Wiskunde is leuk

Nootje 70

Geplaatst op 4 maart 2026 door admin

Bepaal de som A van alle natuurlijke getallen tussen $\sqrt[3]{2026}$ en $\sqrt{2026}$ .

Antwoord

Omdat $12^3=1728$ en $13^3=2197$ weten we dat $12<\sqrt[3]{2026}<13}$ .
Omdat $45^2=2025$ en $46^2=2116$ weten we dat $45<\sqrt{2026}<46$ .
Dan is $A=13+14+\cdots+45$ .
We kunnen deze som berekenen door de formule te gebruiken van de som van de termen van een rekenkundige rij. Deze som is het product van het gemiddelde van de eerste en laatste term met het aantal termen.
Bijgevolg is
$A=\frac{13+45}{2}\times 33=957$

Nootje 69

Geplaatst op 15 februari 2026 door admin

Zoek een getal x zodat x en x+1 allebei zes delers hebben.

Antwoord

Het aantal delers van een getal wordt bepaald door het product van factoren $e_i+1$ waarbij $e_i$ de exponent is van een priemfactor $p_i$ in de ontbinding in factoren.
Omdat $6=6\times 1$ of $6=3\times 2$ , is het gezochte getal x van de vorm $p^5$ of $p^2q$ .
Er zullen waarschijnlijk meerdere oplossingen bestaan, maar wij zoeken naar de kleinste. Neem dan $x=2^2q$ en $x+1=3^2r$ .
Hieruit volgt dat $4q+1=9r$ ; De kleinste waarde ( $q=2$ kan niet want q is een priemfactor verschillend van 2) die hieraan voldoet is $p=11$ en $r=5$ .
Bijgevolg is $x=44$ .
Als je $x+1$ van de vorm $p^5$ neemt vind je ook snel een oplossing: $x+1=3^5=243$ , dan is $x=242=2\times 11^2$ . Dus 242 is ook een oplossing

Nootje 68

Geplaatst op 12 februari 2026 door admin

Bereken zonder rekentoestel:

Antwoord

Er kan nergens ontbonden worden in factoren.
Gebruik makend van de symmetrie, kan je een gepast substitutie uitvoeren.
Stel x = 2025
De opgave wordt dan
$\frac{x^2+1}{(x-1)^2+(x+1)^2}$
De noemer wordt $x^2-2x+1+x^2+2x+1=2(x^2+1)$ .
Bijgevolg is de opgave gelijk aan $\frac{1}{2}$ .

Nootje 67

Geplaatst op 6 februari 2026 door admin

Zoek een natuurlijk getal n zodat 4n+808 en 9n+1621 allebei volkomen kwadraten zijn.

Antwoord

Er moet dus een natuurlijk getal p en q bestaan waarvoor geldt dat $p^2=4n+808$ en $q^2=9n+1621$ .
Bereken nu $9p^2-4q^2$ . Dit geeft de waarde $788=2^2. 197$ .
Door ontbinding in factoren vinden we dat $(3p-2q)(3p+2q)=2^2.197$ .
Daaruit volgt dat $(3p-q,3p+q)=(1,788)$ of $(2,394)$ of $(4,197)$ .
Enkel de tweede mogelijk kan en dan vinden we $p=66$ en $q=98$ .
Dan vinden we dat $n=887$ .

Nootje 66

Geplaatst op 21 november 2025 door admin

Hoeveel drietallen niet-negatieve getallen (x,y,z) voldoen aan

Antwoord

$(x+1)(y+1)(z+1)= xyz+xy+xz+yz+x+y+z+1$ , dus de opgegeven vergelijking is te herschrijven als $(x+1)(y+1)(z+1)-1=2025$ of
$(x+1)(y+1)(z+1)=2026=2026$
Nu kan je 2026 herschrijven als $1*1*2026$ of $1*2*1013$ .
Met de ontbinding $1*1*2026$ kan je 3 drietallen $(x,y,z)$ vormen.
Met de ontbinding $1*2*1013$ kan je $3!=6$ drietallen vormen.
Er zijn dus 9 drietallen die voldoen aan de gegeven vergelijking.