De groepsring F2C4 – Wiskundemagie

Hoeveel structuur kan een ring met slechts zestien elementen bevatten? In $R=\mathbb{F}_2C_4$ vormen de idealen een ketting, hebben de eenheden verschillende orden en blijft een nilpotent element tot zijn derde macht niet nul. De unitaire Cayleygraaf toont een eenvoudiger beeld: twee groepen van acht toppen, met alle verbindingen ertussen.

We bouwen de ring stap voor stap op en verklaren hoe haar eenheden, Jacobsonradicaal en quotiëntring samen de graaf bepalen.

De zestien elementen

Neem het veld $\mathbb{F}_2=\{0,1\}$ en de cyclische groep $C_4=\langle g\mid g^4=1\rangle$ . Een element van de groepsring is een formele som

$a+bg+cg^2+dg^3,\qquad a,b,c,d\in\mathbb{F}_2.$

De vier coëfficiënten kunnen onafhankelijk $0$ of $1$ zijn. Daarom heeft $R$ precies $2^4=16$ elementen. We tellen coëfficiënten op modulo $2$ en vermenigvuldigen met $g^4=1$ . De ring is commutatief, heeft karakteristiek $2$ en heeft als additieve groep $C_2\times C_2\times C_2\times C_2$ .

Omdat de karakteristiek $2$ de groepsorde $4$ deelt, is dit een voorbeeld uit het modulaire geval. De groepsring is niet semisimpel; hieronder zien we dat concreet aan haar niet-triviale Jacobsonradicaal.

Augmentatie: eenheden tegenover nilpotenten

De augmentatie telt de coëfficiënten op:

$\varepsilon(a+bg+cg^2+dg^3)=a+b+c+d.$

Dit is een surjectief ringhomomorfisme van $R$ naar $\mathbb{F}_2$ . Voor $z=a+bg+cg^2+dg^3$ verdwijnen bij kwadrateren alle kruistermen, zodat

$\begin{aligned} z^2&=(a+c)+(b+d)g^2,\\ z^4&=a+b+c+d=\varepsilon(z). \end{aligned}$

Als $\varepsilon(z)=1$ , dan is $z^4=1$ . Het element is een eenheid, met inverse $z^3$ .
Als $\varepsilon(z)=0$ , dan is $z^4=0$ . Het element is nilpotent en geen eenheid. Is het niet nul, dan is het een niet-triviale nuldeler.

Er zijn dus acht eenheden en zeven niet-triviale nuldelers. De niet-triviale nuldelers zijn hier precies de niet-triviale nilpotenten.

Nilpotentie-indices en idempotenten

Zet $\eta=1+g$ . Dan

$\begin{aligned} \eta^2&=1+g^2,\\ \eta^3&=1+g+g^2+g^3\neq0,\\ \eta^4&=0. \end{aligned}$

Het element $\eta$ heeft dus nilpotentie-index $4$ : de vierde macht is de eerste macht die nul wordt. Vermenigvuldiging met de eenheden $g$ , $g^2$ en $g^3$ bewaart die index. De andere drie niet-triviale nilpotenten hebben kwadraat nul.

Niet-triviale nilpotenten	Index
$1+g$ , $g+g^2$ , $g^2+g^3$ , $1+g^3$	$4$
$1+g^2$ , $g+g^3$ , $1+g+g^2+g^3$	$2$

Er zijn geen elementen met nilpotentie-index $3$ . Ook zijn er geen niet-triviale idempotenten: als $e^2=e$ , dan is $e^4=e$ , terwijl $e^4=\varepsilon(e)\in\{0,1\}$ . De enige idempotenten zijn dus $0$ en $1$ .

De eenhedengroep

De eenheden zijn de vier groepselementen en de vier drietermen. Hun inversen en multiplicatieve orden zijn:

Eenheid	Inverse	Orde
$1$	$1$	$1$
$g$	$g^3$	$4$
$g^2$	$g^2$	$2$
$g^3$	$g$	$4$
$1+g+g^2$	$1+g^2+g^3$	$4$
$1+g+g^3$	$1+g+g^3$	$2$
$1+g^2+g^3$	$1+g+g^2$	$4$
$g+g^2+g^3$	$g+g^2+g^3$	$2$

Neem $v=1+g+g^3$ . Het element $g$ heeft orde $4$ , terwijl $v$ orde $2$ heeft en niet in $\langle g\rangle$ ligt. Omdat de ring commutatief is, vormen de acht producten $g^iv^j$ , met $0\leq i<4$ en $0\leq j<2$ , alle eenheden. Bijgevolg

$\begin{aligned} U(R)&=\langle g\rangle\times\langle1+g+g^3\rangle\\ &\cong C_4\times C_2. \end{aligned}$

Er zijn vier eenheden van orde $4$ , drie van orde $2$ en één van orde $1$ .

Het Jacobsonradicaal en alle idealen

Het augmentatie-ideaal is de kern van de augmentatie:

$I(R)=\{a+bg+cg^2+dg^3\mid a+b+c+d=0\}.$

Omdat $R/I(R)\cong\mathbb{F}_2$ , is dit ideaal maximaal. Alle elementen erbuiten zijn eenheden. Elk echt ideaal ligt daarom in $I(R)$ , zodat dit het unieke maximale ideaal is. De ring is lokaal en haar Jacobsonradicaal, de doorsnede van de maximale idealen, is

$J=J(R)=I(R)=(1+g)=(\eta).$

De elementen $1,\eta,\eta^2,\eta^3$ vormen een basis over $\mathbb{F}_2$ . In deze basis bestaat $J$ precies uit de elementen met constante term nul. De machten van $J$ geven de volgende idealen:

Ideaal	Generator	Aantal elementen
$R$	$1$	$16$
$J$	$1+g$	$8$
$J^2$	$1+g^2$	$4$
$J^3$	$1+g+g^2+g^3$	$2$
$J^4=(0)$	$0$	$1$

In het bijzonder is $J^2=\{0,1+g^2,g+g^3,1+g+g^2+g^3\}$ en $J^3=\{0,1+g+g^2+g^3\}$ .

Waarom zijn dit alle idealen? Elk niet-nul element is van de vorm $\eta^k w$ , met $w$ een eenheid en $k$ de kleinste exponent die voorkomt in de η-basis. Kies in een niet-nul ideaal een element waarvoor $k$ minimaal is. Door vermenigvuldiging met $w^{-1}$ bevat dat ideaal $\eta^k$ . Alle andere elementen ervan zijn veelvouden van $\eta^k$ . Het ideaal is dus precies $(\eta^k)$ .

Alle idealen liggen bijgevolg in één ketting:

$R\supset J\supset J^2\supset J^3\supset(0).$

Het idealenrooster van F2C4: van beneden naar boven het nulideaal, J tot de derde macht, J tot de tweede macht, J en R, met respectievelijk 1, 2, 4, 8 en 16 elementen. — De vijf idealen vormen een ketting. Inclusie loopt naar boven; rechts staat het aantal elementen. J is het unieke maximale ideaal.

De groepsring F₂C₄ is een lokale kettingring. Ze heeft drie niet-triviale echte idealen, die allemaal machten van het Jacobsonradicaal zijn.

Eén nilpotente richting, tot de vierde macht

De groepsrelatie $g^4=1$ geeft een beschrijving als quotiënt van een veeltermring. In karakteristiek $2$ is $x^4-1=(x+1)^4$ , zodat

$\begin{aligned} \mathbb{F}_2C_4&\cong\mathbb{F}_2[x]/(x^4-1)\\ &\cong\mathbb{F}_2[\eta]/(\eta^4),\qquad \eta=x+1. \end{aligned}$

We rekenen dus met veeltermen in $\eta$ , waarbij termen vanaf graad $4$ verdwijnen. Het isomorfisme, bepaald door $g\mapsto1+\eta$ , is expliciet

$\begin{aligned} \Phi(a+bg+cg^2+dg^3) ={}&(a+b+c+d)+(b+d)\eta\\ &+(c+d)\eta^2+d\eta^3. \end{aligned}$

Omgekeerd geldt

$\begin{aligned} \Phi^{-1}(r+s\eta+t\eta^2+u\eta^3) ={}&(r+s+t+u)+(s+u)g\\ &+(t+u)g^2+ug^3. \end{aligned}$

Dit veralgemeent de duale getallen $\mathbb{F}_2[\eta]/(\eta^2)$ , die we bij $\mathbb{F}_2C_2$ ontmoeten. Hier blijven ook de tweede en derde macht van $\eta$ niet nul. De opeenvolgende lagen $R/J$ , $J/J^2$ , $J^2/J^3$ en $J^3/J^4$ zijn elk eendimensionaal over $\mathbb{F}_2$ . Ze worden respectievelijk voortgebracht door de klassen van $1$ , $\eta$ , $\eta^2$ en $\eta^3$ .

De quotiëntring en haar kleine graaf

Modulo $J$ blijft alleen de augmentatie over. De quotiëntring $R/J\cong\mathbb{F}_2$ heeft twee elementen: $J$ en $1+J$ . Het tweede is de enige eenheid.

De unitaire Cayleygraaf van een ring heeft haar ringelementen als toppen. Twee verschillende toppen zijn verbonden wanneer hun verschil een eenheid is. Voor $R/J$ geeft dit één rand:

$\operatorname{Cay}(R/J)\cong K_2.$

De graaf K2 van de quotiëntring R modulo J: de twee toppen J en 1 plus J zijn verbonden. — De twee toppen van K₂ zijn de nevenklassen J en 1 + J. Iedere klasse bevat acht elementen van de oorspronkelijke ring.

De unitaire Cayleygraaf van F₂C₄

Nu nemen we alle zestien elementen van $R$ als toppen. In karakteristiek $2$ is $x-y=x+y$ . Omdat een element een eenheid is precies wanneer zijn augmentatie $1$ is, geldt

$x\sim y\quad\Longleftrightarrow\quad\varepsilon(x)\neq\varepsilon(y).$

Elke top is verbonden met de acht elementen met de andere augmentatie. De graaf is dus 8-regulier. De handshakingformule geeft $16\cdot8/2=64$ randen.

Eerst: alle toppen op een cirkel

Voor leesbare labels schrijven we $J=\{j_0,\ldots,j_7\}$ en $U(R)=\{u_0,\ldots,u_7\}$ , met $u_i=1+j_i$ . Deze tabel bevat alle zestien ringelementen:

i	jᵢ ∈ J	uᵢ = 1 + jᵢ ∈ U(R)
0	$0$	$1$
1	$1+g$	$g$
2	$1+g^2$	$g^2$
3	$1+g^3$	$g^3$
4	$g+g^2$	$1+g+g^2$
5	$g+g^3$	$1+g+g^3$
6	$g^2+g^3$	$1+g^2+g^3$
7	$1+g+g^2+g^3$	$g+g^2+g^3$

We plaatsen de toppen afwisselend in de volgorde $j_0,u_0,j_1,u_1,\ldots,j_7,u_7$ op een cirkel. Blauw staat voor $J$ , rood voor de eenheden. Iedere blauwe top is verbonden met alle rode toppen. Naast de cirkelrand horen dus ook alle getekende koorden bij de graaf.

De unitaire Cayleygraaf van F2C4 op een cirkel: acht blauwe toppen j0 tot j7 en acht rode toppen u0 tot u7, met alle 64 verbindingen tussen verschillende kleuren. — De cirkelopstelling toont alle zestien toppen en alle 64 randen. Kruisingen van randen zijn geen extra toppen.

Daarna: de twee bipartiete delen

Door de nevenklassen $J$ en $1+J$ apart te tekenen, wordt de structuur duidelijker. Binnen elk deel zijn er geen randen. Tussen de twee delen zijn alle verbindingen aanwezig. Daarom

$\operatorname{Cay}(\mathbb{F}_2C_4)\cong K_{8,8}.$

De volledige bipartiete graaf K8,8 met links de acht gelabelde elementen van het Jacobsonradicaal en rechts de acht gelabelde eenheden; elk links element is verbonden met elk rechts element. — Dezelfde graaf als K₈,₈. Links staat J = I(R), rechts staat 1 + J = U(R). Labels, kleur en positie geven samen de twee nevenklassen aan.

Rechtstreeks tellen geeft opnieuw $8\cdot8=64$ randen. We kunnen deze graaf opbouwen uit de eerder getekende $K_2$ van $R/J$ : vervang iedere top door de acht elementen van haar nevenklasse en vervang de ene rand door alle verbindingen tussen de klassen.

De twee delen laten de lokale structuur zien: de niet-eenheden vormen het unieke maximale ideaal J, en de quotiëntring heeft precies twee elementen. De graaf registreert de nevenklassen van J en hun gemeenschappelijke grootte.

Afstanden en sommen van eenheden

Toppen in verschillende delen liggen op afstand $1$ . Twee verschillende toppen in hetzelfde deel hebben een gemeenschappelijke buur en liggen op afstand $2$ . De graaf is dus samenhangend en heeft diameter $2$ .

Een pad vanaf $0$ komt overeen met het achtereenvolgens optellen van eenheden. De diameter betekent daarom dat ieder element een som van ten hoogste twee eenheden is. Voor $z\in J$ is een expliciete voorstelling

$z=1+(1+z).$

Beide termen zijn eenheden, want hun augmentatie is $1$ . Zo is $0=1+1$ en is $1+g+g^2+g^3=1+(g+g^2+g^3)$ . Een eenheid zelf is al een som van één eenheid.

Een eenheid is echter geen som van precies twee eenheden: zo’n som heeft augmentatie $1+1=0$ . De sommen van precies twee eenheden vormen dus precies $J$ . Algemeen heeft een som van $k$ eenheden augmentatie $k$ modulo $2$ . Die pariteit wordt zichtbaar in het afwisselen van de twee delen langs een pad.

Wat de graaf niet vertelt

Alle elementen van $J$ hebben dezelfde buren. De graaf maakt daarom geen onderscheid tussen de kleinere idealen $J^2$ en $J^3$ , en ook niet tussen nilpotentie-index $2$ en $4$ .

Een verwante groepsring is $S=\mathbb{F}_2(C_2\times C_2)$ . Daar geldt voor ieder element $z$ al $z^2=\varepsilon(z)$ , omdat elk groepselement kwadraat $1$ heeft. Ook die ring heeft acht eenheden en een Jacobsonradicaal van acht elementen met restveld $\mathbb{F}_2$ . Haar unitaire Cayleygraaf is eveneens $K_{8,8}$ .

Toch zijn de twee ringen niet isomorf: $R$ bevat een nilpotent element met index $4$ , terwijl elke niet-triviale nilpotent in $S$ kwadraat nul heeft. Isomorfe unitaire Cayleygrafen betekenen dus niet dat de onderliggende groepsringen isomorf zijn.