Symmetrische eenheden van ℤC₈

Voor $C_8=\langle g\mid g^8=1\rangle$ zijn de rationale componenten

$\mathbb Q C_8\cong\mathbb Q\oplus\mathbb Q\oplus\mathbb Q(i)\oplus\mathbb Q(\zeta_8), \qquad \mathbb Q C_8^+\cong\mathbb Q^3\oplus\mathbb Q(\alpha),$

met $\alpha=\zeta_8+\zeta_8^{-1}=\sqrt2$ . De drie rationale componenten hebben bij een genormaliseerde symmetrische eenheid alle waarde $1$ .

De integrale orde. Voor een beeld $(m_1,m_2,m_3,u+v\alpha)$ gelden precies de congruenties

$m_1+m_2+2m_3+4u\equiv0,\quad m_1+m_2-2m_3\equiv0,\quad m_1-m_2+4v\equiv0\pmod8.$

Daarom beschrijft de vierde projectie de genormaliseerde symmetrische eenheden via

$H=\{u+v\alpha\in\mathbb Z[\alpha]^\times\mid u\equiv1\pmod2,\ v\equiv0\pmod2\}, \qquad U_1(\mathbb Z C_8)^+\cong H.$

Voor $\eta_1=1+\alpha$ geldt $\mathbb Z[\alpha]^\times=\langle-1,\eta_1\rangle$ . Reductie naar $R=\mathbb F_2[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ met $\alpha\mapsto\varepsilon$ geeft $H=\langle-1,\eta_1^2\rangle$ . De groep $H$ heeft torsievrije rang $1$ en een torsie-element van orde $2$ . De inverse beelden onder $\rho_4$ zijn $g^4$ en

$y=2+(g+g^{-1})-(g^3+g^{-3})-g^4.$

Structuurfiguur van de symmetrische eenheden, de deelgroep H en de reductie modulo 2 bij C8

Eindresultaat

$U_1(\mathbb Z C_8)^+=\langle g^4,y\rangle\cong C_2\times\mathbb Z.$

Volledige uitwerking (PDF)
Computationele controle (PDF)
Scripts downloaden