovenaan één punt, in het midden het nulteken en onderaan één streep. Het nulteken zegt: op deze plaats zijn er geen twintigtallen. Schuiven we de groepen samen door die nul weg te laten, dan blijft $(1,5)_{20}$ over:

$1\cdot20+5=25.$

De nul bewaart dus de structuur van het getal, net zoals in ons getal 305.

Historisch was het Mayagebruik van nul rijker dan één vast schelpteken. Onderzoek van inscripties en handschriften onderscheidt verschillende nultekens en bespreekt hun verband met afwezigheid en kalendernotatie. Daarom moeten we onderscheid maken tussen nul als plaatsaanduiding en de ruimere betekenissen die nul in een cultuur kon hebben. Een plaatsaanduiding toont op zichzelf ook nog niet aan dat alle moderne rekenregels met nul bekend waren. Anna Blume, Maya Concepts of Zero (2011).

De uitspraak ‘de Maya’s vonden de nul uit’ vraagt eveneens nuance. De geschiedenis van nul omvat verschillende ontwikkelingen, onder meer in Meso-Amerika en India. Ons huidige tientallige stelsel met nul is via de Indiase en de Arabischtalige wiskundige traditie overgeleverd. Het Mayagebruik is een andere historische ontwikkeling. MacTutor, Zero.

De kalender: 360 in plaats van 400

Wie een historische Mayadatering wil lezen, kan niet zomaar alle plaatswaarden door machten van twintig vervangen. In de Lange Telling, een kalendernotatie voor het tellen van dagen vanaf een vast beginpunt, zijn de eerste plaatswaarden:

$1,\quad20,\quad360,\quad7200,\quad144000.$

De afwijking zit bij de derde plaats: die is $18\cdot20=360$ dagen waard. Daarna wordt telkens weer met twintig vermenigvuldigd. Dit is een gemengd positiestelsel. MacTutor, Mayan mathematics.

Plaats, vanaf onderaan	Zuiver twintigstelsel	Lange Telling, in dagen
Eerste	1	1
Tweede	20	20
Derde	400	360
Vierde	8000	7200
Vijfde	160000	144000

Daardoor krijgen dezelfde cijferwaarden een andere betekenis. Eén op de derde plaats, met daaronder twee nullen, betekent in het zuivere twintigstelsel 400. Met de plaatswaarden van de Lange Telling betekent het 360 dagen.

Ook ons voorbeeld 2026 verandert van schrijfwijze. Met kalenderplaatswaarden wordt het:

$2026=5\cdot360+11\cdot20+6.$

De waarden zijn dan 5, 11 en 6, in plaats van 5, 1 en 6. De context is dus onmisbaar. De zuiver twintigtallige voorbeelden hierboven dienen om het plaatswaardeprincipe te leren; ze zijn geen transcripties van historische dateringen.

Zelf proberen

Gebruik voor deze oefeningen het zuivere twintigstelsel.

Welke cijferwaarden schrijf je van boven naar beneden voor 83? Teken ook de punten en strepen.
Welk getal is $(3,0,12)_{20}$ ?
Waarom heeft 400 twee nultekens nodig wanneer je het zonder vooraf getekende plaatsvakken schrijft?

Antwoorden. Voor 83 geldt $83=4\cdot20+3$ : vier punten bovenaan, drie punten onderaan, in twee aparte groepen. Verder is $(3,0,12)_{20}=3\cdot400+12=1212$ . Ten slotte is $400=1\cdot400+0\cdot20+0$ : beide nultekens houden een lagere plaats bezet.

Verder lezen

Smithsonian, Living Maya Time Teacher Guide: Maya’s, wiskunde en kalenders.
Smithsonian, Let’s Multiply—Maya Style!: getaltekens en plaatswaarden.
Anna Blume, Maya Concepts of Zero, Proceedings of the American Philosophical Society 155(1), 2011, pp. 51–88: de verschillende Mayatekens en betekenissen van nul.
MacTutor, Mayan mathematics en Zero: historische achtergrond.

De afbeeldingen en rekenvoorbeelden zijn voor dit artikel gemaakt. Het zijn didactische schema’s, geen kopieën van historische inscripties.