exponentiële vergelijking | Wiskunde is leuk

Berekenen alle paren positieve gehele getallen x en y waarvoor
$\frac{1}{\log_x 10}+\frac{1}{\log_y 10}$
een positief geheel getal is met $1<x,y \leq 100$ .

Antwoord

Het is duidelijk dat de oplossingen symmetrisch zijn: als (a,b) een oplossing is dan ook (b,a).
Door gebruik van de formule voor verandering grondtal kunnen we de gegeven uitdrukking herleiden tot $\log x+\log y=\log(xy)$ .
Dus moet $\log(xy)=k$ met k een positief geheel getal; bijgevolg is $xy=10^k$ .
Maar $1<xy \leq 10^4$ , dus is k=1,2,3 of 4.
Voor k = 1 vinden we de oplossingen (2,5) en (5,2).
Voor k = 2 vinden we (2,50), (50,2), (4,25), (25,4), (5,20), (20,5) en (10,10).
Voor k = 3 krijgen we (10,100), (100,10), (20,50), (50,20), (25,40), (40,25).
Voor k = 4 tenslotte vinden we enkel (100,100).