Categorie archieven: Kleine nootjes

Nootje 59

Geplaatst op door

Bereken:

    \[I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^n x}{\sin^n x+\cos^n x} dx\]

Antwoord

  • We voeren een substitutie uit: t=\frac{\pi}{2}-x.
  • Dan is

        \[I=\int_{\frac{\pi}{2}}^0\frac{\sin^n t}{\sin^n t+\cos^n t} (-dt)\]

  • Het minteken gebruiken we om de grenzen om te draaien. Dus: 

        \[I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^n t}{\sin^n t+\cos^n t} dt\]

  • Door dit resultaat op te tellen bij de opgaven vinden we dat 2I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} dx
  • Dus I=\frac{\pi}{4}.
  • We kunnen dit veralgemenen tot

        \[\int_a^b\frac{f(x)}{f(x)+f(a+b-x)} dx=\frac{b-a}{2}\]

    Je kan deze formule bewijzen door de substitutie x=a+b-t uit te voeren en dan verder te werken zoals hierboven.

 

Nootje 58

Geplaatst op door

In een rechthoekige driehoek met zijden 3,4 en 5 teken je de ingeschreven cirkel en een cirkel die daaraan raakt en ook raakt aan twee zijden van de driehoek, zoals in onderstaande tekening. Bepaal de straal van de kleinste cirkel.

Antwoord

  • Noem R de straal van de ingeschreven cirkel,  dan moet 3-R+4-R=5, omdat raaklijnen getrokken aan een cirkel uit een bepaald punt, even lang zijn. Dus is R=1.
  • Noem r de straal van de kleine cirkel.
  • De aangegeven afstand vind je ofwel via de stelling van Pythagoras ofwel via de gelijkvormigheid van driehoeken.
  • Dan is 1+r+\sqrt{10}r=\sqrt{10}, waaruit volgt dat

        \[r=\frac{\sqrt{10}-1}{\sqrt{10}+1}\]

 

Nootje 57

Geplaatst op door

Een getal van 5 cijfers is een veelvoud van 41. Als het meest links geschreven cijfer helemaal achteraan wordt geplaatst en dus het laatste cijfer wordt, dan is het nieuwe getal een volkomen derde macht; Welk is het oorspronkelijk getal

Antwoord

  • Noem x het gezochte getal; zij a het eerste cijfer van x en b het getal gevormd door de laatste 4 cijfers van x.
  • Dan is x=a.10^4+b. 
  • Nu moet dus a.10^4+b=41m en 10b+a=k^3.
  • Omdat k^3 een getal is van 5 cijfers, zal 22 \leq k\leq 46.
  • Uit de tweede voorwaarde vinden we dat a=k^3-10b. Ingevuld in de eerste voorwaarde geeft dit (k^3-10b).10^4+b=41m, of uitgewerkt:

        \[10^4k^3-99999b=41m\]

  • 41 is een deler van het rechter lid en 41 is ook een deler van 99999 omdat 99999 = 41*2439. Dus moet k^3 een veelvoud zijn van 41 en rekening houdend met 22 \leq k\leq 46 volgt hieruit dat k=41 en k^3=68921.
  • Het gevraagde getal is dus 16892

 

 

Nootje 56

Geplaatst op door

Bepaal alle rijen opeenvolgende natuurlijke getallen n, n+1,n+2, …,n+k waarvan de som van de termen gelijk is aan 1000

Antwoord

  • De som van deze termen is de som van termen van een rekenkundige rij en wordt gegeven door het gemiddelde van de eerste term (n)  en de laatste term (n+k) te vermenigvuldigen met het aantal termen (k+1):
  • Dus S=\frac{1}{2}(k+1)(2n+k)=1000=2^3.5^3. Bijgevolg moet

        \[(k+1)(2n+k)=2^4.5^3\]

  • We kunnen nu twee gevallen onderzoeken: eerst onderzoeken we de situatie als k even is, dan is k+1 oneven en 2n+k even en dit levert volgende mogelijkheden
    k+1=1 en 2n+k=2000 dus k=0 en n=1000 (triviale oplossing)
    k+1=5 en 2n+k= 400 dus k=4 en n= 198
    k+1=25 en 2n+k=80 dus k=24 en n=28
    k+1=125 en 2n+k= 16 dus k=124 en n=-56 ( geen goede oplossing)
  • Stel dat k oneven is, dan is k+1 even en 2n+k oneven en dan is de enige mogelijkheid k+1=16 en 2n+k=125, dus k=15 en n=55
  • Er zijn dus 4 oplossingen:
    1000
    198,199,200,201,202
    28,29,…,51,52
    55,56,…,69,70

Nootje 55

Geplaatst op door

Bepaal de oppervlakte  van het blauwe deel, beschreven door twee halve cirkels in een vierkant met zijde 8 cm.

Antwoord

Bij dit soort opgaven is het handig om tekening te “herschikken”:

En dan is het duidelijk dat het blauwe gebied eigenlijk een half vierkant vormt. De oppervlakte is dan \frac{1}{2}8^2=32 vierkante centimeter.