Nootje 16

Berekenen alle paren positieve gehele getallen x en y waarvoor

    \[\frac{1}{\log_x 10}+\frac{1}{\log_y 10}\]

een positief geheel getal is met 1<x,y \leq 100.

Antwoord

  • Het is duidelijk dat de oplossingen symmetrisch zijn: als (a,b) een oplossing is dan ook (b,a).
  • Door gebruik van de formule voor verandering grondtal kunnen we de gegeven uitdrukking herleiden tot \log x+\log y=\log(xy).
  • Dus moet \log(xy)=k met k een positief geheel getal; bijgevolg is xy=10^k.
  • Maar 1<xy \leq 10^4, dus is k=1,2,3 of 4.
  • Voor k = 1 vinden we de oplossingen (2,5) en (5,2).
  • Voor k = 2 vinden we (2,50), (50,2), (4,25), (25,4), (5,20), (20,5) en (10,10).
  • Voor k = 3 krijgen we (10,100), (100,10), (20,50),  (50,20), (25,40), (40,25).
  • Voor k = 4 tenslotte vinden we enkel (100,100).