Eindige groepsringen: inleiding

Een eindige groepsring brengt de structuur van een eindige ring en een eindige groep samen. Omdat de groepsring zelf eindig is, kunnen haar elementen en idealen in concrete voorbeelden volledig worden onderzocht. In dit artikel voeren we de basisbegrippen in en schetsen we de vier fundamentele situaties die de verdere studie bepalen.

Eindige groepsringen

Laat $R$ een eindige ring zijn en $G$ een eindige groep. De groepsring $RG$ bestaat uit alle formele sommen

$\sum_{g\in G} a_g g, \qquad a_g\in R.$

De optelling gebeurt coëfficiëntsgewijs en de vermenigvuldiging wordt bepaald door distributiviteit en de groepswet in $G$ .

Wanneer $G=\{g_1,\ldots,g_n\}$ , schrijven we een algemeen element vaak als

$a_1g_1+a_2g_2+\cdots+a_ng_n.$

Laat $|R|=q$ en $|G|=n$ . Dan geldt

$|RG|=q^n.$

Het aantal elementen van een eindige groepsring is dus altijd een zuivere macht. De kleinste mogelijkheden zijn

$4,8,9,16,25,27,32,36,49,64,81,\ldots$

In de integrale groepsring $\mathbb{Z}G$ staat de studie van eenheden centraal en leidt de Wedderburn-ontbinding van $\mathbb{Q}G$ tot aritmetische vragen over orden en eenheidsgroepen. In eindige groepsringen $RG$ verandert het perspectief. Omdat de ring zelf eindig is, is elk element ofwel een eenheid ofwel een nuldeler. Daardoor komen naast eenheden ook nuldelers, nilpotenten, idempotenten en radicalen centraal te staan. De studie van eindige groepsringen combineert groepentheorie, ringtheorie en lineaire algebra.

Belangrijke soorten elementen

Eenheden

Een element $u\in RG$ heet een eenheid indien er een element $v\in RG$ bestaat zodat

$uv=vu=1.$

De verzameling van alle eenheden wordt genoteerd door

$U(RG).$

Nuldelers

Een niet-nul element $a\in RG$ heet een nuldeler indien er een niet-nul element $b\in RG$ bestaat zodat

$ab=0.$

Idempotenten

Een element $e\in RG$ heet een idempotent indien

$e^2=e.$

Nilpotenten

Een element $x\in RG$ heet nilpotent indien er een geheel getal $n\geq 1$ bestaat zodat

$x^n=0.$

Het Jacobsonradicaal

Laat $R$ een ring zijn. Het Jacobsonradicaal van $R$ , genoteerd door

$J(R),$

is de doorsnede van alle maximale linksidealen van $R$ .

Het Jacobsonradicaal speelt een fundamentele rol in de studie van eindige groepsringen. Het beschrijft in zekere zin het niet-semisimpele of nilpotente deel van de ring. In een eindige ring is het Jacobsonradicaal een nilpotent ideaal; in het bijzonder is elk element van $J(R)$ nilpotent. De omgekeerde uitspraak, dat elk nilpotent element tot $J(R)$ behoort, geldt niet voor willekeurige niet-commutatieve ringen. Voor commutatieve ringen geldt zij wel. De concrete groepsringen die in de eerste voorbeelden worden behandeld, zijn commutatief.

We vermelden enkele belangrijke eigenschappen.

In een eindige ring is een element een niet-eenheid als en slechts als het een nuldeler is.
Voor eindige ringen vallen linker- en rechterradicalen samen.
Een element $x\in R$ behoort tot $J(R)$ als en slechts als voor alle $r\in R$ het element $1-rx$ een eenheid is. Deze karakterisatie is vaak zeer nuttig in concrete berekeningen.
$J(R)$ is een tweezijdig ideaal van $R$ .
Indien $R$ eindig is, dan is elk element van $J(R)$ nilpotent.
De quotiëntring $R/J(R)$ heeft geen niet-triviale nilpotente idealen.
Een ring $R$ heet semisimpel indien $J(R)=0$ . Is de ring semisimpel, dan kan zij vaak worden ontbonden als een product van velden of matrixringen. Wanneer $J(R)\neq 0$ , bevat de ring nilpotente elementen en wordt de structuur aanzienlijk ingewikkelder.
In een eindige ring zijn de elementen van de vorm $1+x$ , met $x\in J(R)$ , altijd eenheden.

De unitaire Cayleygraaf

Aan een eindige ring $R$ met eenheid kan een graaf gekoppeld worden die de eenheden van $R$ zichtbaar maakt.

Definitie. De unitaire Cayleygraaf van $R$ , genoteerd door

$\Gamma(R)=\operatorname{Cay}(R),$

heeft de elementen van $R$ als toppen. Twee verschillende toppen $a$ en $b$ zijn verbonden indien

$a-b\in U(R).$

Omdat met $u$ ook $-u$ een eenheid is, is deze verbinding symmetrisch. De buren van $0$ zijn precies de eenheden van $R$ . De graaf vormt dus een visuele voorstelling van welke elementen in de ring inverteerbaar zijn. Meer algemeen zijn de buren van $a$ precies de elementen $a+u$ met $u\in U(R)$ . Elke top heeft daarom $|U(R)|$ buren. De unitaire Cayleygraaf is bijgevolg een reguliere graaf, waarvan de graad meteen het aantal eenheden van de ring geeft.

Translaties en samenhang

Optellen met een vast ringelement behoudt de graaf: voor alle $r\in R$ geldt

$(a+r)-(b+r)=a-b.$

Daardoor ziet de graaf er rond iedere top hetzelfde uit. Dit weerspiegelt de additieve structuur van de ring, terwijl de keuze van de verbindingen door de vermenigvuldiging wordt bepaald, want juist de multiplicatief inverteerbare elementen worden als verschillen toegelaten.

Ook de samenhang bevat ringinformatie. De component van $0$ bestaat uit de additieve ondergroep van $(R,+)$ die door $U(R)$ wordt voortgebracht. De overige componenten zijn de nevenklassen van deze ondergroep. De graaf is dus samenhangend indien en slechts indien de eenheden de additieve groep van de ring voortbrengen.

Afstand, diameter en sommen van eenheden

Ook afstand heeft hier een directe algebraïsche betekenis. Veronderstel dat $\Gamma(R)$ samenhangend is. Een pad van $0$ naar $a$ van lengte $k$ komt overeen met een voorstelling van $a$ als een som van $k$ eenheden. Preciezer geldt

$d(0,a)=\min\bigl\{k\geq 0 : a=u_1+\cdots+u_k, \quad u_i\in U(R)\bigr\},$

waarbij voor $k=0$ de lege som gelijk is aan $0$ . Omdat translatie met een vast ringelement de graaf behoudt, is de diameter het maximum van deze minimale aantallen. Bijgevolg geldt

$\operatorname{diam}(\Gamma(R))\leq k$

dan en slechts dan als ieder element van $R$ kan worden geschreven als een som van ten hoogste $k$ eenheden. De eigenschap dat ieder element een som van juist $k$ eenheden is, is een andere eigenschap en wordt niet rechtstreeks door de diameter beschreven.

Directe producten

Voor een product van eindige ringen geldt

$U(R_1\times R_2)=U(R_1)\times U(R_2).$

Bijgevolg zijn $(a_1,a_2)$ en $(b_1,b_2)$ in de bijbehorende unitaire Cayleygraaf precies dan verbonden wanneer zowel $a_1-b_1$ als $a_2-b_2$ een eenheid is. Zo kan een productontbinding van een ring rechtstreeks worden weerspiegeld in de manier waarop de verbindingen per component worden opgebouwd.

Het Jacobsonradicaal en de quotiëntgraaf

Ook het Jacobsonradicaal $J(R)$ is in de graaf zichtbaar. Beschouw de natuurlijke projectie

$\pi:R\longrightarrow R/J(R).$

Een element van $R$ is een eenheid precies dan wanneer zijn beeld in $R/J(R)$ een eenheid is. Met andere woorden,

$U(R)=\pi^{-1}\bigl(U(R/J(R))\bigr).$

Stelling. De graaf $\Gamma(R)$ ontstaat uit $\Gamma(R/J(R))$ door iedere top te vervangen door de onafhankelijke verzameling van $|J(R)|$ elementen in de bijbehorende nevenklasse. Twee zulke verzamelingen zijn volledig met elkaar verbonden precies wanneer de overeenkomstige toppen in $\Gamma(R/J(R))$ verbonden zijn.

Of twee toppen verbonden zijn, hangt dus alleen af van hun nevenklassen modulo $J(R)$ . De graaf maakt daarmee zichtbaar hoe het radicale deel boven de doorgaans eenvoudigere quotiëntstructuur ligt.

Eindige lokale ringen

Gevolg. Zij $R$ een eindige lokale ring met Jacobsonradicaal $J$ en restveld

$R/J\cong\mathbb{F}_q.$

Dan is

$\Gamma(R)\cong K_{\underbrace{|J|,\ldots,|J|}_{q\text{ delen}}}.$

De $q$ nevenklassen van $J$ zijn de delen van deze volledige multipartiete graaf. De graaf is bipartiet precies als $q=2$ en heeft, wanneer $J\neq 0$ , diameter $2$ . Zo worden zowel het aantal restklassen als hun gemeenschappelijke grootte zichtbaar.

Een korte illustratie: $\mathbb{F}_2C_2$

Voor $R=\mathbb{F}_2C_2$ geldt

$\mathbb{F}_2C_2/J(R)\cong\mathbb{F}_2 \qquad\text{en}\qquad |J(R)|=2.$

De algemene beschrijving voor eindige lokale ringen geeft daarom meteen

$\Gamma(\mathbb{F}_2C_2)\cong K_{2,2}\cong C_4.$

De verdere ringstructuur van $\mathbb{F}_2C_2$ en de bijbehorende graaf worden later in het afzonderlijke voorbeeld uitvoerig behandeld.

Wat bepaalt de graaf?

Een ringisomorfisme bewaart optelling, aftrekking en eenheden. Isomorfe ringen leveren daarom isomorfe unitaire Cayleygrafen op. De omgekeerde implicatie geldt in het algemeen niet: isomorfe unitaire Cayleygrafen hoeven niet van isomorfe ringen afkomstig te zijn. Zo zijn de ringen

$\mathbb{Z}_4 \qquad\text{en}\qquad \mathbb{F}_2[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$

niet isomorf, want hun karakteristieken zijn respectievelijk $4$ en $2$ . Toch hebben beide precies twee eenheden en is hun unitaire Cayleygraaf in beide gevallen een cykel op vier toppen. De graaf legt dus nuttige informatie over de eenheden en de additieve opbouw vast, maar bepaalt niet de volledige vermenigvuldiging van de ring.

Vier fundamentele situaties

De structuur van een groepsring hangt in belangrijke mate af van twee vragen: is $R$ een veld, en deelt $\operatorname{char}(R)$ de groepsorde $|G|$ ? Dit geeft vier fundamentele situaties.

$R$ is een veld en $\operatorname{char}(R)\nmid |G|$ . Volgens de stelling van Maschke is $RG$ semisimpel.
$R$ is een veld en $\operatorname{char}(R)\mid |G|$ . Dan is $RG$ niet semisimpel.
$R$ is geen veld en $\operatorname{char}(R)\nmid |G|$ . De stelling van Maschke in haar gebruikelijke vorm voor groepsalgebra’s over een veld is hier niet rechtstreeks van toepassing. De structuur van $RG$ hangt nu ook wezenlijk af van de structuur van de coëfficiëntenring $R$ .
$R$ is geen veld en $\operatorname{char}(R)\mid |G|$ . Hier kunnen zowel de structuur van de coëfficiëntenring als de modulaire invloed van $G$ bijdragen tot niet-semisimpel gedrag.

Structurele hulpmiddelen

Voor cyclische groepen bestaat een zeer nuttige beschrijving. Voor elke ring $R$ geldt

$RC_n\cong R[x]/(x^n-1).$

Deze voorstelling speelt een centrale rol in bijna alle berekeningen.

Wanneer $f(x)=f_1(x)\cdots f_r(x)$ met onderling ondeelbare factoren, dan geldt

$R[x]/(f(x)) \cong R[x]/(f_1(x)) \times\cdots\times R[x]/(f_r(x)).$

Aanpak van de voorbeelden

Deze inleiding beperkt zich tot de algemene begrippen en structurele hulpmiddelen. De afzonderlijke artikelen behandelen daarna elk één concrete groepsring en werken daar de elementen, idealen, globale ringstructuur en, waar verhelderend, de unitaire Cayleygraaf uit.

Onder meer de volgende groepsringen komen aan bod:

$\mathbb{F}_2C_2, \quad \mathbb{F}_2C_3, \quad \mathbb{F}_3C_2, \quad \mathbb{Z}_4C_2, \quad \mathbb{F}_2(C_2\times C_2), \ldots$

Het doel is om via concrete voorbeelden inzicht te krijgen in de structuur van eindige groepsringen en in het bijzonder in hun eenheden, nuldelers, idempotenten, nilpotenten, idealen en radicalen.