Nootje 24

De zijden van een driehoek zijn 18,24 en 30. Vind de oppervlakte van de driehoek gevormd door het zwaartepunt en de middelpunten van om- en ingeschreven cirkel.

Antwoord

 

 

  • Omdat 18,24 en 30 gelijke veelvouden zijn van 3,4,en 5 is de gegeven driehoek rechthoekig.
  • We kunnen er dus voor zorgen dat de punten A,B en C gegeven zijn door A(0,0), B(0,18) en C(24,0).
  • Het zwaartepunt Z vind door de coördinaten op te tellen en te delen door 3, dus Z(8,6).
  • Omdat de driehoek rechthoekig is , ligt het middelpunt van de ongeschreven cirkel O, in het midden van de schuine zijde. Bijgevolg is O(12,9).
  • Als we het middelpunt I van de ingeschreven cirkel verbinden met de hoekpunten en de oppervlakte van de 3 gevormde driehoeken optellen, vinden we dat de oppervlakte van de gegeven driehoek gelijk is aan de halve omtrek, vermenigvuldigd met de straal r van de ingeschreven cirkel. Hieruit vinden we dat r = 6 en dus is I(6,6).
  • De driehoek ZOI heeft als basis |ZI|=2 en als hoogte h=9-6=3. De gevraagde oppervlakte bedraagt dus 3 oppervlakte eenheden.

 

Nootje 23

Bereken de oppervlakte van het gebied bepaald door

    \[|x|+|y|+|x+y|\leq 1\]

Antwoord

 

 

  • In het eerste kwadraat is x>0 en y>0 en dus ook x+y>0. De gegeven ongelijkheid wordt dan x+y\leq \frac{1}{2}.
  • In het derde kwadrant is x<0 en y<0 en dus ook x+y<0. De ongelijkheid wordt dan x+y\geq -\frac{1}{2}.
  • In het tweede kwadrant is x<0 en y>0. Als x+y>0 wordt de ongelijkheid  y\leq \frac{1}{2}. Is echter x+y<0, dan verkrijgen we x\geq -\frac{1}{2}
  • In het vierde kwadrant tenslotte is x>0 en y<0. Als x+y>0, dan is de ongelijkheid x\leq \frac{1}{2}. Is daarentegen x+y<0, dan krijgen we y\geq - \frac{1}{2}
  • Het stelsel van al die ongelijkheden geeft volgend gebied in het vlak:
  • In deze figuur herkennen we gemakkelijk drie vierkanten met zijde 1. De oppervlakte is dus 3 oppervlakte eenheden