Tag archieven: pi irrationaal

22/7

Geplaatst op door

Vroeger vertelde men ons dat we voor \pi de breuk \frac{22}{7} mochten nemen. Natuurlijk drong het niet bij iedereen door dat dit een benadering was. Een bewijsje:

Neem de functie

    \[f(x)=\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\]

  • f is strikt positief en continu tussen 0 en 1.
  • Dus is \int_0^1f(x) dx>0.
  • De Euclidische deling geeft \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}=x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2}.
  • Een primitieve functie van f is dan \frac{1}{7}x^7-\frac{4}{6}x^6-x^5-\frac{4}{3}x^3+4x-4\text{Bgtan }(x).
  • Bijgevolg is \int_0^1f(x) dx= \frac{22}{7}-\pi. 
  • Uit het tweede puntje volgt dan:
  • Narekenen op rekentoestel geeft \frac{22}{7}=3,142857142857,... en \pi=3,14159265....